第08课 圆的面积（二）（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第08课 圆的面积（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）熟练计算：能熟练掌握圆的面积公式S=πr2，并能正确计算圆的面积。 （2）解决实际问题：能运用圆的面积公式解决生活中的实际问题（如喷水灌溉面积、圆形杯垫面积、运动场占地面积等）。 （3）理解半圆与组合图形：掌握半圆面积的计算方法（），并能计算简单的组合图形（如长方形加半圆）的面积。 （4）了解新推导法：了解将圆转化为三角形来推导面积公式的方法，进一步体会“转化”思想。 2、重难点。 重点： （1）公式的灵活运用：能够根据题目给出的不同条件（半径、直径、周长），灵活求出圆的面积。 （2）解决实际应用题：特别是涉及半圆、组合图形以及“求比一个数多/少几分之几”的实际问题。 难点： （1）逆向思维与多步计算：例如题目给出“半圆的周长是125.6m”，学生需要先根据半圆周长公式反推出半径，再求面积。这是学生容易出错的地方（容易直接用125.6当作圆周长）。 （2）规律的理解：理解“大花坛直径是小花坛的2倍，面积却是4倍”这一非线性关系（面积比等于半径比的平方）。 模块二 预习引导 一、 圆面积公式的实际应用： 1、已知半径求面积： 直接代入公式S=πr2。 例题场景：喷水头转动一周浇灌的面积。 关键点：喷水头转动的半径就是圆的半径r。 2、已知周长求面积： 解题步骤：先求半径，再求面积。 公式推导：r=C÷π÷2 ，然后S=πr2。 二、组合图形与半圆的计算： 1、半圆的面积： 公式：；易错点：不要忘记除以2。 2、 组合图形面积（运动场模型） 图形结构：中间是一个长方形，两头是一个半圆（合起来是一个整圆）。 计算方法：总面积=长方形面积+圆面积。 3、 环形（阴影部分）面积： 图形结构：大圆里面套一个小圆。 计算方法：。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小圆的直径是2厘米，大圆的半径是2厘米，小圆面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． 2．在研究圆环面积时，小明借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，他发现平行四边形的底是（    ）。 A．πR B．πr C．πR＋πr 3．小圆的面积是31.4平方米，大圆的半径是小圆的3倍，大圆的面积是（    ）平方米。 A．94.2 B．188.4 C．282.6 D．无法确定 4．手工课上龙龙用一张长15厘米、宽10厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆做扇子，扇子的面积是（    ）平方厘米。 A．31.4 B．78.5 C．176.625 5．甲、乙两幅图中阴影部分相比较，下面的说法正确的是（    ）。 A．面积相等，周长相等 B．面积不相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积相等，周长不相等 6．如图，正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．18 C．27 D．36 二、填空题 8．一个圆的半径是4cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )。 9．一个圆环，它的内圆半径是1厘米，外圆半径是2厘米。这个圆环的面积是( )平方厘米。 10．一张长10厘米，宽6厘米的长方形纸片，最多可以剪出( )个半径是1厘米的圆形纸片。 11．日晷是一种古老的计时工具。科学课上，笑笑用直径为20厘米的圆形卡纸制作日晷。这张圆形卡纸的面积是( )平方厘米。 12．王奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形鸡笼，这个鸡笼的半径是3米，篱笆长( )米，鸡笼的占地面积是( )平方米。 13．显微镜是科学实验中常用的一种仪器。一个显微镜物镜镜头是一个周长为37.68毫米的圆形，这个镜头的直径是( )毫米；要给这个镜头制作一个圆形防护盖，防护盖半径比镜头半径大2毫米，防护盖的面积是( )平方毫米。 14．如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 15．一个圆向右滚动半圈后如图，要画一个同样的圆，那么圆规两脚间的距离应为( )cm，这个圆的面积是( )。 三、计算题 16．计算下面图形中阴影部分的面积。 四、解答题 17．蒙古包是草原游牧民族使用的民居形式。下图是一个底面是圆形的蒙古包，量得它的底面周长是37.68m。它的占地面积是多少平方米？ 18．如下图，在一块圆形草地中心的木桩上拴着一头牛，拴牛的绳子长5m。（拴在木桩上的绳子忽略不计） 19．垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 20．智慧老人家有一块直径是6米的圆形菜地（如下图），现在把菜地周围加宽2米，加宽后的空白部分用来种花。种花的面积是多少平方米？ 21．中心广场有一个圆形喷水池，周长是56.52米，有一条3米宽的小路围绕着喷水池，这条小路的面积是多少？（保留一位小数） 22．刘大爷家的养鸡场一面靠墙，他用31.4米的篱笆围成一个半圆。这个养鸡场的面积有多大？ 23．某酒店把大厅内的柱子用绳子缠绕，每根柱子刚好用94.2cm长的绳子不重叠绕一圈。柱子的横截面面积是多少平方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08课 圆的面积（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）熟练计算：能熟练掌握圆的面积公式S=πr2，并能正确计算圆的面积。 （2）解决实际问题：能运用圆的面积公式解决生活中的实际问题（如喷水灌溉面积、圆形杯垫面积、运动场占地面积等）。 （3）理解半圆与组合图形：掌握半圆面积的计算方法（），并能计算简单的组合图形（如长方形加半圆）的面积。 （4）了解新推导法：了解将圆转化为三角形来推导面积公式的方法，进一步体会“转化”思想。 2、重难点。 重点： （1）公式的灵活运用：能够根据题目给出的不同条件（半径、直径、周长），灵活求出圆的面积。 （2）解决实际应用题：特别是涉及半圆、组合图形以及“求比一个数多/少几分之几”的实际问题。 难点： （1）逆向思维与多步计算：例如题目给出“半圆的周长是125.6m”，学生需要先根据半圆周长公式反推出半径，再求面积。这是学生容易出错的地方（容易直接用125.6当作圆周长）。 （2）规律的理解：理解“大花坛直径是小花坛的2倍，面积却是4倍”这一非线性关系（面积比等于半径比的平方）。 模块二 预习引导 一、 圆面积公式的实际应用： 1、已知半径求面积： 直接代入公式S=πr2。 例题场景：喷水头转动一周浇灌的面积。 关键点：喷水头转动的半径就是圆的半径r。 2、已知周长求面积： 解题步骤：先求半径，再求面积。 公式推导：r=C÷π÷2 ，然后S=πr2。 二、组合图形与半圆的计算： 1、半圆的面积： 公式：；易错点：不要忘记除以2。 2、 组合图形面积（运动场模型） 图形结构：中间是一个长方形，两头是一个半圆（合起来是一个整圆）。 计算方法：总面积=长方形面积+圆面积。 3、 环形（阴影部分）面积： 图形结构：大圆里面套一个小圆。 计算方法：。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小圆的直径是2厘米，大圆的半径是2厘米，小圆面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】小圆的直径是2厘米，先根据公式：r＝d÷2，求出小圆的半径，再根据公式：S＝πr2，可求出大、小圆的面积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，即可求出小圆面积是大圆面积的几分之几，据此解答。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 22×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） 3.14÷12.56＝ 即小圆面积是大圆面积的。 故答案为：B 2．在研究圆环面积时，小明借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，他发现平行四边形的底是（    ）。 A．πR B．πr C．πR＋πr 【答案】C 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，那么这个平行四边形的底等于圆环外圆周长的一半加上内圆周长的一半，据此根据圆的周长公式C＝2πr求解。 【详解】2πR÷2＋2πr÷2＝πR＋πr 平行四边形的底是πR＋πr。 故答案为：C 3．小圆的面积是31.4平方米，大圆的半径是小圆的3倍，大圆的面积是（    ）平方米。 A．94.2 B．188.4 C．282.6 D．无法确定 【答案】C 【分析】假设小圆的半径是1米，则大圆的半径是1×3＝3（米），根据圆的面积＝πr2，分别求出大圆的面积和小圆的面积，用大圆的面积除以小圆的面积，求出当大圆的半径是小圆的3倍时，大圆的面积是小圆面积的几倍，再用小圆的面积乘这个倍数即可求出大圆的面积。 【详解】假设小圆的半径是1米，则大圆的半径是1×3＝3（米）。 π×32÷（π×12） ＝9π÷π ＝9 31.4×9＝282.6（平方米） 所以大圆的面积是282.6平方米。 故答案为：C 4．手工课上龙龙用一张长15厘米、宽10厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆做扇子，扇子的面积是（    ）平方厘米。 A．31.4 B．78.5 C．176.625 【答案】B 【分析】分析题目，最大的圆的直径等于长方形的最短边，即10厘米，根据圆的面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 手工课上龙龙用一张长15厘米、宽10厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆做扇子，扇子的面积是78.5平方厘米。 故答案为：B 5．甲、乙两幅图中阴影部分相比较，下面的说法正确的是（    ）。 A．面积相等，周长相等 B．面积不相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积相等，周长不相等 【答案】D 【分析】观察图形可知，甲图阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积，乙图阴影部分的面积＝正方形的面积－2个圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解； 观察图形可知，甲图阴影部分的周长＝圆周长的×4，乙图阴影部分的周长＝圆周长的×2＋正方形的2条边长；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解； 然后比较两幅图中阴影部分的面积和周长，得出结论。 【详解】甲图阴影部分的面积： 4×4－×3.14×（4÷2）2×4 ＝16－×3.14×22×4 ＝16－×3.14×4×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 乙图阴影部分的面积： 4×4－×3.14×（4÷2）2×2 ＝16－×3.14×22×2 ＝16－×3.14×4×2 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 甲图阴影部分的周长： 3.14×4××4＝12.56（cm） 乙图阴影部分的周长： 3.14×4××2＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14 cm2＝3.14 cm2，12.56cm≠20.56cm； 所以，甲、乙两幅图中阴影部分的面积相等，周长不相等。 故答案为：D 6．如图，正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可知，圆的直径等于正方形的边长，阴影部分面积等于正方形面积减圆的面积，根据正方形的面积公式，半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】（cm） （cm2） 正方形边长是8cm，求阴影部分面积列式正确的是。 故答案为：C 7．一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】A 【分析】直径＝半径×2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，一个圆的直径扩大到原来的几倍，面积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9 一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的9倍。 故答案为：A 二、填空题 8．一个圆的半径是4cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 25.12 50.24 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式即可求解。 【详解】3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（cm） 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（cm2） 一个圆的半径是4cm，这个圆的周长是25.12cm，面积是50.24。 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 9．一个圆环，它的内圆半径是1厘米，外圆半径是2厘米。这个圆环的面积是( )平方厘米。 【答案】9.42 【分析】根据圆环的面积公式：S＝π×（R2－r2），把数代入公式即可求解。 【详解】3.14×（2×2－1×1） ＝3.14×（4－1） ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 这个圆环的面积是9.42平方厘米。 【点睛】本题主要考查圆环的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 10．一张长10厘米，宽6厘米的长方形纸片，最多可以剪出( )个半径是1厘米的圆形纸片。 【答案】15 【分析】由题意可得，这张长10厘米，宽6厘米的长方形纸片，长能剪10÷（2×1）＝5（张）半径是1厘米的圆形纸片，宽能剪6÷（2×1）＝3（张），这张纸最多能剪成5×3＝15（个）这样的圆形纸片；据此解答即可。 【详解】10÷（2×1） ＝10÷2 ＝5（张） 6÷（2×1） ＝6÷2 ＝3（张） 5×3＝15（个） 则最多可以剪出15个半径是1厘米的圆形纸片。 11．日晷是一种古老的计时工具。科学课上，笑笑用直径为20厘米的圆形卡纸制作日晷。这张圆形卡纸的面积是( )平方厘米。 【答案】314 【分析】已知圆形卡纸的直径为20厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这张圆形卡纸的面积。 【详解】3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 这张圆形卡纸的面积是314平方厘米。 12．王奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形鸡笼，这个鸡笼的半径是3米，篱笆长( )米，鸡笼的占地面积是( )平方米。 【答案】 9.42 14.13 【分析】求篱笆的长度，就是求半径是3米的圆的周长的一半，根据圆的周长公式：周长＝π×r×2，代入数据，求出篱笆的长度；求鸡笼的占地面积，就是求半径是3米的圆的面积的一半，根据圆的面积公式：面积＝π×r2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×3×2÷2 ＝9.42×2÷2 ＝18.84÷2 ＝9.42（米） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 王奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形鸡笼，这个鸡笼的半径是3米，篱笆长9.42米，鸡笼的占地面积是14.13平方米。 13．显微镜是科学实验中常用的一种仪器。一个显微镜物镜镜头是一个周长为37.68毫米的圆形，这个镜头的直径是( )毫米；要给这个镜头制作一个圆形防护盖，防护盖半径比镜头半径大2毫米，防护盖的面积是( )平方毫米。 【答案】 12 200.96 【分析】圆的周长公式：C＝πd，据此用37.68除以π可以求出镜头的直径；根据题意，用镜头的直径除以2求出它的半径，再加上2可以求出防护盖的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算即可求出防护盖的面积。 【详解】37.68÷3.14＝12（毫米） 12÷2＋2 ＝6＋2 ＝8（毫米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方毫米） 则这个镜头的直径是12毫米；防护盖的面积是200.96平方毫米。 14．如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 18 3.87 【分析】观察图形可知，长方形里有一个最大的半圆，则半圆的直径等于长方形的长； 根据长方形的周长公式C＝2（a＋b），求出这个长方形的周长； 根据长方形的面积公式S＝ab，半圆的面积公式S＝πr2÷2，分别求出长方形、半圆的面积，再相减，即是阴影部分的面积。 【详解】6÷2＝3（cm） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（cm） 6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 长方形的周长是18cm，阴影部分的面积是3.87cm2。 15．一个圆向右滚动半圈后如图，要画一个同样的圆，那么圆规两脚间的距离应为( )cm，这个圆的面积是( )。 【答案】 2 12.56 三、计算题 16．计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】13.76dm2；6.28cm2 【分析】（1）观察图形可知，用正方形的面积减四个空白扇形组成的整圆的面积，即可求出阴影部分的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据解答即可。 （2）观察图形可知，阴影部分的面积是半径为2厘米圆的面积的一半，根据圆的面积＝πr2，代入数据解答即可。 【详解】（1）8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（dm2） （2）3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 四、解答题 17．蒙古包是草原游牧民族使用的民居形式。下图是一个底面是圆形的蒙古包，量得它的底面周长是37.68m。它的占地面积是多少平方米？ 【答案】37.68÷3.14÷2＝6（m） 【分析】根据题意，圆的周长是37.68m，可以根据圆的周长公式，求出圆的半径，再根据圆的面积公式，列式计算出占地面积。 【详解】 答：它的占地面积是113.04平方米。 18．如下图，在一块圆形草地中心的木桩上拴着一头牛，拴牛的绳子长5m。（拴在木桩上的绳子忽略不计） 【答案】 【分析】根据题意，拴牛的绳子长5m，即表示圆的半径，根据圆的面积公式，就可以求出牛吃草的面积。 【详解】 答：牛能吃到草的面积是78.5平方米。 19．垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 【答案】7626平方厘米；348.4厘米 【分析】海报的面积＝长方形的面积＋两个半圆的面积，两个半圆可以拼接成一个直径是60厘米的圆，根据圆的面积＝πr2。长方形的长是80厘米，宽是60厘米，长方形的面积＝长×宽得出长方形的面积，最后相加即可； 灯带的长度＝长方形的两个长＋整个圆的周长，根据圆的周长＝πd得出圆的周长再加上两个长即可。 【详解】60÷2＝30（厘米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 60×80＝4800（平方厘米） 2826＋4800＝7626（平方厘米） 3.14×60＋80×2 ＝188.4＋160 ＝348.4（厘米） 答：这张海报的面积是7626平方厘米。一共需要348.4厘米。 20．智慧老人家有一块直径是6米的圆形菜地（如下图），现在把菜地周围加宽2米，加宽后的空白部分用来种花。种花的面积是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】种花的部分是个圆环，小圆半径＝菜地直径÷2，大圆半径＝小圆半径＋2米，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答即可。 【详解】6÷2＝3（米） 3＋2＝5（米） 3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：种花的面积是50.24平方米。 21．中心广场有一个圆形喷水池，周长是56.52米，有一条3米宽的小路围绕着喷水池，这条小路的面积是多少？（保留一位小数） 【答案】197.8平方米 【分析】由题意可知，小路呈环形，小路面积就是环形面积，根据圆的周长公式的逆运算，求出圆的半径，圆的半径加3就是环形的外半径，圆的半径就是内半径，根据环形的面积＝（R2－r2）×，代入数据计算即可，得数采用“四舍五入法”保留一位小数。 【详解】 （米） （米） （平方米） 答：这条小路的面积是197.8平方米。 22．刘大爷家的养鸡场一面靠墙，他用31.4米的篱笆围成一个半圆。这个养鸡场的面积有多大？ 【答案】157平方米 【分析】篱笆的长度正好等于半径相等的圆的周长一半，用篱笆的长度×2，求出这个圆的周长；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出半径；半圆的面积等于半径相等的圆的面积一半；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】31.4×2÷3.14÷2 ＝62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 答：这个养鸡场的面积有157平方米。 23．某酒店把大厅内的柱子用绳子缠绕，每根柱子刚好用94.2cm长的绳子不重叠绕一圈。柱子的横截面面积是多少平方厘米？ 【答案】706.5cm² 【分析】根据题意可知：绕柱子1圈的长度即柱子的周长，然后根据“”求出圆的半径，进而利用圆的面积公式解答即可。 【详解】 答：柱子的横截面面积是706.5cm²。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $