（新知抢先）第7讲 圆的面积【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第7讲 圆的面积【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的面积计算公式的推导。 将圆转化成学过的平行四边形，求面积。 圆的面积=平行四边形的面积。 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2 2、已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。 3、已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。 4、在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。 5、圆环的面积是指一个大的圆减去一个小的圆的面积，其公式为：S=πR2-πr2=π（R2-r2)，其中R为大圆的半径，r为小圆的半径。 6、圆的面积公式在实际问题中有广泛的应用，如计算圆形水池的底面积、圆形花坛的面积等。在应用时，需要注意单位的转换和精确计算。 7、求关于圆的组合图形的面积当遇到由圆和其他基本图形（如长方形、三角形等）组成的组合图形时，我们通常需要采用“分割法”或“添补法”来计算其面积。首先，将组合图形分割成若干个基本图形；然后，分别计算这些基本图形的面积；最后，将这些面积相加或相减，得到组合图形的面积。 1、同时满足“将圆通过切拼转化为近似的规则直边图形、转化前后总面积完全相等”规则推导得到的数值，才是本单元认可的标准圆的面积结果，仅靠直接套用圆的周长相关参数随意拼接得到的数值不能作为圆的面积的有效结论。 2、用切拼法推导圆的面积公式时，要把圆等分成数量足够多的扇形后再交错拼接，不能仅分割成少量扇形就强行拼接，否则拼接出的图形和长方形偏差过大，直接导致面积推导逻辑出现明显漏洞。 3、运用圆的面积公式运算时，要明确公式S=πr2的核心逻辑是半径的平方乘圆周率，不能直接用直径或周长的数值直接代入公式运算，混淆半径的平方运算优先级。 4、反向核验圆的面积计算结果时，将得到的面积数值除以圆周率π后开平方，最终得到的半径数值必须和题目给定的圆的实际半径完全匹配，不能出现推导得到的半径和已知条件矛盾的情况。 5、处理已知圆的直径或周长求面积的场景时，要先通过对应关系换算出圆的准确半径后再代入面积公式，不能跳过半径换算步骤直接用直径或周长的数值做平方运算，得到完全错误的面积结果。 6、标注圆的面积相关的最终结果时，要明确附带对应的面积单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致面积的数值指代完全失真。 7、处理半径扩大或缩小指定倍数的圆的面积变化场景时，要明确面积的变化倍数是半径变化倍数的平方，不能直接认为面积的变化倍数和半径的变化倍数完全相等，违背圆的面积和半径的平方成正比的属性。 8、同一道圆的面积相关题目中，圆周率的取值基准、半径与直径的换算规则必须完全统一，不能中途随意切换π的取值精度、更改半径的计数基准，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决圆的面积的实际应用问题时，要先锚定“切拼转化前后面积等值、面积与半径平方成正比”的核心规则，不能直接硬套直边图形的面积计算逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 10、仅符合“图形为标准封闭圆形、切拼转化过程无面积重复或遗漏”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的面积运算规则，边缘轮廓不规则、切拼后面积偏差过大的特殊类圆图形，不能随意套用常规的圆的面积计算逻辑。 一、选择题 1．把一个圆平均分成若干偶数等分，剪开后转化成一个近似的长方形，（    ）。 A．周长面积都不变 B．周长面积都变 C．周长不变，面积变了 D．周长变了，面积不变 2．用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 3．一个半圆的面积是39.25cm2，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．31.4 B．25.7 C．15.7 D．20.7 4．下面哪些图形的涂色部分面积相等？（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9m，宽6m的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（    ）。 A．254.34m2 B．113.04m2 C．63.585m2 D．28.26m2 二、填空题 6．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是（ ）cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 7．如图，平行四边形的面积比长方形的面积小10平方厘米，那么圆的面积是（ ）平方厘米。 8．雨刷对汽车非常重要，在雨雪天气中，它不停地摇摆，保障了行车的安全。某品牌车的后窗雨刷如图，这种雨刷长20cm，摇摆角度约，那么它摇摆一次扫过的面积是（ ）。 9．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是（ ）平方厘米。 10．如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 三、计算题 11．求下面图中涂色部分的面积。       四、解答题 12．为方便储存粮食，李小明的爸爸把晒干的粮食放在一个底面是圆形的粮仓里，这个粮仓的底面直径是6米。这个粮仓的占地面积是多少平方米？ 13．中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币外形是直径为6厘米的圆，内部是一个边长为0.8厘米的正方形，则正方形与圆之间（阴影部分）的面积是多少平方厘米？ 14．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 （1）沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） （2）如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 15．某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 （1）这个环形看台的占地面积是多少平方米？ （2）如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第7讲 圆的面积【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的面积计算公式的推导。 将圆转化成学过的平行四边形，求面积。 圆的面积=平行四边形的面积。 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2 2、已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。 3、已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。 4、在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。 5、圆环的面积是指一个大的圆减去一个小的圆的面积，其公式为：S=πR2-πr2=π（R2-r2)，其中R为大圆的半径，r为小圆的半径。 6、圆的面积公式在实际问题中有广泛的应用，如计算圆形水池的底面积、圆形花坛的面积等。在应用时，需要注意单位的转换和精确计算。 7、求关于圆的组合图形的面积当遇到由圆和其他基本图形（如长方形、三角形等）组成的组合图形时，我们通常需要采用“分割法”或“添补法”来计算其面积。首先，将组合图形分割成若干个基本图形；然后，分别计算这些基本图形的面积；最后，将这些面积相加或相减，得到组合图形的面积。 1、同时满足“将圆通过切拼转化为近似的规则直边图形、转化前后总面积完全相等”规则推导得到的数值，才是本单元认可的标准圆的面积结果，仅靠直接套用圆的周长相关参数随意拼接得到的数值不能作为圆的面积的有效结论。 2、用切拼法推导圆的面积公式时，要把圆等分成数量足够多的扇形后再交错拼接，不能仅分割成少量扇形就强行拼接，否则拼接出的图形和长方形偏差过大，直接导致面积推导逻辑出现明显漏洞。 3、运用圆的面积公式运算时，要明确公式S=πr2的核心逻辑是半径的平方乘圆周率，不能直接用直径或周长的数值直接代入公式运算，混淆半径的平方运算优先级。 4、反向核验圆的面积计算结果时，将得到的面积数值除以圆周率π后开平方，最终得到的半径数值必须和题目给定的圆的实际半径完全匹配，不能出现推导得到的半径和已知条件矛盾的情况。 5、处理已知圆的直径或周长求面积的场景时，要先通过对应关系换算出圆的准确半径后再代入面积公式，不能跳过半径换算步骤直接用直径或周长的数值做平方运算，得到完全错误的面积结果。 6、标注圆的面积相关的最终结果时，要明确附带对应的面积单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致面积的数值指代完全失真。 7、处理半径扩大或缩小指定倍数的圆的面积变化场景时，要明确面积的变化倍数是半径变化倍数的平方，不能直接认为面积的变化倍数和半径的变化倍数完全相等，违背圆的面积和半径的平方成正比的属性。 8、同一道圆的面积相关题目中，圆周率的取值基准、半径与直径的换算规则必须完全统一，不能中途随意切换π的取值精度、更改半径的计数基准，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决圆的面积的实际应用问题时，要先锚定“切拼转化前后面积等值、面积与半径平方成正比”的核心规则，不能直接硬套直边图形的面积计算逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 10、仅符合“图形为标准封闭圆形、切拼转化过程无面积重复或遗漏”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的面积运算规则，边缘轮廓不规则、切拼后面积偏差过大的特殊类圆图形，不能随意套用常规的圆的面积计算逻辑。 一、选择题 1．把一个圆平均分成若干偶数等分，剪开后转化成一个近似的长方形，（    ）。 A．周长面积都不变 B．周长面积都变 C．周长不变，面积变了 D．周长变了，面积不变 【答案】D 【分析】将圆剪拼成长方形时，只是形状改变，材料未增减，因此面积保持不变；圆的周长全部转化为长方形的两条长，而长方形的两条宽是新增的（等于圆的半径），因此周长增加。 【解答】把一个圆平均分成若干偶数等分，剪开后转化成一个近似的长方形，分析如下： 面积变化分析： 拼成的近似长方形是由圆剪开的若干个小扇形拼接而成的。图形的形状发生了改变，但组成图形的所有部分的总面积没有增减。 因此，转化后的面积等于原来圆的面积，即面积不变。 周长变化分析： 设圆的半径为 原来圆的周长为： 拼成的近似长方形中，上下两条边的长度之和等于圆的周长，左右两条边的长度均等于圆的半径 近似长方形的周长为：。 比较可知：。 因此，转化后的周长比原来圆的周长增加了，即周长变了。 综上所述，把一个圆转化成一个近似的长方形后，周长变了，面积不变。 2．用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，用两根长16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，那么铁丝的长度等于圆的周长和正方形的周长。 根据正方形的边长＝周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较正方形和圆的面积，得出结论。 【解答】正方形的边长：16÷4＝4（cm） 正方形的面积：4×4＝16（cm2） 圆的半径：16÷3.14÷2≈2.5（cm） 圆的面积： 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 因为19.625＞16，所以圆的面积大。 3．一个半圆的面积是39.25cm2，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．31.4 B．25.7 C．15.7 D．20.7 【答案】B 【分析】根据圆的面积公式，已知半圆面积，计算出半径，根据圆的周长公式，再计算半圆周长（圆的周长的一半加直径）。 【解答】 （cm） 3.14×5＋2×5 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 4．下面哪些图形的涂色部分面积相等？（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过割补法分析每个由大圆、中圆、小圆组成的图形的涂色面积，且每个图形的大圆、中圆、小圆的面积分别相等的；据此解答即可。 【解答】①从图形可知：涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ②把虚线右边的部分绕大圆的圆心上下翻转，那么形成一个涂色的小圆以及被小圆遮挡一部分的空白中圆，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ③把虚线右面的空白部分向下平移，与左边凑整一个中圆，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ④把虚线右面的小圆部分向上平移，与左边凑整一个小圆，也与图形①一致，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； 所以，4个图形的涂色面积都相等。 5．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9m，宽6m的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（    ）。 A．254.34m2 B．113.04m2 C．63.585m2 D．28.26m2 【答案】D 【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积＝πr2，据此解答。 【解答】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 这个圆形波纹的面积是28.26平方米。 二、填空题 6．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是（ ）cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】18.84 20.56 25.12 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长；长方形内画最大的半圆，如果半圆的直径等于宽那么半径是6cm，直径是6×2＝12cm，长度不够。所以半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长＝π×半径＋直径，据此求出半圆的周长，再根据圆的面积＝π×半径2，据此求出半圆的面积。 【解答】3.14×6＝18.84（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 7．如图，平行四边形的面积比长方形的面积小10平方厘米，那么圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】78.5 【分析】观察图形可知，平行四边形的高和长方形的长、圆的直径都相等，已知平行四边形的面积比长方形的面积小10平方厘米，设高是x厘米，列出方程，求出高，这样圆的直径与高相等，再运用S＝πr2进行解答即可。平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽。 【解答】解：设高是x厘米。 6x－5x＝10 （6－5）x＝10 x＝10 10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 8．雨刷对汽车非常重要，在雨雪天气中，它不停地摇摆，保障了行车的安全。某品牌车的后窗雨刷如图，这种雨刷长20cm，摇摆角度约，那么它摇摆一次扫过的面积是（ ）。 【答案】/628平方厘米 【分析】雨刷摇摆角度约180°，说明雨刷扫过的面积是一个半圆，根据圆的面积公式，由此可解。 【解答】 （cm2） 9．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是（ ）平方厘米。 【答案】414.48 【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积＝半径是（8＋3×2）厘米圆的面积－半径是8厘米的圆的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【解答】8＋3×2 ＝8＋6 ＝14（厘米） 3.14×（142－82） ＝3.14×（196－64） ＝3.14×132 ＝414.48（平方厘米） 10．如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】7.125 【分析】涂色部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，根据求出圆的面积，正方形的面积等于两个三角形的面积，三角形的面积＝圆的直径×半径÷2，据此解答。 【解答】5÷2＝2.5（厘米） ＝3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 5×2.5÷2×2 ＝12.5÷2×2 ＝6.25×2 ＝12.5（平方厘米） 19.625－12.5＝7.125（平方厘米） 三、计算题 11．求下面图中涂色部分的面积。       【答案】37.68cm2；16cm2 【分析】第一个图形涂色部分是圆环的，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出圆环面积，再乘即可。 如图，第二个图形涂色部分通过对称，刚好是个三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【解答】3.14×（82－42）× ＝3.14×（64－16）× ＝3.14×48× ＝150.72× ＝37.68（cm2） 8×（8÷2）÷2 ＝8×4÷2 ＝16（cm2） 图一涂色部分的面积是37.68cm2 图二涂色部分的面积是16cm2。 四、解答题 12．为方便储存粮食，李小明的爸爸把晒干的粮食放在一个底面是圆形的粮仓里，这个粮仓的底面直径是6米。这个粮仓的占地面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】由题意可知，粮仓的占地面积等于粮仓底面圆的面积，利用圆的面积公式计算即可。 【解答】 答：这个粮仓的占地面积是28.26平方米。 13．中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币外形是直径为6厘米的圆，内部是一个边长为0.8厘米的正方形，则正方形与圆之间（阴影部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】27.62平方厘米 【分析】圆的面积＝，正方形面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝外圆的面积－内部正方形的面积。 【解答】3.14×（6÷2）2－0.8×0.8 ＝3.14×32－0.64 ＝3.14×9－0.64 ＝28.26－0.64 ＝27.62（平方厘米） 答：正方形与圆之间（阴影部分）的面积是27.62平方厘米。 14．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 （1）沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） （2）如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 【答案】（1）150.72米 （2）653.12平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝2πr，代入数据求出内圈圆的周长，即所需灯带的长度； （2）根据环形面积＝，R是外圈圆半径，r是内圈圆半径，代入数据即可求出圆环正面的面积。 【解答】（1）2×24×3.14＝150.72（米） 答：至少需要150.72米的灯带。 （2） ＝3.14×（784－576） ＝3.14×208 ＝653.12（平方米） 答：圆环正面的面积是653.12平方米。 15．某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 （1）这个环形看台的占地面积是多少平方米？ （2）如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】（1）565.2平方米 （2）18棵 【分析】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【解答】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 学科网（北京）股份有限公司 $