（新知抢先）第10讲 探索内角和的奥秘【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第10讲 探索内角和的奥秘【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、把多边形分割成若干个三角形：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，能分出‌（n－2）个三角形‌，内角和就是这些三角形内角和的总和。 2、‌n边形的内角和=（n－2）×180°‌，其中n代表多边形的边数（n≥3），内角和仅和边数有关，和图形的大小、形状无关。 1、同时满足“将多边形通过合规方式分割为若干个完整三角形、所有三角形内角和无重复无遗漏求和”规则得到的结果，才是本单元认可的多边形内角和标准结论，仅靠局部角度估算、未完成全部分割核验得到的和值不能作为有效判定依据。 2、用从单个顶点引对角线的方法推导多边形内角和时，要保证分割得到的三角形数量为边数减2，不能随意多算或少算分割出的三角形个数，否则会直接导致最终总内角和的计算结果出现明显偏差。 3、用在多边形内部取点连接所有顶点的方法验证内角和时，要明确分割得到的n个三角形的内角总和需要减去中心位置的360°周角，不能遗漏减去这个额外的周角，得到错误的内角和数值。 4、反向核验多边形内角和的计算结果时，将得到的总内角和代入公式（n−2）×180∘反向推导边数，最终得到的边数必须和给定多边形的实际边数完全匹配。 5、判定任意多边形的内角和属性时，要明确多边形的内角和仅由边数决定，随边数增加按固定规律递增，不能仅凭多边形的外观尺寸更大就判定它的内角和会超出对应边数的标准值，混淆内角和的恒定属性。 6、标注多边形内角和相关的计算结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角度数值的指代完全失真。 7、处理边数较多的多边形内角和计算场景时，要优先准确数清多边形的总边数，再代入对应公式运算，不能直接套用低边数多边形的内角和数值硬套，得到不符合边数属性的错误结果。 8、同一道多边形内角和的相关题目中，角度的度量基准、三角形内角和的固定值定义必须完全统一，不能中途随意切换角度的计数单位、更改180°的标准三角形内角和数值，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决多边形内角和的实际应用问题时，要先锚定“内角和仅由边数决定、分割求和无重复无遗漏”的核心规则，不能直接硬套三角形内角和的单一定论，忽略不同边数多边形的内角和变化规律。 10仅符合“由n条线段首尾顺次连接围成、属于封闭平面凸图形”要求的标准多边形场景，才能适配本单元的多边形内角和规则，非封闭图形、边数统计模糊的特殊图形，不能随意套用常规的多边形内角和判定逻辑。 一、选择题 1．下面角的度数中，不可能是多边形的内角和的是（    ）。 A．320° B．540° C．720° D．900° 2．如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 3．下列根据三角形和四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 4．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 5．学校运动会校徽是一个正多边形，这个正多边形的内角和是1080°。这是一个正（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．九 二、填空题 6．如下图，沿正六边形的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是（ ）°，正六边形的内角和是（ ）°。 小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。 7．如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个（ ）角，所以四边形的内角和是（ ）°。 8．如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝（ ）°。 9．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是（ ）条。 10．如图所示，用两个完全相同的三角板分别拼出一个正方形和一个三角形。 （1）拼出来的正方形的内角和是________； （2）拼出来的三角形的内角和是________。 三、计算题 11．算出∠D的度数。 四、解答题 12．根据三角形的内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？ 13．十边形的内角和是多少度？如果这个十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角是多少度呢？ 14．观察下面表格中的多边形，填一填，你能发现什么规律？ 多边形 …… 边数（条） 3 4 5 6 … 内角和 180° … （1）如果用n表示多边形，用含有字母的式子表示你发现的规律。 （2）当n＝12时，12边形的内角和是（    ）。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第10讲 探索内角和的奥秘【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、把多边形分割成若干个三角形：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，能分出‌（n－2）个三角形‌，内角和就是这些三角形内角和的总和。 2、‌n边形的内角和=（n－2）×180°‌，其中n代表多边形的边数（n≥3），内角和仅和边数有关，和图形的大小、形状无关。 1、同时满足“将多边形通过合规方式分割为若干个完整三角形、所有三角形内角和无重复无遗漏求和”规则得到的结果，才是本单元认可的多边形内角和标准结论，仅靠局部角度估算、未完成全部分割核验得到的和值不能作为有效判定依据。 2、用从单个顶点引对角线的方法推导多边形内角和时，要保证分割得到的三角形数量为边数减2，不能随意多算或少算分割出的三角形个数，否则会直接导致最终总内角和的计算结果出现明显偏差。 3、用在多边形内部取点连接所有顶点的方法验证内角和时，要明确分割得到的n个三角形的内角总和需要减去中心位置的360°周角，不能遗漏减去这个额外的周角，得到错误的内角和数值。 4、反向核验多边形内角和的计算结果时，将得到的总内角和代入公式（n−2）×180∘反向推导边数，最终得到的边数必须和给定多边形的实际边数完全匹配。 5、判定任意多边形的内角和属性时，要明确多边形的内角和仅由边数决定，随边数增加按固定规律递增，不能仅凭多边形的外观尺寸更大就判定它的内角和会超出对应边数的标准值，混淆内角和的恒定属性。 6、标注多边形内角和相关的计算结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角度数值的指代完全失真。 7、处理边数较多的多边形内角和计算场景时，要优先准确数清多边形的总边数，再代入对应公式运算，不能直接套用低边数多边形的内角和数值硬套，得到不符合边数属性的错误结果。 8、同一道多边形内角和的相关题目中，角度的度量基准、三角形内角和的固定值定义必须完全统一，不能中途随意切换角度的计数单位、更改180°的标准三角形内角和数值，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决多边形内角和的实际应用问题时，要先锚定“内角和仅由边数决定、分割求和无重复无遗漏”的核心规则，不能直接硬套三角形内角和的单一定论，忽略不同边数多边形的内角和变化规律。 10仅符合“由n条线段首尾顺次连接围成、属于封闭平面凸图形”要求的标准多边形场景，才能适配本单元的多边形内角和规则，非封闭图形、边数统计模糊的特殊图形，不能随意套用常规的多边形内角和判定逻辑。 一、选择题 1．下面角的度数中，不可能是多边形的内角和的是（    ）。 A．320° B．540° C．720° D．900° 【答案】A 【分析】根据多边形内角和的计算规律，多边形的内角和等于（为边数），这说明多边形的内角和一定是的倍数。判断各选项中的度数是否能被整除，不能整除的即为不可能出现的内角和。 【解答】A． ，不能整除，所以不可能是多边形的内角和，符合题意； B． ，能整除，是五边形的内角和，不符合题意； C． ，能整除，是六边形的内角和，不符合题意； D． ，能整除，是七边形的内角和，不符合题意。 2．如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【分析】根据题意，如图；在五边形中画辅助线，把五边形分成3个三角形，三角形的内角和是180°，求出五边形的内角和即可。 【解答】180°×3＝540° 足球上一个黑色皮块的内角和是540°。 3．下列根据三角形和四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【答案】A 【分析】三角形的内角和为180°。求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和；四边形的内角和为360°。把多边形分成了几个四边形，多边形的内角和就等于几个四边形的内角之和。据此解答。 【解答】在甲方法中，六边形被分成了4个三角形。180°×4＝720°，即六边形的内角和为720°。 在乙方法中，六边形被分成了2个四边形。360°×2＝720°，即六边形的内角和为720°。 在丙方法中，六边形被分成了2个三角形和1个四边形。180°×2＋360°＝360°＋360°＝720°，即六边形的内角和为720°。 综上所述，甲、乙、丙三种方法都正确。 故答案为：A 4．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意，四边形沿一条直线剪一刀后，新图形的形状取决于切割方式：可能为三角形（内角和180°）、四边形（360°）或五边形（540°），因此内角和各有可能。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 沿对角线切割：四边形被分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°。 切割线从顶点到非顶点的边：分割为一个三角形（内角和180°）和一个四边形（内角和360°）。 切割线穿过两条边且不经过顶点：分割为一个五边形（内角和540°）和一个三角形。 一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是以上都有可能。 故答案为：D 5．学校运动会校徽是一个正多边形，这个正多边形的内角和是1080°。这是一个正（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3），运算倒推，用内角和除以180°再加上2，据此解答。 【解答】1080°÷180°＋2 ＝6＋2 ＝8 所以n＝8，这是一个正八边形。 故答案为：C 二、填空题 6．如下图，沿正六边形的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是（ ）°，正六边形的内角和是（ ）°。 小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。 【答案】360 720 【分析】正六边形的对称轴如图所示：；三角形的内角和是180°，梯形可以分成两个三角形，所以梯形内角和是180°×2；正六边形可以分成4个三角形，所以正六边形内角和＝180°×4，据此解题。 【解答】180°×2＝360° 180°×4＝720° 每个梯形的内角和是360°，正六边形的内角和是720°。 7．如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个（ ）角，所以四边形的内角和是（ ）°。 【答案】周 360 【分析】根据图示可知，四边形的四个角剪下来拼成了一个周角，周角是360°，所以可以得出四边形的内角和是360°。 【解答】如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个周角，所以四边形的内角和是360°。 8．如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝（ ）°。 【答案】240 【分析】根据题意，已知三角形ABC是一个等边三角形，根据等边三角形的特征，其三个角都是60°，即∠A和∠C为60°。如果把三角形沿虚线减去∠B，那么∠1＋∠2＝四边形内角和－∠A－∠C，即可解答。 【解答】已知四边形内角和为360°，即∠1＋∠2＝360°－∠A－∠C，且三角形ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，即∠1＋∠2＝360°－60°－60°＝300°－60°＝240°。 如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝（240）°。 9．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是（ ）条。 【答案】10 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【解答】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 10．如图所示，用两个完全相同的三角板分别拼出一个正方形和一个三角形。 （1）拼出来的正方形的内角和是________； （2）拼出来的三角形的内角和是________。 【答案】（1）360°/360度 （2）180°/180度 【分析】三角形的内角和是180°，与三角形的大小和形状无关，据此计算出拼成的正方形和三角形的内角和。 【解答】（1）拼出来的正方形的内角和等于两个三角形的内角和。 180°＋180°＝360° （2） 拼出来的三角形的内角和等于两个三角形的内角和减去两个直角。 180°＋180°－90°－90° ＝360°－90°－90° ＝270°－90° ＝180° 三、计算题 11．算出∠D的度数。 【答案】∠D＝115° 【分析】根据题意，作辅助线如图：明确∠B是直角，等于90°，三角形的内角和等于180°，图中两个三角形的内角和是360°，用360°减∠B，再减∠A和∠C，即等于∠D的度数，据此即可解答。 【解答】180°×2＝360° ∠D＝360°－40°－90°－115°＝115° 四、解答题 12．根据三角形的内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？ 【答案】360°；720° 【分析】三角形的内角和＝180°。四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加。六边形可以分割成4个三角形，所以六边形的内角和是4个三角形内角和相加。 【解答】 180°×2＝360° 180°×4＝720° 答：四边形的内角和是360°，正六边形的内角和720°。 13．十边形的内角和是多少度？如果这个十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角是多少度呢？ 【答案】1440度；144度 【分析】从n边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线，可以将n边形分成（n－2）个三角形；那么十边形分成的三角形个数为：10－2＝8个；因为三角形的内角和是180度，而十边形可以分成8个三角形，所以十边形的内角和就是这8个三角形内角和的总和，再用内角和除以10，即可得出每个内角是多少度，据此解答。 【解答】10－2＝8（个） 8×180＝1440（度） 1440÷10＝144（度） 答：十边形的内角和是1440度；如果这个十边形的每个内角都相等，它的每个内角是144度。 14．观察下面表格中的多边形，填一填，你能发现什么规律？ 多边形 …… 边数（条） 3 4 5 6 … 内角和 180° … （1）如果用n表示多边形，用含有字母的式子表示你发现的规律。 （2）当n＝12时，12边形的内角和是（    ）。 【答案】360°；540°；720°   （1）180°×（n－2）   （2）1800° 【分析】四边形可分为两个三角形，故它的内角和是两个三角形内角和的度数，结合图形，可知五边形可分为三个三角形，六边形可分为四个三角形，八边形可分为六个三角形，结合三角形的内角和为180°填表； 根据上步分析可知边数每增加1，内角和增加180°，即多边形的内角和＝（边数－2）×180°，用n表示出这个式子，问题即可解答。 【解答】根据分析可知： （1）如果用n表示多边形，用含有字母的式子表示你发现的规律：180°×（n－2） 多边形 …… 边数（条） 3 4 5 6 … 内角和 180° 360° 540° 720° … （2）n＝12 180°×（n－2） ＝180°×（12－2） ＝180°×10 ＝1800° 当n＝12时，12边形的内角和是1800°。 学科网（北京）股份有限公司 $