（新知抢先）第5讲 整数乘法运算定律推广到小数【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第5讲 整数乘法运算定律推广到小数 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。 2、应用乘法的运算定律，可以使一些计算简便。 3、‌乘法交换律‌：a×b=b×a，可调整连乘中因数的计算顺序 ‌乘法结合律‌：(a×b)×c=a×(b×c)，优先把能凑成整数的小数因数结合计算 ‌乘法分配律‌：(a+b)×c=a×c+b×c，含减法的拓展形式为(a−b)×c=a×c−b×c 4、简便运算实用技巧 连乘场景：用交换律+结合律，优先把积为整数的小数组合先算，比如0.25×4、1.25×8这类固定凑整组合。 乘加/乘减场景：统一提取相同因数，转化为乘法分配律的标准形式计算。 特殊数拆分：接近1、10、100的小数，拆成“整±小数”的形式，再套用乘法分配律简化运算。 1、同时满足“运算定律的适用条件完全匹配、参与运算的数均为实数”的前提，整数乘法的交换律、结合律、分配律才能直接推广到小数乘法场景，不符合运算定律适用边界的特殊运算不能直接套用简化规则。 2、运用乘法交换律调整小数乘法的运算顺序时，要同步交换对应数字的位置，不能随意改动数字的正负属性、小数点位置，否则会直接改变最终的运算结果。 3、运用乘法结合律给小数乘法加括号分组运算时，要保证括号内仅保留纯乘法运算，不能随意把加法或减法运算混入结合分组中，破坏运算定律的适用逻辑。 4、反向核验小数乘法简便运算的结果时，按常规从左到右的顺序重新计算原式，最终得到的结果必须和用运算定律简化计算得到的数值完全相等。 5、运用乘法分配律展开小数的乘加、乘减混合运算时，要把括号外的小数同步分配给括号内的每一个项，不能漏乘括号内的任意一个项，导致最终结果出现偏差。 6、标注小数乘法简便运算的最终结果时，要正确对齐小数点位置、按要求保留对应小数位数，避免出现小数点错位、漏写小数部分的结果错配问题。 7、处理接近整数的特殊小数（如9.9、10.1）的简便运算场景时，要先把这类数拆成“整数±纯小数”的形式，再套用乘法分配律计算，不能随意篡改拆分后的数值，导致运算逻辑出错。 8、同一道小数乘法简便运算的题目中，数字的计数基准、小数点的定位规则必须完全统一，不能中途随意修改数字的有效位数、混用不同的近似取值，打乱运算的严谨性。 9、解决小数乘法的简便运算实际问题时，要先锚定“匹配对应运算定律、不改变原式运算结果”的核心原则，不能为了强行套用简便规则随意篡改原式的数字或运算符号。 10、仅符合“同级纯乘法、乘加乘减结构清晰”的标准场景才能适配整数乘法推广来的小数简便运算规则，运算结构模糊、存在额外特殊限定的场景不能随意套用常规的运算定律简化逻辑。 一、选择题 1．在下列算式中，与△×9.9（△不为0）计算结果相等的是（    ）。 A．△×10－△×0.1 B．△×10－0.1 C．△×10－△ D．△×10＋△×0.1 2．算式9.9×2.1＝10×2.1－0.1×2.1运用的运算定律是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 3．明明不小心把7.368×0.2抄成7.668×0.2，所得的积与正确的得数比较（    ）。 A．增加0.3 B．增加0.03 C．增加0.06 D．增加0.006 4．超市促销“助农水果”，每千克9.8元，买10.2千克，下列算式与9.8×10.2结果相等的是（    ）。 A．9.8×10＋0.2 B．9.8×10＋9.8×0.2 C．9.8×10×0.2 D．9.8×（10＋0.02） 5．小亮去文具店买了6支同样的钢笔，每支12.8元，他在用计算器计算总价“12.8×6”时，发现计算器的数字键“8”坏了，如果仍要用计算器算出结果，以下输入方法正确的是（    ）。 A．10×6＋2.8×6 B．13×6－0.2×6 C．12×6＋6 D．128×6÷10 二、填空题 6．在小学数学学习中，计算是数学的心脏，可以说“得计算者，得数学”。聪聪在一次计算比赛中，把10×（▲＋0.3）错算成了10×▲＋0.3，他计算的结果与正确结果相差（ ）。 7．简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用（ ）律，可以先算（ ）＋（ ），再乘（ ）。 8．明明在用计算器计算14.3×9.8时，错误地输成了13.3×9.8，他需要加（ ）才能得到正确的结果。 9．如果★＋▲＝100，★×▲＝1600，那么算式★×0.25＋▲×0.25的得数是（ ）；算式★×（0.25×▲）的得数是（ ）。 10．科学研究表明，每平方米森林每年可吸收约32.9kg二氧化碳。2.5m2森林40年—共可吸收约（ ）kg二氧化碳。 三、计算题 11．脱式计算，能简算的要简算。 8.6×99＋8.6           12.5×0.4×0.8×2.5         2.17＋0.5×3.4 四、解答题 12．张老师买了一套茶具（如下图），每个茶杯5.5元，茶壶的价钱是每个茶杯的4倍。买这样的一套茶具，一共需要多少钱？ 13．一个苹果大约重0.225千克，一个西瓜的质量是一个苹果的16倍，这个西瓜重多少千克？ 14．济南市学校图书馆购进了童话书和故事书各160套。童话书每套16.8元，故事书每套14.5元，购进这些书一共需要多少钱？ 15． （1）冬冬要买4本练习本和4支铅笔，一共要付多少元？ （2）明明要买6本练习本和5支铅笔，一共要付多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第5讲 整数乘法运算定律推广到小数 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。 2、应用乘法的运算定律，可以使一些计算简便。 3、‌乘法交换律‌：a×b=b×a，可调整连乘中因数的计算顺序 ‌乘法结合律‌：(a×b)×c=a×(b×c)，优先把能凑成整数的小数因数结合计算 ‌乘法分配律‌：(a+b)×c=a×c+b×c，含减法的拓展形式为(a−b)×c=a×c−b×c 4、简便运算实用技巧 连乘场景：用交换律+结合律，优先把积为整数的小数组合先算，比如0.25×4、1.25×8这类固定凑整组合。 乘加/乘减场景：统一提取相同因数，转化为乘法分配律的标准形式计算。 特殊数拆分：接近1、10、100的小数，拆成“整±小数”的形式，再套用乘法分配律简化运算。 1、同时满足“运算定律的适用条件完全匹配、参与运算的数均为实数”的前提，整数乘法的交换律、结合律、分配律才能直接推广到小数乘法场景，不符合运算定律适用边界的特殊运算不能直接套用简化规则。 2、运用乘法交换律调整小数乘法的运算顺序时，要同步交换对应数字的位置，不能随意改动数字的正负属性、小数点位置，否则会直接改变最终的运算结果。 3、运用乘法结合律给小数乘法加括号分组运算时，要保证括号内仅保留纯乘法运算，不能随意把加法或减法运算混入结合分组中，破坏运算定律的适用逻辑。 4、反向核验小数乘法简便运算的结果时，按常规从左到右的顺序重新计算原式，最终得到的结果必须和用运算定律简化计算得到的数值完全相等。 5、运用乘法分配律展开小数的乘加、乘减混合运算时，要把括号外的小数同步分配给括号内的每一个项，不能漏乘括号内的任意一个项，导致最终结果出现偏差。 6、标注小数乘法简便运算的最终结果时，要正确对齐小数点位置、按要求保留对应小数位数，避免出现小数点错位、漏写小数部分的结果错配问题。 7、处理接近整数的特殊小数（如9.9、10.1）的简便运算场景时，要先把这类数拆成“整数±纯小数”的形式，再套用乘法分配律计算，不能随意篡改拆分后的数值，导致运算逻辑出错。 8、同一道小数乘法简便运算的题目中，数字的计数基准、小数点的定位规则必须完全统一，不能中途随意修改数字的有效位数、混用不同的近似取值，打乱运算的严谨性。 9、解决小数乘法的简便运算实际问题时，要先锚定“匹配对应运算定律、不改变原式运算结果”的核心原则，不能为了强行套用简便规则随意篡改原式的数字或运算符号。 10、仅符合“同级纯乘法、乘加乘减结构清晰”的标准场景才能适配整数乘法推广来的小数简便运算规则，运算结构模糊、存在额外特殊限定的场景不能随意套用常规的运算定律简化逻辑。 一、选择题 1．在下列算式中，与△×9.9（△不为0）计算结果相等的是（    ）。 A．△×10－△×0.1 B．△×10－0.1 C．△×10－△ D．△×10＋△×0.1 【答案】A 【分析】计算△×9.9，可以把9.9看成10－0.1，再根据乘法分配律a×（b－c）＝a×b－a×c，可得△×9.9＝△×（10－0.1），据此逐项分析。 【解答】△×9.9＝△×（10－0.1） A．△×10－△×0.1＝△×（10－0.1），和原式相等。 B．△×10－0.1，没有给0.1乘△，不能化简成△×9.9，和原式不相等。 C．△×10－△＝△×（10－1）＝△×9，和原式不相等。 D．△×10＋△×0.1＝△×（10＋0.1）＝△×10.1，和原式不相等。 2．算式9.9×2.1＝10×2.1－0.1×2.1运用的运算定律是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 【解答】9.9×2.1 ＝（10－0.1）×2.1→拆数 ＝10×2.1－0.1×2.1→乘法分配律 ＝21－0.21 ＝20.79 算式9.9×2.1＝10×2.1－0.1×2.1运用的运算定律是乘法分配律。 3．明明不小心把7.368×0.2抄成7.668×0.2，所得的积与正确的得数比较（    ）。 A．增加0.3 B．增加0.03 C．增加0.06 D．增加0.006 【答案】C 【分析】把7.368×0.2抄成7.668×0.2，那么错误算式所得的积比正确的得数增加了7.668×0.2－7.368×0.2，根据乘法分配律进行简算即可得解。 【解答】7.668×0.2－7.368×0.2 ＝（7.668－7.368）×0.2 ＝0.3×0.2 ＝0.06 所得的积与正确的得数比较，增加0.06。 4．超市促销“助农水果”，每千克9.8元，买10.2千克，下列算式与9.8×10.2结果相等的是（    ）。 A．9.8×10＋0.2 B．9.8×10＋9.8×0.2 C．9.8×10×0.2 D．9.8×（10＋0.02） 【答案】B 【分析】9.8×10.2，将10.2拆成（10＋0.2），根据乘法分配律，9.8分别与小括号里的数相乘，再相加； 9.8×10.2，将9.8拆成（10－0.2），根据乘法分配律，小括号里的数分别与10.2相乘，再相减。 【解答】9.8×10.2 ＝9.8×（10＋0.2） ＝9.8×10＋9.8×0.2→与选项B一样 ＝98＋1.96 ＝99.96（元） 9.8×10.2 ＝（10－0.2）×10.2 ＝10×10.2－0.2×10.2 ＝102－2.04 ＝99.96（元） 与9.8×10.2结果相等的是9.8×10＋9.8×0.2。 5．小亮去文具店买了6支同样的钢笔，每支12.8元，他在用计算器计算总价“12.8×6”时，发现计算器的数字键“8”坏了，如果仍要用计算器算出结果，以下输入方法正确的是（    ）。 A．10×6＋2.8×6 B．13×6－0.2×6 C．12×6＋6 D．128×6÷10 【答案】B 【分析】用计算器计算“12.8×6”时，发现计算器的数字键“8”损坏了，则不能输入“8”，可以把12.8转化成（13－0.2），然后根据乘法分配律进行计算。 【解答】A．输入的算式含有8，不符合题意，该选项错误。 B．13×6－0.2×6＝（13－0.2）×6＝12.8×6，可以计算，符合题意，该选项正确。 C．12×6＋6＝（12＋1）×6＝13×6，与所要计算的算式不同，不符合题意，该选项错误。 D．输入的算式含有8，不符合题意，该选项错误。 因此输入方法正确的是13×6－0.2×6。 二、填空题 6．在小学数学学习中，计算是数学的心脏，可以说“得计算者，得数学”。聪聪在一次计算比赛中，把10×（▲＋0.3）错算成了10×▲＋0.3，他计算的结果与正确结果相差（ ）。 【答案】2.7 【分析】先利用乘法分配律计算10×（▲＋0.3），再减去10×▲＋0.3，即可计算出相差多少。 【解答】10×（▲＋0.3）＝10×▲＋10×0.3＝10×▲＋3 （10×▲＋3）－（10×▲＋0.3）＝10×▲＋3－10×▲－0.3＝3－0.3＝2.7。 7．简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用（ ）律，可以先算（ ）＋（ ），再乘（ ）。 【答案】乘法分配 14.6 5.4 0.45 【分析】观察算式发现有相同的因数0.45，符合乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c的特征，因此运用乘法分配律进行简便计算，把14.6和5.4先相加，再乘0.45。 【解答】0.45×14.6＋0.45×5.4 ＝0.45×（14.6＋5.4） ＝0.45×20 ＝9 简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用乘法分配律，可以先算14.6＋5.4，再乘0.45，结果是9。 8．明明在用计算器计算14.3×9.8时，错误地输成了13.3×9.8，他需要加（ ）才能得到正确的结果。 【答案】9.8 【分析】用14.3×9.8－13.3×9.8，再利用乘法分配律进行简算，算出的结果即可。 【解答】14.3×9.8－13.3×9.8 ＝（14.3－13.3）×9.8 ＝1×9.8 ＝9.8 明明在用计算器计算14.3×9.8时，错误地输成了13.3×9.8，他需要加9.8才能得到正确的结果。 9．如果★＋▲＝100，★×▲＝1600，那么算式★×0.25＋▲×0.25的得数是（ ）；算式★×（0.25×▲）的得数是（ ）。 【答案】25 400 【分析】（1）逆用乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c可知：★×0.25＋▲×0.25＝（★＋▲）×0.25，再把★＋▲＝100整体代入求值即可； （2）根据乘法交换律a×b×c＝a×c×b、乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）可知：★×（0.25×▲）＝0.25×（★×▲），再把★×▲＝1600整体代入求值即可。 【解答】★×0.25＋▲×0.25＝（★＋▲）×0.25； 当★＋▲＝100时，（★＋▲）×0.25＝100×0.25＝25； ★×（0.25×▲）＝0.25×（★×▲）； 当★×▲＝1600时，0.25×（★×▲）＝0.25×1600＝400。 如果★＋▲＝100，★×▲＝1600，那么算式★×0.25＋▲×0.25的得数是25；算式★×（0.25×▲）的得数是400。 10．科学研究表明，每平方米森林每年可吸收约32.9kg二氧化碳。2.5m2森林40年—共可吸收约（ ）kg二氧化碳。 【答案】3290 【分析】先用32.9乘2.5计算出2.5m2森林每年大约可吸收的二氧化碳量；再用2.5m2森林每年大约可吸收的二氧化碳量乘40即可。 【解答】32.9×2.5×40 ＝32.9×（2.5×40） ＝32.9×100 ＝3290（kg） 科学研究表明，每平方米森林每年可吸收约32.9kg二氧化碳。2.5m2森林40年—共可吸收约3290kg二氧化碳。 三、计算题 11．脱式计算，能简算的要简算。 8.6×99＋8.6           12.5×0.4×0.8×2.5         2.17＋0.5×3.4 【答案】860；10；3.87 【分析】（1）将8.6看作8.6×1，利用乘法分配律逆运算简算； （2）利用乘法交换律和结合律凑整简算； （3）按照运算顺序，先算乘法，再算加法。 【解答】（1）8.6×99＋8.6         ＝8.6×99＋8.6×1         ＝8.6×（99＋1） ＝8.6×100                    ＝860     （2）12.5×0.4×0.8×2.5 ＝（12.5×0.8）×（0.4×2.5） ＝10×1 ＝10 （3）2.17＋0.5×3.4 ＝2.17＋1.7   ＝3.87 四、解答题 12．张老师买了一套茶具（如下图），每个茶杯5.5元，茶壶的价钱是每个茶杯的4倍。买这样的一套茶具，一共需要多少钱？ 【答案】55元 【分析】根据题意可知，茶壶的价钱是每个茶杯的4倍，用茶杯的价钱×4，求出茶壶的价钱，再根据总价＝单价×数量，用茶杯的价钱×6，求出6个茶杯的价钱，再加上茶壶的价钱，即可求出一共需要的钱数。 【解答】5.5×6＋5.5×4 ＝5.5×（6＋4） ＝5.5×10 ＝55（元） 答：这套茶具一共需要55元钱。 13．一个苹果大约重0.225千克，一个西瓜的质量是一个苹果的16倍，这个西瓜重多少千克？ 【答案】 3.6千克 【分析】依据是“求一个数的几倍是多少，用乘法计算”： 已知一个苹果重0.225千克，西瓜质量是苹果的16倍，因此西瓜的重量＝苹果的重量×16。 【解答】0.225×16 ＝0.225×（10＋6） ＝0.225×10＋0.225×6 ＝2.25＋1.35 ＝3.6（千克） 答：西瓜的质量为3.6千克。 14．济南市学校图书馆购进了童话书和故事书各160套。童话书每套16.8元，故事书每套14.5元，购进这些书一共需要多少钱？ 【答案】5008元 【分析】根据“总价＝单价×数量”分别表示出购买童话书需要的钱数和购买故事书需要的钱数，最后相加求出购进这些书需要的总钱数，据此解答。 【解答】16.8×160＋14.5×160 ＝（16.8＋14.5）×160 ＝31.3×160 ＝5008（元） 答：购进这些书一共需要5008元。 15． （1）冬冬要买4本练习本和4支铅笔，一共要付多少元？ （2）明明要买6本练习本和5支铅笔，一共要付多少元？ 【答案】（1）16元 （2）23.2元 【分析】（1）已知冬冬要买4本练习本和4支铅笔，练习本每本3.2元，铅笔每支0.8元，根据总价＝数量×单价，用买练习本的数量乘单价，用买铅笔的数量乘单价，最后求出它们的和，就是一共要付多少元。 （2）同理，明明用买练习本的数量乘单价，再用买铅笔的数量乘单价，最后求出它们的和，就是一共要付多少元。 【解答】（1）3.2×4＋0.8×4 ＝（3.2＋0.8）×4 ＝4×4 ＝16（元） 答：一共要付16元。 （2）3.2×6＋0.8×5 ＝19.2＋4 ＝23.2（元） 答：一共要付23.2元。 学科网（北京）股份有限公司 $