（新知抢先）第9讲 探索三角形三边关系【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第9讲 探索三角形三边关系 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 1、同时满足“由三条线段首尾顺次连接围成、任意两边之和大于第三边”规则判定的图形，才是本单元定义的标准有效三角形，仅靠局部两边长度之和大于第三边就直接判定的图形不能作为合规的三角形判定结论。 2、验证三条线段能否围成三角形时，要优先选取三条线段中长度最短的两条求和，再和最长的线段做比对，不能跳过最短边组合直接验算其余边的和，否则会遗漏最容易出现不满足条件的判定场景。 3、已知三角形两条边的长度推导第三条边的取值范围时，要明确第三条边的长度必须大于已知两边的长度差、同时小于已知两边的长度和，不能随意把边界值直接纳入可取值范围，忽略三边关系的严格判定要求。 4、反向核验三角形三边关系的结果时，将三条边的长度两两求和逐一比对，最终所有的两边和都必须严格大于剩余的第三条边长度，不能出现两边和小于或等于第三边的逻辑矛盾情况。 5、判定任意三角形的三边属性时，要明确无论三角形的形状、角度如何变化，三边关系的约束规则始终生效，不能仅凭三角形的外观是锐角或钝角就随意放宽三边的判定条件，混淆三边关系的普适属性。 6、标注三角形三边相关的计算结果时，要明确附带对应的长度单位，避免出现漏写单位、混用角度单位的错配问题，导致边长数值的指代完全失真。 7、处理等腰三角形、等边三角形这类特殊三角形的三边判定场景时，要先确认相等边的长度取值符合三边关系约束，再结合特殊三角形的边长特性验算，不能直接套用普通不等边三角形的边长分布逻辑，得到不符合特殊三角形属性的错误结果。 8、同一道三角形三边关系的相关题目中，边长的度量基准、长度的比较规则必须完全统一，不能中途随意切换长度的计数单位、更改数值的比较基准，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决三角形三边关系的实际应用问题时，要先锚定“任意两边之和严格大于第三边”的核心规则，不能直接硬套普通线段拼接的逻辑，忽略三角形的封闭图形属性。 一、选择题 1．如图，同学们准备把一根10厘米长的铁丝折成三段，首尾相接围成三角形。如果第一次折在2厘米处，那么第二次折在（    ）处才能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【解答】A．第二次在①处折，三段长为：2厘米、2厘米、6厘米，因为2＋2＜6，所以①处不可以围成三角形； B．第二次在②处折，三段长为：2厘米、3厘米、5厘米，因为2＋3＝5，所以②处不可以围成三角形； C．第二次在③处折，三段长为：2厘米、4厘米、4厘米，因为2＋4＞4，所以③处可以围成三角形； D．第二次在④处折，三段长为：2厘米、7厘米、1厘米，因为2＋1＜7，所以④处不可以围成三角形。 2．一个三角形其中两条边的长度分别是13厘米和9厘米，第三条边的长度可能是（    ）厘米。 A．20 B．22 C．4 D．23 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。通过计算已知两边的和与差，确定第三条边的取值范围，再结合选项进行判断。 【解答】（厘米） （厘米） 根据三角形三边关系，第三条边的长度应大于4厘米且小于22厘米。 观察选项： A．20 厘米，，符合题意； B．22 厘米，等于两边之和，不能围成三角形，此选项错误； C．4 厘米，等于两边之差，不能围成三角形，此选项错误； D．23 厘米，大于两边之和，不能围成三角形，此选项错误。 3．一个三角形，已知两条边的长度分别是12厘米和6厘米，这个三角形的周长最少是（    ）厘米。（周长为整数） A．18 B．23 C．24 D．25 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三条边的长度要小于两边之和且大于两边之差。已知周长为整数，且两条边长为整数，则第三条边长也为整数。在第三条边的取值范围内取最小整数值，再根据三角形周长等于三边之和，即可求出三角形的最小周长。 【解答】已知两条边的长度分别是厘米和厘米，两边这和是， 两边之差是，所以第三边长度要小于18厘米且大于6厘米，可以是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17，最小取值是7，所以周长至少是。 4．下面的几组线段（单位：厘米），能围成三角形的一组是（    ）。 A．2、8、6 B．10、2、7 C．6、3.1、9 D．5.5、11、5.5 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐个分析判断每个选项即可。 【解答】A．2＋6＝8，两条较短线段之和等于最长线段，不能围成三角形，此选项错误； B．2＋7＝9＜10，两条较短线段之和小于最长线段，不能围成三角形，此选项错误； C．3.1＋6＝9.1＞9，两条较短线段之和大于最长线段，能围成三角形，此选项正确； D．5.5＋5.5＝11，两条较短线段之和等于最长线段，不能围成三角形，此选项错误。 5．一张10厘米长的纸条，要把它剪成三段，再首尾相连围成一个三角形。笑笑在2厘米处剪了第一刀，第二刀应剪在（    ）厘米处。 A．5 B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】纸条总长10厘米，第一刀在2厘米处，所以其中一段已经确定为2厘米，剩下两段的总长度是10－2＝8厘米，要剪成3段围成三角形，任意两段的长度和必须大于第三段，可结合选项判断选项是否正确。 【解答】A．剪在5厘米处，三段长度分别为2厘米、5－2＝3厘米、10－5＝5厘米。验证三边关系：2＋3＝5，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形，选项错误； B．剪在6厘米处，三段长度分别为2厘米、6－2＝4厘米、10－6＝4厘米。验证三边关系：2＋4＞4，满足“两边之和大于第三边”，可以围成三角形，选项正确； C．剪在9厘米处，三段长度分别为2厘米、9－2＝7厘米、10－9＝1厘米。验证三边关系：1＋2＜7，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形，选项错误； D．剪在8厘米处，三段长度分别为2厘米、8－2＝6厘米、10－8＝2厘米。验证三边关系：2＋2＜6，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形，选项错误。 二、填空题 6．有两根小棒分别长6cm和10cm，若要摆成一个三角形；第三根小棒最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。（填整厘米数） 【答案】5 15 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。两根小棒分别长6cm和10cm，想要围成一个三角形，因此第三根小棒的长度要大于这两边的差，要小于这两边的和。 【解答】10－6＜第三根小棒的长度＜10＋6 即4＜第三根小棒的长度＜16 第三根小棒的长度需要取整厘米数，因此第三根小棒最短是5cm，最长是15cm。 7．按要求画一画。 在能拼成三角形的各组小棒下画“√”，不能的画“×”。 【答案】 【分析】三角形三边关系，任意两边长度之和大于第三边；简便判断：较短两条边的和＞最长边，就能围成三角形。 【解答】第一组：2cm、2cm、4cm 2＋2＝4，两边之和等于第三边，不能拼成，画× 第二组：3cm、5cm、7cm 3＋5＞7，满足三边关系，能拼成，画√ 第三组：5dm、6dm、10dm 5＋6＞10，满足三边关系，能拼成，画√ 8．小伟从家到外婆家走第（ ）条路最近。比较第①条路与第②条路时，依据的是两点间的所有连线中，（ ）最短；比较第③条路与第②条路时，依据的是在三角形中，任意两边之（ ）大于第三边。 【答案】② 线段 和 【分析】根据“两点之间线段最短”，②是小伟家与外婆家之间的直接线段，比曲线①和折线③都短，因此走第②条路最近。 比较①（曲线）与②（线段）时，依据的是“两点间的所有连线中，线段最短”，曲线长度必然大于连接两点的线段长度。 ③的路线是三角形的两条边（小伟家到电影院、电影院到外婆家），②是三角形的第三条边，根据“三角形任意两边之和大于第三边”，因此③的长度（两边之和）大于②的长度。 【解答】小伟从家到外婆家走第②条路最近。比较第①条路与第②条路时，依据的是两点间的所有连线中，线段最短；比较第③条路与第②条路时，依据的是在三角形中，任意两边之和大于第三边。 9．数学课上，小军想用小棒围一个三角形，他已有两根5厘米的小棒，现在还要在下面三种长度的小棒中选一根。如果他选①，搭成的是一个（ ）三角形；如果他选②，搭成的是一个（ ）三角形；如果他选③，则会怎样？（ ），理由是（ ）。 【答案】等边 等腰 不能搭成三角形 不满足三角形任意两边之和大于第三条边 【分析】三条边都相等的三角形是等边三角形，选①，此时三条边都是5厘米，所以是等边三角形；两腰相等的三角形是等腰三角形，选②，此时两条腰相等，所以是等腰三角形；三角形任意两边之和大于第三条边；据此解题。 【解答】如果他选①，搭成的是一个等边三角形；如果他选②，搭成的是一个等腰三角形； 5＋5＝10（厘米），10＜12 故如果他选③，不能搭成三角形，理由是不满足三角形任意两边之和大于第三条边，意思相近即可。 10．从下面六根小棒中，任选三根小棒，摆出三个不同的三角形，并写出三角形的名称。（单位：厘米） 选择一：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 选择二：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 选择三：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 我选择的理由是：____________________________________ 【答案】3 3 3 等边 3 3 4 等腰 4 4 6 等腰 三角形任意两边之和大于第三边。 【分析】只要三角形的任意两边之和大于第三边，这三条边就能组成一个三角形。两边相等的三角形是等腰三角形，三边相等的三角形是等边三角形。 【解答】选择一：3＋3＞3，所以能组成三角形，是等边三角形； 选择二：3＋3＞4，3＋4＞3，所以能组成三角形，是等腰三角形； 选择三：4＋4＞6，4＋6＞4，所以能组成三角形，是等腰三角形。 （答案不唯一） 三、作图题 11．把一根12厘米的细铁丝剪成三段，想要围成一个三角形，请你在图中用“●”表示出剪开的位置，并标出每一段的长度。 【答案】见详解 【分析】12＝1＋1＋10＝1＋2＋9＝1＋3＋8＝1＋4＋7＝1＋5＋6＝2＋2＋8＝2＋3＋7＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4，任意三角形的两边之和必须大于第三边，因为1＋1＜10、1＋2＜9、1＋3＜8、1＋4＜7、1＋5＝6、2＋2＜8、2＋3＜7、2＋4＝6、2＋5＞5、3＋3＝6、3＋4＞5、4＋4＞4，只有剪成2厘米、5厘米、5厘米一组、剪成3厘米、4厘米、5厘米一组、剪成4厘米、4厘米、4厘米一组的铁丝才能围成三角形。 【解答】 四、解答题 12．在长分别是3cm、5cm、7cm和11cm的四根小棒中选出3根，围成一个三角形，你会怎么选？说一说理由。 【答案】我会选择3cm、5cm、7cm或5cm、7cm、11cm，因为任意两边的和大于第三边，符合三角形的三边关系，可以围成三角形。 【分析】三角形任意两边的和大于第三边，分不同的情况据此进行判断。 【解答】第一种：3cm、5cm、7cm，3＋5＝8，8＞7，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； 第二种：3cm、5cm、11cm，3＋5＝8，8＜11，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； 第三种：3cm、7cm、11cm，3＋7＝10，10＜11，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； 第四种：5cm、7cm、11cm，5＋7＝12，12＞11，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； 综上，我会选择3cm、5cm、7cm或5cm、7cm、11cm，因为任意两边的和大于第三边，符合三角形的三边关系，可以围成三角形。 13．从下面5根小棒中任选3根，你能拼出哪些不同的三角形？把所有可能都写出来。 【答案】一共有5种可能：①3厘米，4厘米，5厘米；②4厘米，5厘米，8厘米；③3厘米，8厘米，8厘米；④4厘米，8厘米，8厘米；⑤5厘米，8厘米，8厘米。 【分析】要判断哪些小棒可以拼出三角形，我们需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），从给定的5根小棒中选取3根进行组合判断。 【解答】选择的3根小棒为3厘米、4厘米、5厘米，，，满足条件，可以拼出三角形。 选择的3根小棒为3厘米、4厘米、8厘米，，，不满足条件，不可以拼出三角形。 选择的3根小棒为3厘米、5厘米、8厘米，，不满足条件，不可以拼出三角形。 选择的3根小棒为3厘米、8厘米、8厘米，，，满足条件，可以拼出三角形。 选择的3根小棒为4厘米、5厘米、8厘米，，，满足条件，可以拼出三角形。 选择的3根小棒为4厘米、8厘米、8厘米，，，满足条件，可以拼出三角形。 选择的3根小棒为5厘米、8厘米、8厘米，，，满足条件，可以拼出三角形。 答：一共有5种可能：①3厘米，4厘米，5厘米；②4厘米，5厘米，8厘米；③3厘米，8厘米，8厘米；④4厘米，8厘米，8厘米；⑤5厘米，8厘米，8厘米。 【点睛】本题考查了三角形边的关系，解题的关键是列举出所有的情况，不重复也不遗漏。 14．学习三角形这个部分内容后，小铭写了一篇数学日记。 三角形中的秘密周末，我想用小木棒给我的粘土手工作品做一个三角形的底座，家里没有现成的材料，我需要去表哥家去拿。从我家去表哥家的路线图（如图所示），共有三条路线可以选择。我选择了第__________条路线，我知道选这条路线我可以用最少的时间到达表哥家。这是因为____________________。 到了表哥家，他的工具箱里正好剩下四根小木棒，长度分别是7厘米、8厘米、13厘米和15厘米。前几天才学过有关三角形的知识，利用所学我经过思考，就知道要选择哪三根小棒可以做成一个三角形底座。因为__________。回家之后，我用小棒和热熔胶顺利地做好了三角形的底座，放上我的粘土手工作品，好看极了。我发现生活中到处都有数学知识的影子，学习数学真有用！ （1）第一自然段中，你认为小铭选择的是几号路线？请你利用所学相关知识解释原因。 （2）如果你是小铭，第二自然段中你会选择哪三根长度的小棒去做三角形底座？结合计算，并说说你选择的理由。 【答案】（1）②；两点之间线段最短；（2）选7厘米、8厘米、13厘米；或选7厘米、13厘米和15厘米；或选8厘米、13厘米和15厘米；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【分析】（1）小博家到表哥家有3条路线，第②条路是直的，而第①和③是折线，根据两点之间线段最短选择第②条路； （2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断哪3根小棒能围成三角形。 【解答】（1）由分析可知：我选择了第②条路线，我知道选这条路线我可以用最少的时间到达表哥家。这是因为两点之间线段最短； （2）选7厘米、8厘米、13厘米 7＋8＝15（厘米）＞13厘米，13－7＝6（厘米）＜8厘米；可以围成三角形； 选7厘米、13厘米和15厘米 7＋13＝20（厘米）＞15厘米，15－7＝8（厘米）＜13厘米；可以围成三角形； 选8厘米、13厘米和15厘米 8＋13＝21（厘米）＞15厘米，15－8＝7（厘米）＜13厘米；可以围成三角形； 选7厘米、8厘米和15厘米 7＋8＝15（厘米），不能围成三角形； 利用所学我经过思考，就知道要选7厘米、8厘米、13厘米，或选7厘米、13厘米和15厘米，或选8厘米、13厘米和15厘米三根小棒可以做成一个三角形底座。因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第9讲 探索三角形三边关系 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 1、同时满足“由三条线段首尾顺次连接围成、任意两边之和大于第三边”规则判定的图形，才是本单元定义的标准有效三角形，仅靠局部两边长度之和大于第三边就直接判定的图形不能作为合规的三角形判定结论。 2、验证三条线段能否围成三角形时，要优先选取三条线段中长度最短的两条求和，再和最长的线段做比对，不能跳过最短边组合直接验算其余边的和，否则会遗漏最容易出现不满足条件的判定场景。 3、已知三角形两条边的长度推导第三条边的取值范围时，要明确第三条边的长度必须大于已知两边的长度差、同时小于已知两边的长度和，不能随意把边界值直接纳入可取值范围，忽略三边关系的严格判定要求。 4、反向核验三角形三边关系的结果时，将三条边的长度两两求和逐一比对，最终所有的两边和都必须严格大于剩余的第三条边长度，不能出现两边和小于或等于第三边的逻辑矛盾情况。 5、判定任意三角形的三边属性时，要明确无论三角形的形状、角度如何变化，三边关系的约束规则始终生效，不能仅凭三角形的外观是锐角或钝角就随意放宽三边的判定条件，混淆三边关系的普适属性。 6、标注三角形三边相关的计算结果时，要明确附带对应的长度单位，避免出现漏写单位、混用角度单位的错配问题，导致边长数值的指代完全失真。 7、处理等腰三角形、等边三角形这类特殊三角形的三边判定场景时，要先确认相等边的长度取值符合三边关系约束，再结合特殊三角形的边长特性验算，不能直接套用普通不等边三角形的边长分布逻辑，得到不符合特殊三角形属性的错误结果。 8、同一道三角形三边关系的相关题目中，边长的度量基准、长度的比较规则必须完全统一，不能中途随意切换长度的计数单位、更改数值的比较基准，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决三角形三边关系的实际应用问题时，要先锚定“任意两边之和严格大于第三边”的核心规则，不能直接硬套普通线段拼接的逻辑，忽略三角形的封闭图形属性。 一、选择题 1．如图，同学们准备把一根10厘米长的铁丝折成三段，首尾相接围成三角形。如果第一次折在2厘米处，那么第二次折在（    ）处才能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 2．一个三角形其中两条边的长度分别是13厘米和9厘米，第三条边的长度可能是（    ）厘米。 A．20 B．22 C．4 D．23 3．一个三角形，已知两条边的长度分别是12厘米和6厘米，这个三角形的周长最少是（    ）厘米。（周长为整数） A．18 B．23 C．24 D．25 4．下面的几组线段（单位：厘米），能围成三角形的一组是（    ）。 A．2、8、6 B．10、2、7 C．6、3.1、9 D．5.5、11、5.5 5．一张10厘米长的纸条，要把它剪成三段，再首尾相连围成一个三角形。笑笑在2厘米处剪了第一刀，第二刀应剪在（    ）厘米处。 A．5 B．6 C．9 D．8 二、填空题 6．有两根小棒分别长6cm和10cm，若要摆成一个三角形；第三根小棒最短是（ ）cm，最长是（ ）cm。（填整厘米数） 7．按要求画一画。 在能拼成三角形的各组小棒下画“√”，不能的画“×”。 8．小伟从家到外婆家走第（ ）条路最近。比较第①条路与第②条路时，依据的是两点间的所有连线中，（ ）最短；比较第③条路与第②条路时，依据的是在三角形中，任意两边之（ ）大于第三边。 9．数学课上，小军想用小棒围一个三角形，他已有两根5厘米的小棒，现在还要在下面三种长度的小棒中选一根。如果他选①，搭成的是一个（ ）三角形；如果他选②，搭成的是一个（ ）三角形；如果他选③，则会怎样？（ ），理由是（ ）。 10．从下面六根小棒中，任选三根小棒，摆出三个不同的三角形，并写出三角形的名称。（单位：厘米） 选择一：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 选择二：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 选择三：（ ）厘米，（ ）厘米，（ ）厘米，我摆出的是（ ）三角形； 我选择的理由是：____________________________________ 三、作图题 11．把一根12厘米的细铁丝剪成三段，想要围成一个三角形，请你在图中用“●”表示出剪开的位置，并标出每一段的长度。 四、解答题 12．在长分别是3cm、5cm、7cm和11cm的四根小棒中选出3根，围成一个三角形，你会怎么选？说一说理由。 13．从下面5根小棒中任选3根，你能拼出哪些不同的三角形？把所有可能都写出来。 14．学习三角形这个部分内容后，小铭写了一篇数学日记。 三角形中的秘密周末，我想用小木棒给我的粘土手工作品做一个三角形的底座，家里没有现成的材料，我需要去表哥家去拿。从我家去表哥家的路线图（如图所示），共有三条路线可以选择。我选择了第__________条路线，我知道选这条路线我可以用最少的时间到达表哥家。这是因为____________________。 到了表哥家，他的工具箱里正好剩下四根小木棒，长度分别是7厘米、8厘米、13厘米和15厘米。前几天才学过有关三角形的知识，利用所学我经过思考，就知道要选择哪三根小棒可以做成一个三角形底座。因为__________。回家之后，我用小棒和热熔胶顺利地做好了三角形的底座，放上我的粘土手工作品，好看极了。我发现生活中到处都有数学知识的影子，学习数学真有用！ （1）第一自然段中，你认为小铭选择的是几号路线？请你利用所学相关知识解释原因。 （2）如果你是小铭，第二自然段中你会选择哪三根长度的小棒去做三角形底座？结合计算，并说说你选择的理由。 学科网（北京）股份有限公司 $