第03课 探索内角和的奥秘（导学案）-2026年新五年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第03课 探索内角和的奥秘 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道任意四边形的内角和都是360°。 （2）探究方法：能通过测量、撕拼、分割（转化）等多种方法验证四边形内角和的度数。 （3）拓展应用：能利用“分割成三角形”的方法，初步推导五边形、六边形等多边形的内角和规律。 2、重难点。 重点： （1）探究并验证结论：引导学生通过多种方法（特别是分割法）验证四边形的内角和是360°。 （2）理解转化策略：掌握通过连接对角线将四边形分割成两个三角形，从而利用三角形内角和推导四边形内角和的方法。 难点： （1）方法的优化与选择：学生可能会提出测量法、撕拼法等，教师需引导学生比较不同方法的优劣（例如测量有误差，撕拼操作繁琐），从而体会到“分割法”是最科学、最通用的方法。 （2）规律的迁移与推广：如何引导学生从四边形的研究经验出发，自主探索五边形、六边形的内角和，并发现“多边形内角和 = (n−2)×180°”这一隐含规律（虽然不要求背诵公式，但要理解其背后的逻辑）。 模块二 预习引导 一、核心结论： 1、任意四边形的内角和都是360°。 无论四边形的形状如何（长方形、正方形、梯形、平行四边形或不规则四边形），其四个内角的度数之和固定为360°。 二、探究方法（由特殊到一般，由直观到抽象）： 1、从特殊图形入手（特例验证）： 对象：长方形或正方形。 依据：长方形四个角都是直角（90°）。 2、测量法（实验验证）： 操作： 用量角器分别量出四边形四个内角的度数，然后相加。 3、拼角法（直观验证）： 操作： 把四边形的四个角撕下来，拼在一起。 4、分割法/转化法（逻辑推导——核心方法）： 操作： 连接四边形的一条对角线，将四边形分割成两个三角形。 三、知识的拓展与迁移（回顾反思）： 1、方法论的总结： 研究多边形内角和的核心策略是“分割”，即把多边形转化为若干个三角形。 2、规律的推导（为后续学习铺垫）： 五边形：可以分割成 3 个三角形→ 内角和=180°×3=540° 六边形：可以分割成 4 个三角形→ 内角和 =180°×4=720° 通用规律（n边形）：n 边形可以分割成(n−2) 个三角形，内角和公式为(n−2)×180°。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如果要从正三角形、正方形、正五边形、正六边形这四种图形中任选一种图形进行密铺，不能密铺的是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．下列关于四边形的说法中，错误的是（    ）。 A．任意四边形的内角和都是 B．平行四边形两组对边分别平行 C．有一组对边平行的四边形是梯形 D．长方形也是平行四边形 3．把两个完全相同的等边三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 4．在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是三名同学的作品，其中小明使用的算式是180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． 5．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．八 C．十 6．下面说法正确的是（    ）。 A．一个三角形的两个内角的和等于90°，这个三角形是直角三角形 B．等边三角形的内角都是180° C．等边三角形的每一个内角都是45° D．锐角三角形中，任意两个锐角的和可能小于90° 7．下面是三种探索五边形内角和的方法，错误的是（    ）。 A．算出3个三角形的内角和。 B．算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．    算出2个四边形的内角和。 二、填空题 8．一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 9．如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形内角和是( )，剩余部分图形的内角和是( )。 10．如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个( )角，所以四边形的内角和是( )°。 11．探究实践。 (1)猜想：因为长方形和正方形的4个角都是直角，它们的内角和都是( )°，所以所有四边形的内角和都是( )°。 (2)验证： 方法①：把四边形的4个角剪下来，正好拼成了一个( )角，所以四边形的内角和是( )°。 方法②：把四边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角和都是( )°，所以四边形的内角和是( )。 (3)应用：如图，∠5＝48°，∠6是一个直角，∠7＝107°，∠8＝( )°。 12．三角形的内角和是180度，五边形的内角和是( )度，n边形的内角和是______度。 13．如图所示，用两个完全相同的三角板分别拼出一个正方形和一个三角形。 (1)拼出来的正方形的内角和是________； (2)拼出来的三角形的内角和是________。 14．三角形的内角和是( )°。一个五边形从一个顶点出发，可以分成( )个三角形，它的内角和是( )°，一个n边形的内角和是( )°。 三、解答题 15．夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 16．如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 17．