（新知抢先）第8讲 探索三角形内角和【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第8讲 探索三角形内角和【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、三角形的内角和。 三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 1、同时满足“将三角形三个内角的度数全部相加、求和过程无角度漏算错算”规则得到的结果，才是本单元认可的三角形内角和标准结论，仅靠视觉估算、未完成全角度核验得到的和值不能作为有效判定依据。 2、用剪拼法验证三角形内角和时，要把三个内角的顶点精准对齐、边与边紧密拼接，不能出现拼接缝隙或角度重叠的情况，否则会直接导致拼接得到的总角度和180°的标准值出现明显偏差。 3、用折拼法验证三角形内角和时，要保证三个内角的折痕精准对齐同一条基准边，不能随意调整折叠的位置，避免折叠后三个角无法拼成完整的平角，违背内角和的核心属性。 4、反向核验三角形内角和的计算结果时，用180°减去已知的两个内角度数，最终得到的剩余第三个角的度数必须和实际测量得到的对应内角度数完全匹配。 5、判定任意三角形的内角和属性时，要明确无论三角形的形状、大小如何变化，内角和始终固定为180°，不能仅凭三角形的外观尺寸更大就判定它的内角和会超过180°，混淆内角和的恒定属性。 6、标注三角形内角和相关的计算结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角度数值的指代完全失真。 7、处理直角三角形、钝角三角形这类特殊三角形的内角和计算场景时，要优先确认直角、钝角的固定度数，再结合剩余两个锐角的度数求和，不能直接套用普通锐角三角形的角度分布逻辑，得到不符合特殊三角形属性的错误结果。 8、同一道三角形内角和的相关题目中，角度的度量基准、平角的度数定义必须完全统一，不能中途随意切换角度的计数单位、更改平角的标准度数，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决三角形内角和的实际应用问题时，要先锚定“任意三角形内角和恒为180°”的核心规则，不能直接硬套多边形内角和的运算逻辑，忽略三角形的基础属性。 10、仅符合“由三条线段首尾顺次连接围成、属于封闭平面图形”要求的标准三角形场景，才能适配本单元的三角形内角和规则，非封闭图形、三条边未首尾连接的特殊图形，不能随意套用常规的三角形内角和判定逻辑。 一、选择题 1．一个三角形最小的角都大于45°，这个三角形一定是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 2．在一个等腰三角形中，其中一个角为70°，其它两个角是（    ）。 A．55° 55° B．55° 55°或70° 40°C．70° 40° D．55° 70° 3．将一个等边三角形对折成两个直角三角形，折成的直角三角形中的两个锐角分别是（    ）。 A．30°和60° B．45°和45° C．60°和60° D．30°和90° 4．有一个三角形，从它的一个顶点起，用一条直线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．以上都不对 5．如图，已知∠3＝150°，∠2＝（    ）°。 A．30 B．40 C．50 D．60 二、填空题 6．三角形中有两个角分别是50°、70°，第三个角是（ ）°，按角分它是（ ）三角形；如果两个角都是50°，那么第三个角是（ ）°，按边分它是（ ）三角形。 7．工人师傅要在墙上安装等腰三角形装饰架，已知装饰架的顶角比一个底角大30度，这个等腰三角形装饰架的一个底角是（ ）度，顶角是（ ）度。 8．直角三角形的一个锐角是36°，另一个锐角是（ ）°；等腰三角形的顶角是100°，则它的一个底角是（ ）°。 9．如图，四边形ABCD是一个长方形，若∠1＝65°，则∠2＝（ ）。 10．如图，一个被撕去了一个角的三角形，剩下两个内角分别为50°和46°，被撕去的这个角是（ ）°，按角分类，这个三角形属于（ ）三角形。 三、计算题 11．计算下面各三角形中未知角的度数。 四、解答题 12．一个直角三角形中，较大锐角是较小锐角的4倍，这两个角分别是多少度？ 13．一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 14．第43届潍坊国际风筝会于2026年4月18日在世界风筝公园开幕，主题为“跃马山海行，奋进万亿城。”文文买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是多少度？ 15．如图，∠1＝m°，∠2＝n°。 （1）用含有字母的式子表示∠3的度数。 （2）当∠1＝50°，∠2＝57°时，求∠3的度数，按角分，这是一个什么三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第8讲 探索三角形内角和【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、三角形的内角和。 三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 1、同时满足“将三角形三个内角的度数全部相加、求和过程无角度漏算错算”规则得到的结果，才是本单元认可的三角形内角和标准结论，仅靠视觉估算、未完成全角度核验得到的和值不能作为有效判定依据。 2、用剪拼法验证三角形内角和时，要把三个内角的顶点精准对齐、边与边紧密拼接，不能出现拼接缝隙或角度重叠的情况，否则会直接导致拼接得到的总角度和180°的标准值出现明显偏差。 3、用折拼法验证三角形内角和时，要保证三个内角的折痕精准对齐同一条基准边，不能随意调整折叠的位置，避免折叠后三个角无法拼成完整的平角，违背内角和的核心属性。 4、反向核验三角形内角和的计算结果时，用180°减去已知的两个内角度数，最终得到的剩余第三个角的度数必须和实际测量得到的对应内角度数完全匹配。 5、判定任意三角形的内角和属性时，要明确无论三角形的形状、大小如何变化，内角和始终固定为180°，不能仅凭三角形的外观尺寸更大就判定它的内角和会超过180°，混淆内角和的恒定属性。 6、标注三角形内角和相关的计算结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角度数值的指代完全失真。 7、处理直角三角形、钝角三角形这类特殊三角形的内角和计算场景时，要优先确认直角、钝角的固定度数，再结合剩余两个锐角的度数求和，不能直接套用普通锐角三角形的角度分布逻辑，得到不符合特殊三角形属性的错误结果。 8、同一道三角形内角和的相关题目中，角度的度量基准、平角的度数定义必须完全统一，不能中途随意切换角度的计数单位、更改平角的标准度数，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决三角形内角和的实际应用问题时，要先锚定“任意三角形内角和恒为180°”的核心规则，不能直接硬套多边形内角和的运算逻辑，忽略三角形的基础属性。 10、仅符合“由三条线段首尾顺次连接围成、属于封闭平面图形”要求的标准三角形场景，才能适配本单元的三角形内角和规则，非封闭图形、三条边未首尾连接的特殊图形，不能随意套用常规的三角形内角和判定逻辑。 一、选择题 1．一个三角形最小的角都大于45°，这个三角形一定是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】任意三角形三个内角的和等于180°。锐角三角形：三个角都小于90°；直角三角形：有一个角是90°的角；钝角三角形：有一个角大于90°且小于180°的角。 【解答】因为三角形的内角和为180°且已知最小的角大于45°，所以另外两个角的和必然小于135°（180°－45°＝135°）。如果这个三角形是直角三角形或钝角三角形，那么就会有一个角大于或等于90°，这会导致另外两个角的和小于或等于90°，与“最小的角大于45°”这一条件矛盾。 因此，这个三角形的三个角都必须小于90°，它一定是锐角三角形。 2．在一个等腰三角形中，其中一个角为70°，其它两个角是（    ）。 A．55° 55° B．55° 55°或70° 40° C．70° 40° D．55° 70° 【答案】B 【分析】三角形的内角和是，等腰三角形的两个底角相等。分两种情况：一是为顶角，计算两个底角的度数；二是为底角，计算顶角的度数。 【解答】如果是顶角，则两个底角相等。 底角的度数为： 所以其它两个角的度数是、。 如果是底角，则另一个底角也是。 顶角的度数为： 所以其它两个角的度数是、。 综上所述，其它两个角的度数是、或、。 3．将一个等边三角形对折成两个直角三角形，折成的直角三角形中的两个锐角分别是（    ）。 A．30°和60° B．45°和45° C．60°和60° D．30°和90° 【答案】A 【分析】等边三角形每个内角都是，且对折成直角三角形时，折痕平分顶角。先求出等边三角形的内角度数，再根据对折的性质求出直角三角形的两个锐角度数。 【解答】三角形内角和是，所以等边三角形每个内角的度数是 ，将等边三角形对折成两个直角三角形，折痕是底边上的高，同时也是顶角的平分线。折成的直角三角形中，一个锐角是原等边三角形的底角，度数为，另一个锐角是原等边三角形顶角的一半，度数为，所以折成的直角三角形中的两个锐角分别是和。 4．有一个三角形，从它的一个顶点起，用一条直线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．以上都不对 【答案】B 【分析】任意一个三角形的内角和都是180°，据此解答。 【解答】根据分析，无论分成几个三角形，每个三角形内角和都是180°。 5．如图，已知∠3＝150°，∠2＝（    ）°。 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】平角＝180°，∠1＝平角－∠3＝30°，直角三角形中，两个锐角的和是90°，则∠2＝90°－∠1。 【解答】180°－150°＝30° 90°－30°＝60° 所以∠2＝60°。 二、填空题 6．三角形中有两个角分别是50°、70°，第三个角是（ ）°，按角分它是（ ）三角形；如果两个角都是50°，那么第三个角是（ ）°，按边分它是（ ）三角形。 【答案】60 锐角 80 等腰 【分析】任意三角形的内角和都是180°；按角分类：三个内角都小于90°的三角形是锐角三角形；有一个内角等于90°的三角形是直角三角形；有一个内角大于90°且小于180°的三角形是钝角三角形。 按边分类：存在两个内角度数相等的三角形，对应两条边长度相等，属于等腰三角形；存在三个内角度数相等的三角形，对应三条边长度相等，属于等边三角形 【解答】已知两个角为50°和70°，第三个角的度数为：180°－50°－70°＝60°，三个角都小于90°，因此按角分是锐角三角形。 已知两个角都是50°，第三个角的度数为：180°－50°－50°＝80°，该三角形有两个内角度数相等，因此按边分是等腰三角形。 7．工人师傅要在墙上安装等腰三角形装饰架，已知装饰架的顶角比一个底角大30度，这个等腰三角形装饰架的一个底角是（ ）度，顶角是（ ）度。 【答案】50 80 【分析】三角形内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，顶角比一个底角大30度，则底角×3＋30＝180，据此可得出答案。 【解答】一个底角角度为： （180－30）÷3 ＝150÷3 ＝50（度） 顶角为：50＋30＝80（度） 8．直角三角形的一个锐角是36°，另一个锐角是（ ）°；等腰三角形的顶角是100°，则它的一个底角是（ ）°。 【答案】54 40 【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【解答】180°－90°－36° ＝90°－36° ＝54° （180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 直角三角形的一个锐角是36°，另一个锐角是54°；等腰三角形的顶角是100°，则它的一个底角是40°。 9．如图，四边形ABCD是一个长方形，若∠1＝65°，则∠2＝（ ）。 【答案】55°/55度 【分析】 如图，先用90°－∠1，计算出∠3的度数，再用180°－∠3－120°，计算出∠4的度数，最后用90°－∠4，计算出∠2的度数。 【解答】∠3＝90°－∠1＝90°－65°＝25° ∠4＝180°－25°－120°＝35° ∠2＝90°－35°＝55° 10．如图，一个被撕去了一个角的三角形，剩下两个内角分别为50°和46°，被撕去的这个角是（ ）°，按角分类，这个三角形属于（ ）三角形。 【答案】84 锐角 【分析】三角形中用180°减去已知的两个角，等于未知的那个角。有角的度数大于0°，小于90°，是锐角三角形；等于90°是直角三角形；大于90°，小于180°是钝角三角形。 【解答】 角的度数都大于0°，小于90°，所以是锐角三角形。 三、计算题 11．计算下面各三角形中未知角的度数。 【答案】（1）55°（2）42° 【分析】第1小题用180°减去直角和已知角求未知角；第2小题先利用平角180°算出三角形内的邻角，再用内角和求∠A。 【解答】（1）180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° （2）180°－（180°－80°）－38° ＝180°－100°－38° ＝80°－38° ＝42° 四、解答题 12．一个直角三角形中，较大锐角是较小锐角的4倍，这两个角分别是多少度？ 【答案】较小锐角的度数是18°；较大锐角的度数是72° 【分析】根据直角三角形的特征，三角形内角和是180°，其中一个直角是90°，所以两个锐角的和是180°－90°＝90°。已知较大锐角是较小锐角的4倍，把较小锐角看作1份数，较大锐角就是4份数，两个锐角的和90°，对应（4＋1） 份数。先求出1份数即较小锐角的度数，再根据倍数关系求较大锐角的度数。 【解答】180°－90°＝90° 90°÷（4＋1） ＝90°÷5 ＝18° 18°×4＝72° 答：较小锐角的度数是18°， 较大锐角的度数是72°。 13．一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【答案】40°；钝角三角形。 【分析】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【解答】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 14．第43届潍坊国际风筝会于2026年4月18日在世界风筝公园开幕，主题为“跃马山海行，奋进万亿城。”文文买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是多少度？ 【答案】可能是65°、65°或50°、80° 【分析】已知风筝是等腰三角形，等腰三角形底角相等，其中的一个角是50°，那么这个角有可能是底角也有可能是顶角，有两种情况，再利用三角形的内角和是180°分别算出结果。 【解答】情况一：当50°的角是顶角时，其余两个角是底角且相等。 （180°−50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 情况二：当50°的角是底角时，则另一个底角也是50°，求顶角。 180°−（50°×2） ＝180°−100° ＝80° 答：另外两个角可能是65°、65°或50°、80°。 15．如图，∠1＝m°，∠2＝n°。 （1）用含有字母的式子表示∠3的度数。 （2）当∠1＝50°，∠2＝57°时，求∠3的度数，按角分，这是一个什么三角形？ 【答案】（1）180°－m°－n° （2）73°；锐角三角形 【分析】（1）根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠1＝m°，∠2＝n°。用180°减去∠1的度数，再减去∠2的度数，就是∠3的度数。 （2）当∠1＝50°，∠2＝57°时，180°减去50°，再减去57°，就是∠3的度数。三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。判断三角形的类型即可。 【解答】根据分析可知： （1）∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－m°－n° （2）∠1＝50° ∠2＝57° ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－50°－57° ＝130°－57° ＝73° 73°＜90° 50°＜90° 57°＜90° 答：∠3的度数是73°，这是个锐角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $