（新知抢先）第8讲 角的度量和画角【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年人教版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年人教版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第8讲 角的度量和画角【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、角的度量单位。 1、角的大小与边的长短无关，与角张开的大小有关。 2、一个圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度（记作:1'），通常用1°作为 角的度量单位。 3、1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。 二、认识量角器 1、测量角的一般工具是量角器。 在使用量角器之前我们需要认识量角器，量角器一般都是半圆形的，半圆的直径就是量角器的零刻度线，直径的中心位置就是量角器的中心点，半圆上的刻度用于量角的度数，范围是0°到180°。 2、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 3、用量角器画角 （1）用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 （2）对于一些特殊度数的角（如：15°，30° ，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150° 等），可以利用三角尺上的角画出来。 1、同时满足“顶点与量角器中心重合、0刻度线与角的一条边对齐”两个对齐要求测得的数值，才是本单元认可的标准角的度量结果，仅靠视觉估读、未完成双对齐操作得到的度数不能作为有效度量结论。 2、读取角的度量数值时，要先确认对齐的0刻度线对应的是量角器内圈还是外圈刻度，不能随意跨圈读取刻度数值，直接导致测得的度数和实际值偏差超过几十度。 3、用量角器绘制指定度数的角时，要先画出一条射线作为角的起始边，再精准定位对应度数的刻度点后连接端点，不能跳过定位步骤直接徒手绘制，导致画出的角的度数误差过大。 4、反向核验角的度量结果时，将测得的度数代入量角器的刻度区间反向比对，最终得到的角的两条边张开程度必须和对应度数的标准角完全匹配。 5、绘制指定度数的角完成后，要重新用量角器复测画出的角的实际度数，不能直接默认绘制结果完全符合要求，忽略绘制过程中产生的操作误差。 6、标注角的度量、画角相关的最终结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角的度数指代模糊。 7、处理非整十度数的角的度量场景时，要精准对齐刻度线读取细分刻度，不能直接四舍五入到邻近的整十度数，随意修改测得的精准数值。 8、同一道角的度量或画角题目中，量角器的刻度读取基准、对齐规则必须完全统一，不能中途随意切换内外圈刻度，打乱度量操作的逻辑严谨性。 9、解决角的度量相关的实际应用问题时，要先锚定“双对齐、准读数”的核心操作规范，不能直接凭角的外观大小盲目估读度数，脱离度量的精准性要求。 10、仅符合“角的边为直射线、量角器操作对齐规范”的标准场景，才能适配本单元的角的度量与画角规则，边为曲线、无明确顶点的特殊图形不能随意套用常规的角的度量逻辑。 一、选择题 1．下午3点30分时，时针和分针所形成的角是一个（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°，3点30分，分针指向数字6，时针从数字3开始走动，30分钟走了半个大格，此时时针位于数字3和4的正中间， 即时针与分针之间相隔2个大格加半个大格。 【解答】 30°×2＋30°÷2 ＝60°＋15° ＝75° 下午3点30分时，时针和分针所形成的角是一个75°。 2．下图是一个活动角，如果把这个角的一边旋转40°，另一边旋转55°，那么得到角的度数不可能是（    ）。 A．45° B．65° C．105° D．125° 【答案】C 【分析】根据题意分析，活动角原来是30°。角的两条边可沿两种不同的方向旋转，一个是两边沿相反方向旋转，另一个是两边沿相同方向旋转，把两种不同方向旋转所得到的角计算出来，据此选择。 【解答】如果两边沿相反的方向旋转，则可能得到的角为： 30°＋40°＋55°＝125° 40°－30°＋55°＝65° 55°－30°＋40°＝65° ②如果两边沿相同的方向旋转，则可能得到的角为： 30°＋40°－55°＝15° 30°＋55°－40°＝45° 因此，可能得到的角为：15°、45°、65°、125°，不可能得到的角是105°。 故答案为：C 3．如图，乐乐用量角器测量一个角时，角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°刻度线对齐了，这个角实际的度数应该是（    ）。 A．110° B．100° C．70° D．60° 【答案】B 【分析】从图中可知，用量角器测量所量角的角度时，角的任意一边都没有与量角器的0刻度线重合；所以用量角器同一圈中与角的一边重合大的刻度减去与角的一边重合小的刻度，可得出所量角的度数；因为角的一条边对着量角器上“100”的刻度，另一条边对着刻度“110”，说明从10°到110°之间的度数就是这个角的度数，据此选择即可。 【解答】110°－10°＝100° 实际的度数应该是100°。 故答案为：B 4．乐乐用一副三角尺分别拼出四个角（如下图），其中（    ）的度数是。 A． B． C．D． 【答案】C 【分析】明确平角是180°，根据对三角尺的认识，一副三角尺有30°、60°、90°、45°的角，据此计算出每个选项的角的度数，选出是135°的即可。 【解答】A．90°＋60°＝150°，不符合题意； B．45°－30°＝15°，不符合题意； C．180°－45°＝135°，符合题意。 D．180°－60°＝120°，不符合题意。 的度数是135°。 5．一束光照在镜面上会反射出一条光线，如图：已知∠2＝∠3，∠4＝150°，那么∠1＝（    ）。 A．60° B．100° C．120° D．130° 【答案】C 【分析】观察图中信息，∠3和∠4组成一个平角，即180°，先利用减法计算出∠3的度数，根据∠2＝∠3，∠4－∠1＝∠2，代入数据计算即可。 【解答】 ∠1为120°。 二、填空题 6．如果线段AB绕点A根据箭头所示顺时针方向旋转一周回到它起始的位置，它总共旋转的角度是（ ）°。但现在它只旋转到了AB'的位置，它旋转了（ ）°。 【答案】360 315 【分析】线段旋转一周回到起始位置，刚好转动了完整的一圈，一圈对应的角度是360°；观察图形，通过测量判断原线段AB和旋转后AB'的较小的夹角，减法得出答案。 【解答】由分析得出，顺时针方向旋转一周回到它起始的位置，它总共旋转的角度是360°；旋转到了AB'的位置时，较小的夹角通过测量后为45°，，则它旋转了315°。 7．军军用量角器量角时，其中一条边没有与0°刻度线对齐，但与10°刻度线对齐了，角的另一条边对着90°刻度线，这个角的度数是（ ）°。 【答案】80 【分析】用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，看准内圈还是外圈，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。 角的一条边没有与0刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样一个角被他量成了90°的角，用90°减10°才是这个角的度数。 【解答】90°－10°＝80° 这个角度数是80°。 8．同学们在用量角器量角时，遇到了两个问题。 （1）角的一条边没有与0°刻度线重合，而是与20°刻度线重合，另一条边与90°刻度线重合，这个角的度数是（ ）°。 （2）读数时内外刻度看错了，一个锐角被量成了120°的钝角，实际这个角的度数是（ ）°。 【答案】（1）70 （2）60 【分析】（1）用量角器量角时，如果角的一条边没有与0°刻度线重合，而是与某一刻度线重合，则角的度数应为两条边所对刻度之差； （2）读数时看错内外刻度，误将锐角读作钝角，实际角度与误读数之和为180°，因此实际角度为180°减去误读数。 【解答】（1）90°－20°＝70°，所以这个角的度数是70°。 （2）180°－120°＝60°所以实际这个角的度数是60°。 9．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约在21时9分，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离。从20时59分到21时9分，经过了（ ）分钟，分针旋转了（ ）°。 【答案】10 60 【分析】经过时间＝结束时刻－开始时刻；钟面上有12个大格，每大格有5个小格，总共60个小格，每个小格360°÷60＝6°。经过几分钟就是几乘6°，据此计算。 【解答】21时9分－20时59分＝10分钟 360°÷60＝6° 6°×10＝60° 从20时59分到21时9分，经过了10分钟，分针旋转了60°。 10．将一个正方形的四个角剪下来，拼在一起正好是一个（ ）角。下图是一副三角尺，图中∠1＝（ ）°。 【答案】周 35 【分析】正方形的四个角相等，都是直角，直角是90°、周角是360°，1个周角＝4个直角，将一个正方形的四个角剪下来拼在一起正好是周角。据此判断。 观察图形发现直角三角形的60°角、∠1与一个85°角组成一个平角，根据平角等于180°，据此求出∠1的度数。 【解答】由分析可知， 90°×4＝360° ∠1＝180°－60°－85° ＝120°－85° ＝35° 将一个正方形的四个角剪下来，拼在一起正好是一个周角。下图是一副三角尺，图中∠1＝35°。 三、作图题 11．钟面上画出的是分针，请你根据时针和分针所成角的度数画出时针（各画出一种）。 【答案】见详解 【分析】结合图中信息，钟面一圈是，被12个数字平均分成12个大格，因此每个大格的角度是30°。第一个钟（分针指向12，要求夹角）： 说明时针和分针只相差1个大格，因此可以把时针画在数字1的位置（1时）；第二个钟（分针指向6，要求夹角）： ，说明时针和分针相差3个半大格；分针指向6时是半时，时针在两个相邻数字的中间：可以把时针画在数字2和3的正中间（2点半）。 【解答】如图： （答案不唯一） 12．先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【答案】 【分析】（1）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器85°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角； （2）一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，因为60°＋90°＝150°，据此拼出即可。 【解答】略 四、解答题 13．小华在使用量角器测量∠1时，用量角器的0刻度线与∠1的一条边重合，然后顺着0刻度线向上看，∠1的另一边对着125°这条刻度线。小红在测量∠2时，用量角器10°刻度线与∠2的一条边重合，然后顺着10°刻度线向上看，∠2的另一条边对准130°这条刻度线，两人读数都正确，你能判断∠1和∠2两个角哪个角大，哪个角小吗？ 【答案】∠1大；∠2小 【分析】量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此计算出∠1的度数；然后用130°减10°，从而计算出∠2的度数，最后再比较即可。 【解答】根据题意可知，∠1＝125°。 ∠2＝130°－10°＝120° 125°＞120° 答：∠1大，∠2小。 14．一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下6根刻度线，分别是刻度线0、10、25、43、60、75，用这把量角器可以一次性量出多少个大小不等的角？ 【答案】13 个 【分析】量角器上任意两根刻度线都可以组成一个角，角的大小等于两根刻度线对应数值的差。解题时先计算出所有可能的两两之差，再找出其中数值相等的情况，从总数中减去重复的个数，即可得到大小不等的角的数量。 【解答】确定量角器上现有的刻度数值：0、10、25、43、60、75。 有序列举任意两个刻度值的差： 以0为基准：10－0＝10，25－0＝25，43－0＝43，60－0＝60，75－0＝75。 以10为基准：25－10＝15，43－10＝33，60－10＝50，75－10＝65。 以25为基准：43－25＝18，60－25＝35，75－25＝50。 以43为基准：60－43＝17，75－43＝32。 以60为基准：75－60＝15。 统计差值总数： 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（个）。 排除重复的度数： 差值50出现2次（60－10和75－25）。 差值15出现2次（25－10和75－60）。 重复的个数为2个。 计算大小不等的角的数量： 15－2＝13（个） 答：用这把量角器可以一次性量出13个大小不等的角。 15．滑梯是同学们喜爱的游乐设施之一，下图是设计师完成的部分设计图。 （1）量一量：滑梯的攀登梯倾角的度数。 ∠1＝（ ）°。 （2）画一画：据调查，滑梯滑道的倾角（与地面之间形成的最小角）的安全范围是30°～45°。根据要求画出滑道，再标出倾角的度数。 【答案】（1）65 （2）见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此测量滑梯的攀登梯倾角的度数。 （2）先在滑梯右侧的地面位置确定一个起点，从这个起点画一条线段作为地面的参考线。从起点向上画一条线段作为滑道，让这条滑道和地面参考线的夹角在 30°～45°之间（比如选择30°、32°、45°都符合要求）。最后在夹角的位置标注出你选择的度数。 【解答】（1）∠1＝65° （2） （答案不唯一，只要度数在30°～45°均可） 16．下图是用一副三角尺拼出的角。 （1）这个角的度数可以这样计算： （    ）°＋（    ）°＝（    ）° （2）这是一个（    ）角，它比平角小（    ）°。 （3）请在下框中画出一个与这个角大小相等的角。 【答案】（1）45；90；135； （2）钝；45； （3） 【分析】（1）一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，将它们进行组合即可；据此观察图形可知，这个角是用45°与90°的角拼成的。 （2） 根据钝角大于90°而小于180°，可得出这个角是钝角，用平角的度数减去这个角的度数，就是它比平角小的度数。 （3）画角时要先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合。0刻度线和射线重合，对准135°的刻度点上点，从射线的端点起，过刚才画好的点画一条射线，并标上度数即可。 【解答】（1）45°＋90°＝135° 所以，这个角的度数可以这样计算：45°＋90°＝135°。 （2）180°－135°＝45° 所以，这是一个钝角，它比平角小45°。 （3）画图略； 【点睛】熟练掌握角的画法及角的分类与换算，是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第8讲 角的度量和画角【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、角的度量单位。 1、角的大小与边的长短无关，与角张开的大小有关。 2、一个圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度（记作:1'），通常用1°作为 角的度量单位。 3、1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。 二、认识量角器 1、测量角的一般工具是量角器。 在使用量角器之前我们需要认识量角器，量角器一般都是半圆形的，半圆的直径就是量角器的零刻度线，直径的中心位置就是量角器的中心点，半圆上的刻度用于量角的度数，范围是0°到180°。 2、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 3、用量角器画角 （1）用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 （2）对于一些特殊度数的角（如：15°，30° ，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150° 等），可以利用三角尺上的角画出来。 1、同时满足“顶点与量角器中心重合、0刻度线与角的一条边对齐”两个对齐要求测得的数值，才是本单元认可的标准角的度量结果，仅靠视觉估读、未完成双对齐操作得到的度数不能作为有效度量结论。 2、读取角的度量数值时，要先确认对齐的0刻度线对应的是量角器内圈还是外圈刻度，不能随意跨圈读取刻度数值，直接导致测得的度数和实际值偏差超过几十度。 3、用量角器绘制指定度数的角时，要先画出一条射线作为角的起始边，再精准定位对应度数的刻度点后连接端点，不能跳过定位步骤直接徒手绘制，导致画出的角的度数误差过大。 4、反向核验角的度量结果时，将测得的度数代入量角器的刻度区间反向比对，最终得到的角的两条边张开程度必须和对应度数的标准角完全匹配。 5、绘制指定度数的角完成后，要重新用量角器复测画出的角的实际度数，不能直接默认绘制结果完全符合要求，忽略绘制过程中产生的操作误差。 6、标注角的度量、画角相关的最终结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角的度数指代模糊。 7、处理非整十度数的角的度量场景时，要精准对齐刻度线读取细分刻度，不能直接四舍五入到邻近的整十度数，随意修改测得的精准数值。 8、同一道角的度量或画角题目中，量角器的刻度读取基准、对齐规则必须完全统一，不能中途随意切换内外圈刻度，打乱度量操作的逻辑严谨性。 9、解决角的度量相关的实际应用问题时，要先锚定“双对齐、准读数”的核心操作规范，不能直接凭角的外观大小盲目估读度数，脱离度量的精准性要求。 10、仅符合“角的边为直射线、量角器操作对齐规范”的标准场景，才能适配本单元的角的度量与画角规则，边为曲线、无明确顶点的特殊图形不能随意套用常规的角的度量逻辑。 一、选择题 1．下午3点30分时，时针和分针所形成的角是一个（    ）。 A． B． C． D． 2．下图是一个活动角，如果把这个角的一边旋转40°，另一边旋转55°，那么得到角的度数不可能是（    ）。 A．45° B．65° C．105° D．125° 3．如图，乐乐用量角器测量一个角时，角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°刻度线对齐了，这个角实际的度数应该是（    ）。 A．110° B．100° C．70° D．60° 4．乐乐用一副三角尺分别拼出四个角（如下图），其中（    ）的度数是。 A． B． C．D． 5．一束光照在镜面上会反射出一条光线，如图：已知∠2＝∠3，∠4＝150°，那么∠1＝（    ）。 A．60° B．100° C．120° D．130° 二、填空题 6．如果线段AB绕点A根据箭头所示顺时针方向旋转一周回到它起始的位置，它总共旋转的角度是（ ）°。但现在它只旋转到了AB'的位置，它旋转了（ ）°。 7．军军用量角器量角时，其中一条边没有与0°刻度线对齐，但与10°刻度线对齐了，角的另一条边对着90°刻度线，这个角的度数是（ ）°。 8．同学们在用量角器量角时，遇到了两个问题。 （1）角的一条边没有与0°刻度线重合，而是与20°刻度线重合，另一条边与90°刻度线重合，这个角的度数是（ ）°。 （2）读数时内外刻度看错了，一个锐角被量成了120°的钝角，实际这个角的度数是（ ）°。 9．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约在21时9分，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离。从20时59分到21时9分，经过了（ ）分钟，分针旋转了（ ）°。 10．将一个正方形的四个角剪下来，拼在一起正好是一个（ ）角。下图是一副三角尺，图中∠1＝（ ）°。 三、作图题 11．钟面上画出的是分针，请你根据时针和分针所成角的度数画出时针（各画出一种）。 12．先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 四、解答题 13．小华在使用量角器测量∠1时，用量角器的0刻度线与∠1的一条边重合，然后顺着0刻度线向上看，∠1的另一边对着125°这条刻度线。小红在测量∠2时，用量角器10°刻度线与∠2的一条边重合，然后顺着10°刻度线向上看，∠2的另一条边对准130°这条刻度线，两人读数都正确，你能判断∠1和∠2两个角哪个角大，哪个角小吗？ 14．一把被磨损的量角器，大多数的刻度已经看不清了，只留下6根刻度线，分别是刻度线0、10、25、43、60、75，用这把量角器可以一次性量出多少个大小不等的角？ 15．滑梯是同学们喜爱的游乐设施之一，下图是设计师完成的部分设计图。 （1）量一量：滑梯的攀登梯倾角的度数。 ∠1＝（ ）°。 （2）画一画：据调查，滑梯滑道的倾角（与地面之间形成的最小角）的安全范围是30°～45°。根据要求画出滑道，再标出倾角的度数。 16．下图是用一副三角尺拼出的角。 （1）这个角的度数可以这样计算： （    ）°＋（    ）°＝（    ）° （2）这是一个（    ）角，它比平角小（    ）°。 （3）请在下框中画出一个与这个角大小相等的角。 学科网（北京）股份有限公司 $