如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 (1)我选择想法( )，算式：( )。 (2)我选择想法( )，算式：( )。 18．仔细观察，找规律填一填。 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° （1）内角和是1260°的图形是（    ）边形。 （2）n边形的内角和是（    ）。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03课 探索内角和的奥秘 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道任意四边形的内角和都是360°。 （2）探究方法：能通过测量、撕拼、分割（转化）等多种方法验证四边形内角和的度数。 （3）拓展应用：能利用“分割成三角形”的方法，初步推导五边形、六边形等多边形的内角和规律。 2、重难点。 重点： （1）探究并验证结论：引导学生通过多种方法（特别是分割法）验证四边形的内角和是360°。 （2）理解转化策略：掌握通过连接对角线将四边形分割成两个三角形，从而利用三角形内角和推导四边形内角和的方法。 难点： （1）方法的优化与选择：学生可能会提出测量法、撕拼法等，教师需引导学生比较不同方法的优劣（例如测量有误差，撕拼操作繁琐），从而体会到“分割法”是最科学、最通用的方法。 （2）规律的迁移与推广：如何引导学生从四边形的研究经验出发，自主探索五边形、六边形的内角和，并发现“多边形内角和 = (n−2)×180°”这一隐含规律（虽然不要求背诵公式，但要理解其背后的逻辑）。 模块二 预习引导 一、核心结论： 1、任意四边形的内角和都是360°。 无论四边形的形状如何（长方形、正方形、梯形、平行四边形或不规则四边形），其四个内角的度数之和固定为360°。 二、探究方法（由特殊到一般，由直观到抽象）： 1、从特殊图形入手（特例验证）： 对象：长方形或正方形。 依据：长方形四个角都是直角（90°）。 2、测量法（实验验证）： 操作： 用量角器分别量出四边形四个内角的度数，然后相加。 3、拼角法（直观验证）： 操作： 把四边形的四个角撕下来，拼在一起。 4、分割法/转化法（逻辑推导——核心方法）： 操作： 连接四边形的一条对角线，将四边形分割成两个三角形。 三、知识的拓展与迁移（回顾反思）： 1、方法论的总结： 研究多边形内角和的核心策略是“分割”，即把多边形转化为若干个三角形。 2、规律的推导（为后续学习铺垫）： 五边形：可以分割成 3 个三角形→ 内角和=180°×3=540° 六边形：可以分割成 4 个三角形→ 内角和 =180°×4=720° 通用规律（n边形）：n 边形可以分割成(n−2) 个三角形，内角和公式为(n−2)×180°。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如果要从正三角形、正方形、正五边形、正六边形这四种图形中任选一种图形进行密铺，不能密铺的是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】密铺是指用一种或几种图形覆盖平面，不留空隙，不重叠。单一正多边形能够密铺的条件是：该正多边形的内角度数能整除，即拼接点处的几个内角之和等于（周角）。分别计算或回忆正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数，看哪个不能整除即可。 【详解】A.正三角形的每个内角是，，即个正三角形可以围绕一点密铺，能密铺； B.正方形的每个内角是 ，，即个正方形可以围绕一点密铺，能密铺； C.正五边形的每个内角是，，不能整除，即正五边形不能围绕一点密铺，不能密铺，此选项正确； D.正六边形的每个内角是，，即个正六边形可以围绕一点密铺，能密铺。 不能密铺的是正五边形。 2．下列关于四边形的说法中，错误的是（    ）。 A．任意四边形的内角和都是 B．平行四边形两组对边分别平行 C．有一组对边平行的四边形是梯形 D．长方形也是平行四边形 【答案】C 【分析】A．任意四边形都可以连接对角线分割成两个三角形，因为三角形内角和是180°，所以四边形内角和是180°×2＝360°； B．两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； C．只有一组对边平行的四边形才是梯形。平行四边形也有一组对边平行，但它不是梯形； D．长方形两组对边分别平行，符合平行四边形特征，是特殊的平行四边形。 【详解】A．任意四边形的内角和都是360°，原题说法正确； B．平行四边形两组对边分别平行，原题说法正确； C．有一组对边平行的四边形不一定只是梯形，原题说法错误； D．长方形也是平行四边形，原题说法正确。 3．把两个完全相同的等边三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【分析】任意四边形的内角和都是360度，和由什么图形拼成没有关系。据此作答。 【详解】把两个完全相同的等边三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的内角和是360度。 4．在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是三名同学的作品，其中小明使用的算式是180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． 【答案】C 【分析】观察算式可知，三角形的内角和是180°，180°×4，说明图中有四个三角形，再减去一个180°，说明是减去一个平角或者是一个三角形。据此解答。 【详解】A. 图中把五边形分成3个三角形，列式为：180°×3；不符合题意； B．图中把五边形分成5个三角形再减去一个周角，列式为：180°×5－360°；不符合题意； C．图中把五边形分成4个三角形再减去一个平角，列式为：180°×4－180°；符合题意； 所以图C是小明的作品。 5．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．八 C．十 【答案】A 【分析】根据多边形内角和＝（边数－2）×，将边数代入公式，看内角和是否为即可选出正确答案。 【详解】A．，，这个六边形的内角和是，此选项符合题目要求，是正确的。 B．，，这个八边形的内角和是，此选项不符合题目要求，是错误的。 C．，，这个十边形的内角和是，此选项不符合题目要求，是错误的。 6．下面说法正确的是（    ）。 A．一个三角形的两个内角的和等于90°，这个三角形是直角三角形 B．等边三角形的内角都是180° C．等边三角形的每一个内角都是45° D．锐角三角形中，任意两个锐角的和可能小于90° 【答案】A 【分析】三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三角形的内角和是180°；据此解答。 【详解】A．，一个三角形的两个内角的和等于90°，这个三角形是直角三角形，此项说法正确； B．等边三角形的内角和都是，等边三角形的每个内角都是而不是，此项说法错误； C．，等边三角形的每个内角都是，故此项说法错误； D．锐角三角形中，任意两个锐角的和－第三个锐角，故此项说法错误。 故答案为：A 7．下面是三种探索五边形内角和的方法，错误的是（    ）。 A．算出3个三角形的内角和。 B．算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．    算出2个四边形的内角和。 【答案】C 【分析】探索五边形内角和，可以运用我们已经学过的三角形内角和、四边形内角和的知识探索。把五边形分成若干个三角形或若干个三角形和四边形。选项A将五边形分成3个三角形，用三角形内角和180°×3计算；选项B从内部一点分成5个三角形，减去中心多算的360°；选项C将五边形分成2个四边形，用四边形内角和360°×2计算，两个四边形会重复计算，不属于五边形的内角的计算方法。 【详解】A．将五边形分成3个三角形，180°×3＝540°，方法正确； B．从内部一点分成5个三角形，减去中心多算的360°，180°×5－360°＝900°－360°＝540°，方法正确； C．将五边形分成2个四边形，用四边形内角和360°×2＝720°，但是五边形内角和是540°，720°≠540°，方法错误。 二、填空题 8．一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 【答案】 180 360 【分析】直角三角形：根据三角形的内角和是180度，直角三角形是三角形的一种进行解答； 平行四边形：连接一条对角线，可以把平行四边形分成两个三角形，再根据三角形的内角和是180度解答即可。 【详解】所有三角形的内角和都是180度，所以直角三角形的内角和是180度； 如下图所示，平行四边形可以分成2个三角形，所以内角和是180度×2＝360度。 9．如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形内角和是( )，剩余部分图形的内角和是( )。 【答案】 等腰三角形 180° 360° 【分析】三角形按边分类：有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等； 三角形内角和定理：任意三角形的内角和恒为180°，与三角形的大小、形状无关； 四边形内角和定理：任意四边形的内角和恒为360°，可通过将四边形分成两个三角形推导得出。 先利用三角形内角和算出未知角，判断三角形的边的类型，再根据剩余图形的形状，应用对应的内角和定理。 【详解】根据图示信息，已知三角形的两个内角分别为100°和40°， 根据三角形内角和为180°， 第三个角为：180°−100°−40° ＝80°−40° ＝40° 三角形中有两个角都是40°，根据“等角对等边”，对应的两条边相等，因此这个三角形按边分是等腰三角形。 剪下的小三角形内角和：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是固定的180°，所以剪下的小三角形内角和是180°。 剩余部分图形的内角和：沿虚线剪下后，剩余部分是一个四边形，根据四边形内角和定理，其内角和为360°。 10．如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个( )角，所以四边形的内角和是( )°。 【答案】 周 360 【分析】根据图示可知，四边形的四个角剪下来拼成了一个周角，周角是360°，所以可以得出四边形的内角和是360°。 【详解】如图，把四边形的四个角剪下来，正好拼成一个周角，所以四边形的内角和是360°。 11．探究实践。 (1)猜想：因为长方形和正方形的4个角都是直角，它们的内角和都是( )°，所以所有四边形的内角和都是( )°。 (2)验证： 方法①：把四边形的4个角剪下来，正好拼成了一个( )角，所以四边形的内角和是( )°。 方法②：把四边形分成了( )个三角形，每个三角形的内角和都是( )°，所以四边形的内角和是( )。 (3)应用：如图，∠5＝48°，∠6是一个直角，∠7＝107°，∠8＝( )°。 【答案】(1) 360 360 (2) 周 360 两/2 180 360 (3)115 【分析】本题考查四边形内角和的探究与应用，通过猜想、验证和应用三个环节，理解四边形内角和是360°的规律，并运用这一规律解决实际问题。 【详解】（1）长方形和正方形的每个角都是90°，4个角的和是90°×4＝360°，所以猜想所有四边形的内角和都是360°。 （2）方法①：把四边形的4个角剪下来拼在一起，正好能拼成一个周角，周角是360°，所以四边形的内角和是360°。 方法②：把四边形分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。 （3）四边形内角和是360°，已知∠5＝48°，∠6＝90°，∠7＝107°，求∠8： 　360°－48°－90°－107° ＝312°－90°－107° ＝222°－107° ＝115° 所以∠8＝115°。 12．三角形的内角和是180度，五边形的内角和是( )度，n边形的内角和是______度。 【答案】 540 180×（n－2） 【分析】已知三角形的内角和是180度，将五边形分成3个三角形，用一个三角形的内角和乘3，求出五边形的内角和； 发现：n边形分成三角形的个数比边数少2，再乘三角形的内角和，即可得出n边形的内角和。 【详解】如图： 五边形的内角和是：180×3＝540（度） n边形的内角和是180×（n－2）度。 13．如图所示，用两个完全相同的三角板分别拼出一个正方形和一个三角形。 (1)拼出来的正方形的内角和是________； (2)拼出来的三角形的内角和是________。 【答案】(1)360°/360度 (2)180°/180度 【分析】三角形的内角和是180°，与三角形的大小和形状无关，据此计算出拼成的正方形和三角形的内角和。 【详解】（1）拼出来的正方形的内角和等于两个三角形的内角和。 180°＋180°＝360° （2） 拼出来的三角形的内角和等于两个三角形的内角和减去两个直角。 180°＋180°－90°－90° ＝360°－90°－90° ＝270°－90° ＝180° 14．三角形的内角和是( )°。一个五边形从一个顶点出发，可以分成( )个三角形，它的内角和是( )°，一个n边形的内角和是( )°。 【答案】 180 3 540 （n－2）×180 【分析】三角形内角和＝180°， 从一个顶点出发，通过画对角线将多边形分割成若干个三角形，数量为n－2（n为边数），用分割后三角形的数量乘三角形的内角和，即可求出多边形的内角和。 【详解】三角形的内角和是180°。 一个五边形从一个顶点出发，可以分成5－2＝3（个）三角形， 它的内角和是：3×180°＝540° 一个n边形的内角和是（n－2）×180°。 三、解答题 15．夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 【答案】720度；思考过程及算式见详解 【分析】已知三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°，把正六边形分割成几个三角形，或分割成几个四边形，或者分割成三角形和四边形；分成的几个图形的内角和之和就是这个正六边形的内角之和，按照这个思路进行即可。 已知从正六边形中心向各顶点画线，把正六边形分成了6个同样大的三角形。因为三角形内角和是180°，这6个三角形内角和的总和为180°×6。但是在计算这6个三角形内角和时，正六边形中心处的角360°被重复计算了，需要减去。 【详解】 答：正六边形的内角和是720度。 16．如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【详解】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 17．如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 (1)我选择想法( )，算式：( )。 (2)我选择想法( )，算式：( )。 【答案】(1) A 180°×3＝540° (2) B 180°×4－180°＝540° 【分析】（1）选择A，五边形被分成3个三角形，利用三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和等于3个三角形的内角和。 （2）选择B，五边形被分成4个三角形，五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去180°（因为多算了一个平角180°）。 （3）选择C，五边形被分成5个三角形，五边形的内角和等于5个三角形的内角和减去360°（因为多算了一个周角360°）。 据此任选两种解答即可。（答案不唯一） 【详解】（1）我选择想法A，算式：180°×3＝540°。 （2）我选择想法B，算式： 180°×4－180° ＝720°－180° ＝540° 18．仔细观察，找规律填一填。 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° （1）内角和是1260°的图形是（    ）边形。 （2）n边形的内角和是（    ）。 【答案】 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° （1）九 （2）180°×（n－2） 【分析】三角形的内角和是180°，要求多边形的内角和，可以把多边形分成三角形，分成的三角形的个数比边数少2，再用三角形的内角和180°乘分成的三角形的个数，即可求出多边形的内角和。 （1）用多边形的内角和1260°除以180°，求出分成三角形的个数，再加2，求出多边形的边数，即可解答。 （2）根据图形规律，先用多边形的边数n减去2，求出分成三角形的个数，再用三角形的内角和180°乘分成三角形的个数，即可表示出n边形的内角和。 【详解】五边形内角和： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 六边形内角和： 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° （1）1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 所以，内角和是1260°的图形是九边形。 （2）n边形的内角和是：180°×（n－2）。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $