第06课 圆周率的历史（二）（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第06课 圆周率的历史 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）了解历史演变： 知道人类对圆周率的认识经历了从“经验测量”到“理论推算”再到“计算机计算”的漫长过程。 （2）掌握关键人物与成就：了解古埃及、古希腊（阿基米德）对圆周率的早期探索。 重点掌握我国南北朝时期数学家祖冲之的杰出贡献（将圆周率精确到小数点后第七位，领先世界约1000年）。了解刘徽的“割圆术”思想。 （3）认识现代发展： 知道随着科技发展，圆周率的计算精度已经大幅提高（如2021年计算到62.8万亿位）。 2、重难点。 重点： （1）祖冲之的贡献： 铭记祖冲之在圆周率计算史上的地位及其具体成就（3.1415926到3.1415927之间）。 （2）圆周率的发展脉络： 理清从“周三径一”到“割圆术”再到“超级计算机”的发展线索。难点： （1）理解“割圆术”的思想： 对于六年级学生来说，理解刘徽通过不断增加正多边形的边数来逼近圆的周长（极限思想）是比较抽象的难点。需要结合图示进行直观讲解。 （2）情感的内化： 如何将历史上的成就转化为学生内在的学习动力和民族自信，而不仅仅是死记硬背一个名字。 模块二 预习引导 一、圆周率认识的三个阶段： 1、经验测量阶段（古代） 发现： 人们很早就发现，轮子越大滚得越远，圆的周长总是直径的3倍多一点。 古书记载： 中国《周髀算经》中记载：“周三径一”，即π≈3。这是非常粗略的估计。 这种方法受限于测量工具的精度，无法得到更准确的值。 2、理论推算阶段（几何法） 这是数学史上的一大飞跃，不再依赖尺子量，而是靠逻辑推理和计算。 （1）阿基米德（古希腊）： 方法： 使用“双侧逼近法”。他在圆内画内接正多边形，在圆外画外切正多边形。 结论： 随着边数增加，多边形周长越来越接近圆周长。他算出π在和之间。 （2）刘徽（中国魏晋时期）： 方法：“割圆术”。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 思想：蕴含了早期的极限思想（以直代曲）。 成就：计算出π≈3.1416。 祖冲之（中国南北朝）：【核心重点】 成就： 在刘徽的基础上，将圆周率精确到小数点后第七位，即在3.1415926和3.1415927之间。 地位： 这一成就领先世界约 1000年。他还提出了两个分数形式的近似值：约率和密率。 3. 计算机计算阶段（现代） 变革： 随着电子计算机的发明，计算圆周率不再依赖繁琐的人工几何推导，而是利用无穷级数等公式进行高速运算。 现状： 2021年，圆周率已经计算到小数点后62.8万亿位。 二、核心数学思想与方法： 1、极限思想（以直代曲）： 刘徽的“割圆术”是理解这一思想的关键。通过不断增加正多边形的边数，使多边形的周长无限逼近圆的周长。这是微积分思想的萌芽。 2、坚持不懈的科学精神： 从阿基米德到祖冲之，再到现代科学家，对π的追求体现了人类对真理永无止境的探索精神。 三、趣味知识与拓展： 1、π的记忆：教材提到了有人把圆周率编成口诀或歌曲来记忆（如“山巅一寺一壶酒...”对应 3.14159...）。 2、π日： 每年的3月14日被定为“国际数学日”或“圆周率日”（因为3.14）。 随机性： 虽然π是固定的常数，但它的小数位看起来是随机分布的，至今人们还在研究其中是否包含所有可能的数字组合。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．同圆或等圆中，扇形的大小和（    ）有关。 A．直径 B．半径 C．圆周率 D．圆心角 2．大约1500多年前，中国有一位伟大的数学家，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这位数学家是（    ）。 A．贾宪 B．刘徽 C．祖冲之 D．张衡 3．下面关于圆周率π的说法正确的是（    ）。 A．π是圆的周长与这个圆的直径的商 B．π是循环小数 C．π＝3.14 D．π是圆的周长与这个圆的半径的商 4．我国关于圆周率的最早记录出自（    ）。 A．《周髀算经》B．《九章算术》 C．《莱因德纸草书》 D．《几何原本》 5．世界上最早精确计算圆周率的人是我国数学家（    ），远在1500多年前，他就算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，他因此被称作“圆周率之父”，西方人在1000多年以后才获得这样精确的值。 A．刘徽 B．杨辉 C．祖冲之 6．世界上第一个把圆周率的值精确到七位小数的数学家是（    ）。 A．刘徽 B．张衡 C．杨辉 D．祖冲之 7．最先将圆周率值精确到小数点后七位的数学家是（    ），比世界上其他国家领先了约1000年。 A．刘徽 B．祖冲之 C．阿基米德 D．华罗庚 8．公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算出了较精确的圆周率的值。如下图，线段AB表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AC B．线段AN C．线段MN D．线段CM 9．圆周率是圆的周长与直径的比值，公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到圆周率小数点后7位的结果。如果下图中线段AF表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段CE 二、填空题 10．我国南北朝时期的数学家( )得到了π的两个分数形式的近似值：约率为( )，密率为( )，并且算出π的值在( )和( )之间。 11．公元前3世纪，古希腊数学家( )发现：当正多边形的( )增加时，它的形状就越来越接近( )，从而推导出圆周率的值介于( )和( )之间。 12．圆的周长总是它的直径的( )。这个倍数是一个固定不变的数，我们把它叫作圆周率，用π表示。所以圆的周长公式可以表示为( )或( )。 13．我国魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值，他采用“( )”一直算到圆内接正192边形，得出圆周率的近似值是3.14。 14．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：( )＜＜( )，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为( )，密率为( )。 15．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎( )与( )之间。 16．任意一个圆的周长与直径的比叫做圆周率，用字母( )表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似数是( )。 三、解答题 17．收集有关圆周率的资料,并回答下列问题． (1)我国魏晋时期杰出数学家刘徽在研究圆周率方面采用了什么方法?得出了什么结论? (2)说说祖冲之在探究圆周率方面所取得的成就以及这一成就获得的国际声誉． (3)从什么时候开始人们普遍用“π”表示圆周率? 18．圆周率是一个固定的数。请你回忆一下，在前面的数学课上，我们是怎么得出圆周率的，然后制作一个圆形纸片。在一张空白纸上画一条直线，在直线上标出起点，将圆形纸片放在起点处沿所画直线滚动一周，用直尺量出圆形纸片滚动一周的长度，算一算该圆形纸片的周长是直径的多少倍？（可以借助计算器，结果保留四位小数。） 19．在花卉博览会上，有一个周长是31.4m的圆形展区。现在想把这个圆形展区的半径向外延伸2m，使其变成一个新的圆形展区。这个新的圆形展区的周长为多少米？ 20．两个大小不同的轮轴用皮带连接之后（如下图），小轮轴转动会带动大轮轴转动。已知小轮轴的半径是6cm，大轮轴的半径是12cm，如果小轮轴转动100圈，大轮轴会转动多少圈？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 圆周率的历史 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）了解历史演变： 知道人类对圆周率的认识经历了从“经验测量”到“理论推算”再到“计算机计算”的漫长过程。 （2）掌握关键人物与成就：了解古埃及、古希腊（阿基米德）对圆周率的早期探索。 重点掌握我国南北朝时期数学家祖冲之的杰出贡献（将圆周率精确到小数点后第七位，领先世界约1000年）。了解刘徽的“割圆术”思想。 （3）认识现代发展： 知道随着科技发展，圆周率的计算精度已经大幅提高（如2021年计算到62.8万亿位）。 2、重难点。 重点： （1）祖冲之的贡献： 铭记祖冲之在圆周率计算史上的地位及其具体成就（3.1415926到3.1415927之间）。 （2）圆周率的发展脉络： 理清从“周三径一”到“割圆术”再到“超级计算机”的发展线索。难点： （1）理解“割圆术”的思想： 对于六年级学生来说，理解刘徽通过不断增加正多边形的边数来逼近圆的周长（极限思想）是比较抽象的难点。需要结合图示进行直观讲解。 （2）情感的内化： 如何将历史上的成就转化为学生内在的学习动力和民族自信，而不仅仅是死记硬背一个名字。 模块二 预习引导 一、圆周率认识的三个阶段： 1、经验测量阶段（古代） 发现： 人们很早就发现，轮子越大滚得越远，圆的周长总是直径的3倍多一点。 古书记载： 中国《周髀算经》中记载：“周三径一”，即π≈3。这是非常粗略的估计。 这种方法受限于测量工具的精度，无法得到更准确的值。 2、理论推算阶段（几何法） 这是数学史上的一大飞跃，不再依赖尺子量，而是靠逻辑推理和计算。 （1）阿基米德（古希腊）： 方法： 使用“双侧逼近法”。他在圆内画内接正多边形，在圆外画外切正多边形。 结论： 随着边数增加，多边形周长越来越接近圆周长。他算出π在和之间。 （2）刘徽（中国魏晋时期）： 方法：“割圆术”。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 思想：蕴含了早期的极限思想（以直代曲）。 成就：计算出π≈3.1416。 祖冲之（中国南北朝）：【核心重点】 成就： 在刘徽的基础上，将圆周率精确到小数点后第七位，即在3.1415926和3.1415927之间。 地位： 这一成就领先世界约 1000年。他还提出了两个分数形式的近似值：约率和密率。 3. 计算机计算阶段（现代） 变革： 随着电子计算机的发明，计算圆周率不再依赖繁琐的人工几何推导，而是利用无穷级数等公式进行高速运算。 现状： 2021年，圆周率已经计算到小数点后62.8万亿位。 二、核心数学思想与方法： 1、极限思想（以直代曲）： 刘徽的“割圆术”是理解这一思想的关键。通过不断增加正多边形的边数，使多边形的周长无限逼近圆的周长。这是微积分思想的萌芽。 2、坚持不懈的科学精神： 从阿基米德到祖冲之，再到现代科学家，对π的追求体现了人类对真理永无止境的探索精神。 三、趣味知识与拓展： 1、π的记忆：教材提到了有人把圆周率编成口诀或歌曲来记忆（如“山巅一寺一壶酒...”对应 3.14159...）。 2、π日： 每年的3月14日被定为“国际数学日”或“圆周率日”（因为3.14）。 随机性： 虽然π是固定的常数，但它的小数位看起来是随机分布的，至今人们还在研究其中是否包含所有可能的数字组合。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．同圆或等圆中，扇形的大小和（    ）有关。 A．直径 B．半径 C．圆周率 D．圆心角 【答案】D 【分析】扇形的面积与半径和圆心角的大小有关，在同圆或等圆中，说明半径是一定，则扇形的大小和圆心角有关。 【详解】由分析可知： 同圆或等圆中，扇形的大小和圆心角有关。 故答案为：D 【点睛】本题考查扇形的大小，明确扇形的大小与半径和圆心角的大小有关是解题的关键。 2．大约1500多年前，中国有一位伟大的数学家，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这位数学家是（    ）。 A．贾宪 B．刘徽 C．祖冲之 D．张衡 【答案】C 【详解】研究圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，π＝3.1415926……但在实际应用中常常只取它的近似值，如π≈3.14。 大约1500多年前，中国有一位伟大的数学家，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这位数学家是祖冲之。 故答案为：C 3．下面关于圆周率π的说法正确的是（    ）。 A．π是圆的周长与这个圆的直径的商 B．π是循环小数 C．π＝3.14 D．π是圆的周长与这个圆的半径的商 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式（C表示圆的周长，d表示圆的直径），可得，即是圆的周长与这个圆的直径的商，然后分析选项。 【详解】A.是圆的周长与这个圆的直径的商，说法正确。 B.是无限不循环小数，不是循环小数，说法错误。   C.但，说法错误。   D.是圆的周长与直径的商，不是与半径的商，说法错误。 故答案为：A 4．我国关于圆周率的最早记录出自（    ）。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱因德纸草书》 D．《几何原本》 【答案】A 5．世界上最早精确计算圆周率的人是我国数学家（    ），远在1500多年前，他就算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，他因此被称作“圆周率之父”，西方人在1000多年以后才获得这样精确的值。 A．刘徽 B．杨辉 C．祖冲之 【答案】C 【分析】根据圆周率的发展历史，直接解题即可。 【详解】世界上最早精确计算圆周率的人是我国数学家祖冲之。 故答案为：C 【点睛】本题考查了圆周率，解题关键是掌握圆周率的发展历史。 6．世界上第一个把圆周率的值精确到七位小数的数学家是（    ）。 A．刘徽 B．张衡 C．杨辉 D．祖冲之 【答案】D 【分析】中国数学家祖冲之是世界上第一次把圆周率精确到小数点后第七位数字的人，比外国早了近一千年，他推算出圆周率的数值在3.1415926到3.1415927之间，也就是精确到小数点后第七位。 【详解】约l500年前，中国的数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到七位小数的人。 故答案为：D 【点睛】此题考查关于圆周率的历史，让学生记住祖冲之这位了不起的数学大师，增强民族自豪感。 7．最先将圆周率值精确到小数点后七位的数学家是（    ），比世界上其他国家领先了约1000年。 A．刘徽 B．祖冲之 C．阿基米德 D．华罗庚 【答案】B 【详解】最先将圆周率值精确到小数点后七位的数学家是祖冲之，比世界上其他国家领先了约1000年。 故答案为：B 8．公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算出了较精确的圆周率的值。如下图，线段AB表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AC B．线段AN C．线段MN D．线段CM 【答案】C 【分析】圆的周长约是它的直径的3.14倍，通过观察图形中线段的长度与周长的比例关系来判断圆的直径。 【详解】如图中线段AB表示一个圆的周长， A.线段AC长度太短，明显小于周长AB的，如果直径是AC，那么圆的周长不可能是AB那么长，所以A项错误； B.线段AN的长度也较短，远小于周长AB的，不符合圆周长与直径的倍数关系，所以B选项错误；   C.线段MN的长度看起来接近周长AB的，因为圆的周长是直径的约3.14倍，所以MN有可能是圆的直径，C选项正确；   D.线段CM的长度过长，大于周长AB的，如果直径是CM，那么周长会比AB长很多，所以D选项错误。 故答案为：C 9．圆周率是圆的周长与直径的比值，公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到圆周率小数点后7位的结果。如果下图中线段AF表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段CE 【答案】D 【分析】圆的周长与直径的比值约为3.14，即圆的周长为直径的3倍多点，据此判断可知线段CE符合。 【详解】根据圆的周长为直径的3倍多可知，这个圆的直径可能是线段CE； 故答案为：D。 【点睛】明确周长和直径的关系并能灵活利用是解答本题的关键。 二、填空题 10．我国南北朝时期的数学家( )得到了π的两个分数形式的近似值：约率为( )，密率为( )，并且算出π的值在( )和( )之间。 【答案】 祖冲之 3.1415926 3.1415927 【分析】根据对我国圆周率历史的深刻了解以及对圆周率的了解即可解答。 【详解】我国古代科学家祖冲之早在1500年前就精确地推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并用分数给出了π的两个近似值：约率和密率 11．公元前3世纪，古希腊数学家( )发现：当正多边形的( )增加时，它的形状就越来越接近( )，从而推导出圆周率的值介于( )和( )之间。 【答案】 阿基米德 边数 圆 【分析】根据对国外圆周率历史记载，公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆，从而推导出圆周率的值介于和之间。即可解答。 【详解】公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆，从而推导出圆周率的值介于和之间。 12．圆的周长总是它的直径的( )。这个倍数是一个固定不变的数，我们把它叫作圆周率，用π表示。所以圆的周长公式可以表示为( )或( )。 【答案】 3倍多一些 C＝πd C＝2πr 【分析】由于π≈3.14，所以圆的周长总是它的直径的3倍多一些。由于周长是直径的π倍，那么用π乘直径等于周长，同等圆中，周长是直径的2倍，则π乘半径乘2也是周长，据此即可填空。 【详解】由分析可知： 圆的周长总是它的直径的3倍多一些；圆的周长公式可以表示为：C＝πd，C＝2πr。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式以及圆周率，熟练掌握圆的周长公式并灵活运用。 13．我国魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值，他采用“( )”一直算到圆内接正192边形，得出圆周率的近似值是3.14。 【答案】割圆术 【详解】通过学习我们知道，圆周率是圆的周长和直径的比值。我国魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值，他采用“割圆术”一直算到圆内接正192边形，得出圆周率的近似值是3.14。 14．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：( )＜＜( )，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为( )，密率为( )。 【答案】 3.1415926 3.1415927 【详解】祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：3.1415926＜＜3.1415927，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为，密率为。这一成就在世界上领先了约1000年。 15．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎( )与( )之间。 【答案】 【分析】根据圆周率的发展历史，结合题干直接填空即可。 【详解】从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎与之间。 【点睛】本题考查了圆周率，掌握圆周率的发展历史是解题的关键。 16．任意一个圆的周长与直径的比叫做圆周率，用字母( )表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似数是( )。 【答案】 π 3.14 【分析】根据圆周率的概念解答即可。 【详解】任意一个圆的周长与直径的比叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似数是3.14。 【点睛】本题考查圆周率，解答本题的关键是掌握圆周率的概念。 三、解答题 17．收集有关圆周率的资料,并回答下列问题． (1)我国魏晋时期杰出数学家刘徽在研究圆周率方面采用了什么方法?得出了什么结论? (2)说说祖冲之在探究圆周率方面所取得的成就以及这一成就获得的国际声誉． (3)从什么时候开始人们普遍用“π”表示圆周率? 【答案】(1)用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆．得到圆周率的近似值是3.14． (2)得到π的两个分数形式的近似值:约率为,密率为,并且算出π的值在3.1415926和3.1415927之间．这一成就在世界上领先约1000年． (3)1736年以后开始普遍用“π”表示圆周率． 18．圆周率是一个固定的数。请你回忆一下，在前面的数学课上，我们是怎么得出圆周率的，然后制作一个圆形纸片。在一张空白纸上画一条直线，在直线上标出起点，将圆形纸片放在起点处沿所画直线滚动一周，用直尺量出圆形纸片滚动一周的长度，算一算该圆形纸片的周长是直径的多少倍？（可以借助计算器，结果保留四位小数。） 【答案】3.1416 【分析】按照题目的中要求测量出圆的周长，再测量出圆的直径；圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示。 【详解】如图： 先确定起点，滚动一周，确定终点，可知圆的周长，然后测量圆的直径，用圆的周长除以圆的直径，即可得出圆周率。 通过计算可知，π＝3.14159… π≈3.1416 答：圆形纸片的周长是直径的3.1416倍。 19．在花卉博览会上，有一个周长是31.4m的圆形展区。现在想把这个圆形展区的半径向外延伸2m，使其变成一个新的圆形展区。这个新的圆形展区的周长为多少米？ 【答案】31.4÷3.14÷2＝5（m） 2×3.14×（5＋2）＝43.96（m） 【分析】 据题意可知，新花坛向外延伸两米就是半径增加2米，用原来的半径加上2米，即可求出新花坛的半径；先求出原展区的半径，再求出新展区半径，进而根据圆的周长计算公式，即可算出新展区的周长。 【详解】（m） （m） 答：这个新的圆形展区的周长为43.96米。 20．两个大小不同的轮轴用皮带连接之后（如下图），小轮轴转动会带动大轮轴转动。已知小轮轴的半径是6cm，大轮轴的半径是12cm，如果小轮轴转动100圈，大轮轴会转动多少圈？ 【答案】6×2×3.14×100÷（3.14×12×2）＝50（圈） 【分析】一圈为一个周长，根据题意只需分别利用公式求出大、小轮轴的周长，利用周长倍数关系即可求解。 【详解】答：大轮轴会转动50圈。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $