（新知抢先）第6讲 圆的周长【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第6讲 圆的周长【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的周长除以直径所得的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，为了计算方便，通常取π=3.14。 若用C表示圆的周长，则C=πd或C=2πr。 2、已知圆的直径，我们可以根据圆的周长计算公式C=πd来解答一些简单的实际问题。 3、计算组合图形的周长时，我们一般把组合图形分解成几个基本图形来解答。 1、同时满足“围成圆的封闭曲线一周的总长度、通过化曲为直规则测得”的数值，才是本单元定义的标准圆的周长结果，仅靠直接用直尺量取圆的直径或半径直接得到的长度不能作为圆的周长的有效结论。 2、用绕线法测量圆的周长时，要将棉线完全贴合圆的边缘绕满一整圈，标记好棉线首尾重合的位置后再拉直测量长度，不能出现棉线松弛、绕线不足一圈的情况，否则会直接导致测得的周长和实际值出现明显偏差。 3、用滚动法测量圆的周长时，要在圆的边缘标记好起始点，让圆在平整平面上沿直线无滑动滚动一周，直到标记点再次接触平面后停止，不能出现滚动过程中打滑、滚动不足一周的问题，得到错误的周长测量结果。 4、反向核验圆的周长计算结果时，将得到的周长数值除以直径，最终得到的比值必须和圆周率π的定义完全匹配，不能出现比值和π的数值偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、运用圆的周长公式做运算时，要明确C=πd和C=2πr的对应关系，根据已知条件选择适配的公式代入计算，不能随意混用直径和半径的参数代入公式，得到完全错误的周长结果。 6、标注圆的周长相关的最终结果时，要明确附带对应的长度单位，避免出现漏写单位、混用角度单位的错配问题，导致周长的数值指代完全失真。 7、处理已知圆的周长反推直径或半径的场景时，要将周长数值除以π后再做后续运算，不能直接用周长数值直接除以2得到半径，忽略周长和半径之间的2π倍约束关系。 8、同一道圆的周长相关题目中，圆周率的取值基准、直径与半径的换算规则必须完全统一，不能中途随意切换π的取值精度、更改直径和半径的换算比例，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决圆的周长的实际应用问题时，要先锚定“圆的周长和直径的比值恒定为π”的核心规则，不能直接硬套直线图形的周长计算逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 10、仅符合“图形为标准封闭圆形、边缘所有点到圆心距离完全相等”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的周长运算规则，边缘轮廓不规则、点到圆心距离偏差过大的特殊类圆图形，不能随意套用常规的圆的周长计算逻辑。 一、选择题 1．在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 2．三只蚂蚁分别沿图形爬一周，比较它们所走的路程，说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝丙的路程 B．甲的路程＜乙的路程 C．乙的路程＞丙的路程 D．甲的路程＞丙的路程 3．一个周长为6.28cm的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上。这些小圆周长之和是（    ）cm。 A．3.14 B．12.56 C．9.42 D．6.28 4．淘气从硬纸板上剪下一个直径是1.5cm的圆，从直尺的0刻度线出发，在直尺上滚动一周后，圆的位置可能在（    ）处。 A．A B．B C．C D．D 5．圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率（    ）。 A．圆A大 B．圆B大 C．一样大 D．不确定大小 二、填空题 6．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎（ ）与（ ）之间。 7．圆的半径是（ ）厘米，圆从A点开始沿着直尺滚动一圈到达B点，B点的位置在（ ）厘米～（ ）厘米之间。（填相邻整数） 8．共享单车的使用频率越来越高，一种常见的共享单车车轮直径大约是0.6米，这种车轮的周长是（ ）米；李叔叔在骑行过程中，车轮平均每分钟能转80圈，李叔叔5分钟骑了（ ）米。 9．由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度（ ）路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是（ ）米。 10．生活中，经常把一些同样大的圆柱管用绳子捆扎起来（如下图）。已知每个圆的直径都是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如图所示。 那么，当圆柱管有10个时需要（ ）cm绳子进行捆绑；当圆柱管有n个时需要（ ）cm绳子。 三、计算题 11．计算下面图形的周长。 四、解答题 12．在花卉博览会上，有一个周长是31.4m的圆形展区。现在想把这个圆形展区的半径向外延伸2m，使其变成一个新的圆形展区。这个新的圆形展区的周长为多少米？ 13．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 14．为了测量陈仓大桥的长度，淘气骑一辆车轮半径是0.3米的自行车，从北桥头到南桥头刚好用了270秒，车轮平均每分钟转120圈。 （1）陈仓大桥大约长多少米？（得数保留整数） （2）如果他发现自己测得的结果比网上陈仓大桥的准确长度多10米左右，你认为是什么原因造成的？ 15．学校运动会就要举行了，操场跑道的形状和大小如下图。两边是半圆形，中间是长方形。（取3.14） （1）淘气沿着第二道（由里向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200米赛跑，为了公平起见，请问第3道的起跑线与第1道相差多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第6讲 圆的周长【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的周长除以直径所得的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，为了计算方便，通常取π=3.14。 若用C表示圆的周长，则C=πd或C=2πr。 2、已知圆的直径，我们可以根据圆的周长计算公式C=πd来解答一些简单的实际问题。 3、计算组合图形的周长时，我们一般把组合图形分解成几个基本图形来解答。 1、同时满足“围成圆的封闭曲线一周的总长度、通过化曲为直规则测得”的数值，才是本单元定义的标准圆的周长结果，仅靠直接用直尺量取圆的直径或半径直接得到的长度不能作为圆的周长的有效结论。 2、用绕线法测量圆的周长时，要将棉线完全贴合圆的边缘绕满一整圈，标记好棉线首尾重合的位置后再拉直测量长度，不能出现棉线松弛、绕线不足一圈的情况，否则会直接导致测得的周长和实际值出现明显偏差。 3、用滚动法测量圆的周长时，要在圆的边缘标记好起始点，让圆在平整平面上沿直线无滑动滚动一周，直到标记点再次接触平面后停止，不能出现滚动过程中打滑、滚动不足一周的问题，得到错误的周长测量结果。 4、反向核验圆的周长计算结果时，将得到的周长数值除以直径，最终得到的比值必须和圆周率π的定义完全匹配，不能出现比值和π的数值偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、运用圆的周长公式做运算时，要明确C=πd和C=2πr的对应关系，根据已知条件选择适配的公式代入计算，不能随意混用直径和半径的参数代入公式，得到完全错误的周长结果。 6、标注圆的周长相关的最终结果时，要明确附带对应的长度单位，避免出现漏写单位、混用角度单位的错配问题，导致周长的数值指代完全失真。 7、处理已知圆的周长反推直径或半径的场景时，要将周长数值除以π后再做后续运算，不能直接用周长数值直接除以2得到半径，忽略周长和半径之间的2π倍约束关系。 8、同一道圆的周长相关题目中，圆周率的取值基准、直径与半径的换算规则必须完全统一，不能中途随意切换π的取值精度、更改直径和半径的换算比例，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决圆的周长的实际应用问题时，要先锚定“圆的周长和直径的比值恒定为π”的核心规则，不能直接硬套直线图形的周长计算逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 10、仅符合“图形为标准封闭圆形、边缘所有点到圆心距离完全相等”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的周长运算规则，边缘轮廓不规则、点到圆心距离偏差过大的特殊类圆图形，不能随意套用常规的圆的周长计算逻辑。 一、选择题 1．在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 【答案】D 【分析】要在长方形中画一个最大的半圆，需考虑半圆的直径落在长方形的长或宽上。若以长5厘米为直径，半径为2.5厘米，所需宽度为2.5厘米，小于实际宽3厘米，符合条件；若以宽3厘米为直径，半圆较小。因此最大半圆的直径为5厘米。半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，据此计算即可。 【解答】所画半圆的直径是5厘米。 （厘米） 这个半圆的周长是12.85厘米。 2．三只蚂蚁分别沿图形爬一周，比较它们所走的路程，说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝丙的路程 B．甲的路程＜乙的路程 C．乙的路程＞丙的路程 D．甲的路程＞丙的路程 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出各个图形的周长，比较周长大小即可判断。正方形的周长＝边长×4，圆的周长C＝2πr。 【解答】甲：2×4＝8（cm） 乙：2×3.14×1＝6.28（cm） 丙：1×4×2＝8（cm） 6.28＜8，即乙＜甲＝丙 A．甲的路程＝丙的路程，原题是相等，故原题说法正确。 B．甲的路程＞乙的路程，原题是小于，故原题说法错误。 C．乙的路程＜丙的路程，原题是大于，故原题说法错误。 D．甲的路程＝丙的路程，原题是大于，故原题说法错误。 3．一个周长为6.28cm的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上。这些小圆周长之和是（    ）cm。 A．3.14 B．12.56 C．9.42 D．6.28 【答案】D 【分析】一个周长为6.28cm的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和，根据圆周长公式：C＝πd即可解决。 【解答】每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径。大圆直径为D，小圆直径为，，……，大圆周长C＝πD小圆周长之和＝π＋π＋π……＝π（＋＋……）＝πD，所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即6.28cm。 4．淘气从硬纸板上剪下一个直径是1.5cm的圆，从直尺的0刻度线出发，在直尺上滚动一周后，圆的位置可能在（    ）处。 A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式：，从硬纸板上剪下一个直径是1.5cm的圆，从直尺的0刻度线出发，在直尺上滚动一周后，相当于滚动了一个圆的周长，据此找出圆的位置。 【解答】3.14×1.5＝4.71（cm） 4.71在4和5之间，对应的位置是C处。 5．圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率（    ）。 A．圆A大 B．圆B大 C．一样大 D．不确定大小 【答案】C 【分析】圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，据此解答。 【解答】圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，与圆的直径是多少无关，所以圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率一样大。 故答案为：C 二、填空题 6．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎（ ）与（ ）之间。 【答案】 【分析】根据圆周率的发展历史，结合题干直接填空即可。 【解答】从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎与之间。 【点睛】本题考查了圆周率，掌握圆周率的发展历史是解题的关键。 7．圆的半径是（ ）厘米，圆从A点开始沿着直尺滚动一圈到达B点，B点的位置在（ ）厘米～（ ）厘米之间。（填相邻整数） 【答案】1 6 7 【分析】由题可知圆的半径是1厘米，因为圆从点A滚动一周到点B，根据圆的周长公式：2πr，计算出圆的周长，再判断位置。 【解答】2×3.14×1 ＝6.28×1 ＝6.28（厘米） 在6厘米至7厘米之间。 圆的半径是1厘米，圆从A点开始沿着直尺滚动一圈到达B点，B点的位置在6厘米～7厘米之间。 8．共享单车的使用频率越来越高，一种常见的共享单车车轮直径大约是0.6米，这种车轮的周长是（ ）米；李叔叔在骑行过程中，车轮平均每分钟能转80圈，李叔叔5分钟骑了（ ）米。 【答案】1.884 753.6 【分析】由题意可知，根据圆的周长公式，即可求出车轮的周长； 车轮平均每分钟能转80圈，那么5分钟就骑了5个80圈，用1圈的周长乘80即可求出一共骑了多少米。 【解答】由分析可知，3.14×0.6＝1.884（米），所以车轮的周长是1.884米。 1.884×（5×80） ＝1.884×400 ＝753.6（米） 所以，李叔叔5分钟骑了753.6米。 9．由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度（ ）路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是（ ）米。 【答案】＝ 62.8 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr＝πd计算并比较，完成填空即可。O点到C点的距离是20米，也就是路径①的圆弧的半径是20米。 【解答】设路径②的圆弧的直径是d，则路径①的圆弧的直径是3d。 路径①的长度：3πd÷2＝1.5πd 路径②的长度：πd÷2×3＝1.5πd 所以路径①和路径②相等。 3.14×20×2÷2 ＝62.8×2÷2 ＝62.8（米） 路径①的长度＝路径②的长度；路径①的长是62.8米。 因此，由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度＝路径②的长度。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是62.8米。 10．生活中，经常把一些同样大的圆柱管用绳子捆扎起来（如下图）。已知每个圆的直径都是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如图所示。 那么，当圆柱管有10个时需要（ ）cm绳子进行捆绑；当圆柱管有n个时需要（ ）cm绳子。 【答案】169.12 【分析】观察发现根管子：绳子刚好绕整圆一圈，长度＝圆周长；根管子：绳子个整圆周长上下条直径；根管子：绳子个整圆周长 上下各条直径（一共条直径），即拐角的两个半圆拼在一起刚好凑成一整个圆周，只有直线部分随管子数量增加，每多根管子就多上下条直径。所以根并排圆柱：绳子总长＝个圆的周长条直径。据此回答。 【解答】 三、计算题 11．计算下面图形的周长。 【答案】27.42cm 【分析】组合图形是边长6cm的正方形与直径6cm的半圆组合而成，其周长等于正方形边长的3倍加上圆周长的一半，利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。 【解答】 （cm） 四、解答题 12．在花卉博览会上，有一个周长是31.4m的圆形展区。现在想把这个圆形展区的半径向外延伸2m，使其变成一个新的圆形展区。这个新的圆形展区的周长为多少米？ 【答案】31.4÷3.14÷2＝5（m） 2×3.14×（5＋2）＝43.96（m） 【分析】 据题意可知，新花坛向外延伸两米就是半径增加2米，用原来的半径加上2米，即可求出新花坛的半径；先求出原展区的半径，再求出新展区半径，进而根据圆的周长计算公式，即可算出新展区的周长。 【解答】（m） （m） 答：这个新的圆形展区的周长为43.96米。 13．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 【答案】60圈 【分析】根据圆的周长＝π×直径，据此求出车轮的周长，再用钢丝的长度÷车轮的周长，即可解答，注意单位换算。 【解答】40厘米＝0.4米 75.36÷（3.14×0.4） ＝75.36÷1.256 ＝60（圈） 答：车轮要转动60圈。 14．为了测量陈仓大桥的长度，淘气骑一辆车轮半径是0.3米的自行车，从北桥头到南桥头刚好用了270秒，车轮平均每分钟转120圈。 （1）陈仓大桥大约长多少米？（得数保留整数） （2）如果他发现自己测得的结果比网上陈仓大桥的准确长度多10米左右，你认为是什么原因造成的？ 【答案】（1）1017米 （2）原因见详解 【分析】（1）先将时间270秒换算为以分钟为单位的数，再用车轮平均每分钟转的120圈乘换算后的总时间，计算出车轮转动的总圈数；接着利用圆的周长公式，代入车轮半径0.3米的数据，计算出车轮转动一圈的长度；最后用车轮一圈的长度乘转动的总圈数，计算出陈仓大桥的长度，再按照要求将得数保留整数； （2）结合实际骑行的场景，分析测量结果比准确长度偏多的合理原因，据此解答。 【解答】（1）统一时间单位：1分钟＝60秒  270÷60＝4.5（分钟） 计算车轮转动的总圈数：120×4.5＝540（圈） 计算车轮的周长：2×3.14×0.3＝6.28×0.3＝1.884（米） 计算大桥的长度：1.884×540≈1017（米） （2）测量结果比准确长度多10米左右，可能的原因有： ①骑行过程中车轮出现打滑，车轮空转导致计算的圈数比实际前进的圈数多； ②骑行时没有走完全的直线，行驶的路程比大桥的实际长度长； ③计时出现误差，计时时间比实际骑行时间长，导致计算的总圈数偏多。 （答案不唯一） 15．学校运动会就要举行了，操场跑道的形状和大小如下图。两边是半圆形，中间是长方形。（取3.14） （1）淘气沿着第二道（由里向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200米赛跑，为了公平起见，请问第3道的起跑线与第1道相差多少米？ 【答案】（1）206.76米； （2）12.56米。 【分析】（1）两个半圆形的跑道合起来就是一个圆，先求出第二道两个半圆的直径，即32＋1×2，根据圆的周长公式＝πd，求出圆的周长再加上两条直跑道的长，即可求得淘气跑了多少米。 （2）先求出相邻的两个跑道相隔的距离，即道宽乘2π，则第3道和第1道相差（3－1）个这样的距离，相乘即可。 【解答】（1） ＝（32＋2）×3.14＋50×2 ＝34×3.14＋50×2 ＝106.76＋100 （米）   答：淘气跑了206.76米。   （2） （米）          答：第3道的起跑线与第1道相差12.56米。 学科网（北京）股份有限公司 $