精品解析：四川省渠县中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年春季学期八年级数学期末试题 （满分150分，时间120分钟） A卷 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断各式正误，即可得到错误选项． 【详解】解：A. ∵，两边同时减，不等号方向不变，∴，A正确． B. ∵，两边同时乘，不等号方向改变，∴，B错误． C. ∵，两边同时乘，不等号方向改变，∴，C正确． D. ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变，∴，D正确． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 4. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，利用任意多边形的外角和为定值，以及边形内角和公式，根据题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵该多边形内角和是外角和的倍，多边形外角和恒为，边形内角和公式为， ∴可得方程， 化简得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 6. 如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 图中阴影部分的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 7. 如图，四边形的对角线相交于点O．给出以下条件：①；②；③；④，现从四个条件中任意选两个条件，不能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理结合选项分析即可． 【详解】选项A，选①②， 且 ，同一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 选项B，选①③， 且，两组对边分别平行，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 选项C，选②③，且，一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 选项D，选③④，且，同一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 8. 已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 11. 如图，把绕点A逆时针方向旋转后与重合，则的度数是_______． 【答案】61 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可解答. 【详解】解：∵把绕点A逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴. 12. 如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积为 _____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】过D作于E，根据角平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， 由题可知平分， ∵，， ∴ ， ∵， ∴． 13. 若分式方程无解，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式方程，两边同乘， 可得：， 整理得：， 分式方程无解时，增根为， 代入得：， 解得： . 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）2 （2） 不等式组的解集为，解集表示在数轴上如图所示， 【解析】 【分析】（1）分别算出绝对值，算术平方根，负指数幂的结果，再计算加减即可； （2）分别算出不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，把解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 解集表示在数轴上：略． 15. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = = = ， ∵x≠±1且x≠2， ∴x=3， 则原式==2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 16. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 【答案】 （1）如图所示，△A2B2C2即为所求， （2）如图所示，则点P即为旋转中心． 【解析】 【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到△A2B2C2，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1． （2）连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，根据对应点到旋转中心的距离相等，即可得到点P即为旋转中心． 【详解】解：（1）略 （2）略 17. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为，节前用600元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子200千克，且总费用不超过2300元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？ 【答案】（1）10元 （2）150千克 【解析】 【分析】（1）设超市节前每千克粽子的进价是元，则节后每千克粽子的进价为元，根据题意列分式方程求解； （2）首先求出节前每千克粽子的进价，设该超市节前购进A粽子y千克，则节后购进A粽子千克，根据题意列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设超市节前每千克粽子的进价是元，则节后每千克粽子的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该超市节后每千克A粽子的进价是10元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，节前每千克粽子的进价为（元）， 设该超市节前购进A粽子y千克，则节后购进A粽子千克， 由题意得：， 解得：， 答：该超市节前至多购进A粽子150千克． 18. 如图，在中，对角线与交于点O，平分，交于点E，平分，交于点F，点G在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）18 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质及角平分线的定义证明，即可求得结论； （2）利用等腰三角形的三线合一，证明四边形是平行四边形，进而可以求四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． B卷 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立，原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设. 20. 如图，的周长为20，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为M，若，则的长度为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】证明，得到，，根据垂直平分线的性质得到，，结合三角形的周长即可求得，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 21. 关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集确定参数范围，根据分式方程解的情况求参数，掌握解不等式组与解分式方程的方法是解题关键，先解不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零进一步确定的范围，最后找出所有符合条件的整数求和即可． 【详解】解： ， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 根据“同小取小”可得， 解分式方程， 解得， 分式方程的解为非负数， 且，即，且， 解得，且， 综上可得，且， 则满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 22. 一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第一象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有_______ ． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则有， ∴该函数y随x的增大而减小；故①说法正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有， ∴函数中，，所以该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法正确； 由图象可知：不等式的解集是；故③说法错误； 当时，，即，整理得：，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②④． 23. 在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为___，此时的面积为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】将绕着点逆时针旋转到，使与重合，点的对应点为点F，连接，得，得到，推出点是直线上的动点，当时，有最小值，然后利用含30度角直角三角形的性质求出的最小值为4；利用勾股定理求出，，过点N作交的延长线于点G，求出，得到，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正三角形， ∴，， 将绕着点逆时针旋转到，使与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且， 则点是直线上的动点， ∴当时，有最小值，如图， ∵， ∴此时， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为4； ∴， ∴， 过点N作交的延长线于点G，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把因式分解． （2）多项式有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值为1 【解析】 【分析】（1）仿照示例，利用配方法和平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照示例，利用配方法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 25. 【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度 ； ②若同学乙、同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，通过计算混合后溶液的浓度，得出猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【答案】（1）①；②， （2）证明：∵，a，b，c，d，e，f均为正数， ， ， ∴， 即． （3）2 【解析】 【分析】（1）①根据溶液浓度公式计算即可． ②根据同学乙的浓度与甲相同，代入  可求 ，由同学丙的浓度与甲相同，代入  可求 ． （2）由三瓶浓度相同，即 ，则 ，，，相加得 ，即可得证． （3）设，则，三式相加，可解得，进而可得，再代入化简即可求解． 【小问1详解】 解：①∵甲配制的溶液浓度， ∴当时，25%， ②∵依题意，同学乙的浓度与甲相同，即， ∴当时，，解得； ∵同学丙的浓度与甲相同，即， ∴当时，，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ， ， ， ∵a，b，c均不为0且， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，点D为的中点，则的取值范围是 ； 问题探究： （2）如图2，正方形的边长为2，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： （3）如图3，公园里有一块所示的花园，在边的中点处安装一个水泵，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）6500元 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，连接，可证，则，在中由即可求解； （2）延长至H，使得，连接，过点F作于点G，进而可证，得到A、B、H三点共线，由角平分线性质定理可设，再分别在、中利用勾股定理求解即可； （3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H，则将四边形面积平分，则四边形是平行四边形，得到，同理：，同（1）可证：，因此， 下面推导出，则，，故在中，由勾股定理得，则，因此总费用为：（元）． 【小问1详解】 解：延长到点E，使，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至H，使得，连接． ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴A、B、H三点共线． 过点F作于点G． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理，得 ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取的中点Q，连接，则将四边形的面积平分， 过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理：． 在与中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 过点M作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴总费用（元）， ∴师傅修建这条路所需的总费用为6500元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期八年级数学期末试题 （满分150分，时间120分钟） A卷 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 4. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 49 6. 如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 图中阴影部分的面积为 7. 如图，四边形的对角线相交于点O．给出以下条件：①；②；③；④，现从四个条件中任意选两个条件，不能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. 已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 11. 如图，把绕点A逆时针方向旋转后与重合，则的度数是_______． 12. 如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积为 _____ ． 13. 若分式方程无解，则m的值为________． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 16. 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 17. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为，节前用600元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子200千克，且总费用不超过2300元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？ 18. 如图，在中，对角线与交于点O，平分，交于点E，平分，交于点F，点G在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． B卷 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 20. 如图，的周长为20，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为M，若，则的长度为_______． 21. 关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 22. 一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第一象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有_______ ． 23. 在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为___，此时的面积为______． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把因式分解． （2）多项式有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 25. 【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度 ； ②若同学乙、同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，通过计算混合后溶液的浓度，得出猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，点D为的中点，则的取值范围是 ； 问题探究： （2）如图2，正方形的边长为2，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： （3）如图3，公园里有一块所示的花园，在边的中点处安装一个水泵，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $