第02课 探索三角形三边关系（导学案）-2026年新五年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第02课 探索三角形三边关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道并理解“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质。 （2）判断能力：能根据给出的三条线段长度，判断它们能否围成三角形。 （3）应用计算：能运用三边关系解决简单的实际问题（如确定第三边的取值范围）。 2、重难点。 重点： （1）探究并掌握三边关系： 引导学生通过实验发现“三角形任意两边之和大于第三边”的规律。 （2）判断方法： 学会用较短的两条边之和与最长边进行比较，以此快速判断能否围成三角形。难点： （1）理解“任意”二字： 学生容易只关注“两边之和大于第三边”，而忽略“任意”。 （2）从直观到抽象的转化： 如何让学生从“摆小棒围不成”的直观现象，上升到“两边之和小于或等于第三边”的数学语言描述。特别是当两边之和等于第三边时（重合情况），是理解的易错点。 模块二 预习引导 一、 核心结论（重点）： 1、三角形任意两边之和大于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的根本依据。 2、数学表达： 如果三角形的三边长分别为a,b,c ，则必须同时满足：a+b>c；a+c>b；b+c>a 简便判断法： 只要较短的两条线段长度之和大于最长的那条线段，这三条线段就能围成三角形。 二、探究过程与方法： 1、尺规作图/摆小棒实验（定性分析）： 操作： 给定三条线段（如a,b,c ），尝试首尾相接围成三角形。 现象： 当两条短线段之和小于长线段时（a+b<c ），两头碰不到，围不成。 当两条短线段之和等于长线段时（a+b=c ），两头刚好重合在长线段上，变成一条直线，围不成。 当两条短线段之和大于长线段时（a+b>c ），才能拱起来形成三角形，围得成。 数据分析与反例验证（定量分析）： 2、误区辨析： 针对“只要两条边之和大于第三边就能围成”的说法进行验证。 案例： 比如长度为 2cm, 3cm, 4cm 的小棒。虽然2+3>4 ，但我们需要确认是否满足所有组合。实际上，只要最短的两根加起来比最长的长，其他组合自然成立。 结论修正： 必须是任意两边之和大于第三边。 三、知识的应用： 1、判断能否围成三角形： 给出三个数（例如 3, 4, 8），计算3+4=7 ，因为7<8 ，所以不能围成。 给出三个数（例如 3, 4, 5），计算3+4=7 ，因为7>5 ，所以能围成。 2、确定第三边的取值范围： 已知两边长为a 和b （假设a>b ），求第三边c 的范围。公式：a−b<c<a+b 解释： 第三边必须小于两边之和，且大于两边之差。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．三角形的两条边长都是16厘米，那么第三条边长一定（    ）32厘米。 A．大于 B．等于 C．小于 2．下面能组成三角形的是（    ）。 A．20厘米、20厘米、40厘米 B．10分米、22分米、48分米 C．23米、45米、60米 3．不能摆成三角形的一组小棒是（    ）。 A． B． C． 4．把一根细铁丝剪成三段，围成一个三角形。下列剪法中，能围成一个三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一个三角形中，两边的长分别是11厘米和17厘米，第三条边的长可能是（    ）厘米。 A．5厘米 B．9厘米 C．28厘米 D．30厘米 6．将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 7．如果一个三角形的两条边分别是3cm和6cm，那么第三条边不可能是（    ）。 A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 二、填空题 8．从下图6根小棒中任意取出3根小棒摆三角形，最多能摆出( )种不同的三角形。（单位：厘米） 9．一个周长为10厘米的三角形，三条边的长度均为整厘米数，一边长4厘米，其余两边长可以是( )厘米和( )厘米；也可以是( )厘米和( )厘米。 10．两根小棒分别长4厘米和7厘米。第三根小棒的长要小于( )厘米且大于( )厘米，才能围成一个三角形。 11．一根10米长的木棒，第一次锯2.8米，第二次锯4.4米，还剩( )米，锯出的三段( )（填“能”或“不能”）围成一个三角形。 12．如果一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 13．一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是( )厘米。 14．有两根小棒分别是4厘米和6厘米，请你再添上一根________厘米的小棒，就能围成一个三角形。 三、解答题 15．任取下面长度的三根小棒，能摆出几种不同的三角形？照样子写一写。（单位：cm） 3，4，4，4，7，8，8 （3cm，4cm，4cm） 16．如果三角形的两条边的长分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长可能是几厘米？写出两种答案。 17．一个三角形的两条边的长度分别为4厘米和9厘米，另一个三角形的两条边的长度分别为2厘米和5厘米，并且这两个三角形的第三边一样长，且长度是整厘米数。聪明的你想一想它们的第三条边是多少厘米呢？ 18．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒。 （1）用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （2）用长度为1cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （3）要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 19．小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 探索三角形三边关系 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道并理解“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质。 （2）判断能力：能根据给出的三条线段长度，判断它们能否围成三角形。 （3）应用计算：能运用三边关系解决简单的实际问题（如确定第三边的取值范围）。 2、重难点。 重点： （1）探究并掌握三边关系： 引导学生通过实验发现“三角形任意两边之和大于第三边”的规律。 （2）判断方法： 学会用较短的两条边之和与最长边进行比较，以此快速判断能否围成三角形。难点： （1）理解“任意”二字： 学生容易只关注“两边之和大于第三边”，而忽略“任意”。 （2）从直观到抽象的转化： 如何让学生从“摆小棒围不成”的直观现象，上升到“两边之和小于或等于第三边”的数学语言描述。特别是当两边之和等于第三边时（重合情况），是理解的易错点。 模块二 预习引导 一、 核心结论（重点）： 1、三角形任意两边之和大于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的根本依据。 2、数学表达： 如果三角形的三边长分别为a,b,c ，则必须同时满足：a+b>c；a+c>b；b+c>a 简便判断法： 只要较短的两条线段长度之和大于最长的那条线段，这三条线段就能围成三角形。 二、探究过程与方法： 1、尺规作图/摆小棒实验（定性分析）： 操作： 给定三条线段（如a,b,c ），尝试首尾相接围成三角形。 现象： 当两条短线段之和小于长线段时（a+b<c ），两头碰不到，围不成。 当两条短线段之和等于长线段时（a+b=c ），两头刚好重合在长线段上，变成一条直线，围不成。 当两条短线段之和大于长线段时（a+b>c ），才能拱起来形成三角形，围得成。 数据分析与反例验证（定量分析）： 2、误区辨析： 针对“只要两条边之和大于第三边就能围成”的说法进行验证。 案例： 比如长度为 2cm, 3cm, 4cm 的小棒。虽然2+3>4 ，但我们需要确认是否满足所有组合。实际上，只要最短的两根加起来比最长的长，其他组合自然成立。 结论修正： 必须是任意两边之和大于第三边。 三、知识的应用： 1、判断能否围成三角形： 给出三个数（例如 3, 4, 8），计算3+4=7 ，因为7<8 ，所以不能围成。 给出三个数（例如 3, 4, 5），计算3+4=7 ，因为7>5 ，所以能围成。 2、确定第三边的取值范围： 已知两边长为a 和b （假设a>b ），求第三边c 的范围。公式：a−b<c<a+b 解释： 第三边必须小于两边之和，且大于两边之差。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．三角形的两条边长都是16厘米，那么第三条边长一定（    ）32厘米。 A．大于 B．等于 C．小于 【答案】C 【分析】三角形三条边的关系为：在一个三角形中，任意两条边的和大于第三边，任意两条边的差小于第三边。 【详解】因为三角形的两条边长都是16厘米，16＋16＝32（厘米），大于第三边，所以第三条边长一定小于32厘米。 故答案为：C 【点睛】明确三角形的三边关系是解答此题的关键。 2．下面能组成三角形的是（    ）。 A．20厘米、20厘米、40厘米 B．10分米、22分米、48分米 C．23米、45米、60米 【答案】C 【分析】较短的两条线段长度和大于最长的线段，则三条线段可以围成一个三角形，否则不能围成一个三角形，据此即可解答。 【详解】A．20厘米＋20厘米＝40厘米，不能组成三角形。      B．10分米＋22分米＜48分米，不能组成三角形。      C．23米＋45米＞60米，能组成三角形。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。 3．不能摆成三角形的一组小棒是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 4．把一根细铁丝剪成三段，围成一个三角形。下列剪法中，能围成一个三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此分析每个选项，选出能围成三角形的即可。 【详解】A．3＋3＝6cm，6cm＝6cm，两边之和等于第三边，不能围成三角形； B．3＋4＝7cm，7cm＞5cm，4－3＝1cm，1cm＜5cm，能围成三角形； C．2＋3＝5cm，5cm＜7cm，两边之和小于第三边，不能围成三角形； D．4＋6＝10cm，10cm＞2cm，6－4＝2cm，2cm＝2cm，两边之差等于第三边，不能围成三角形。 能围成一个三角形的是。 故答案为：B 5．一个三角形中，两边的长分别是11厘米和17厘米，第三条边的长可能是（    ）厘米。 A．5厘米 B．9厘米 C．28厘米 D．30厘米 【答案】B 【分析】第三边小于另外两边的和，大于另外两边的差，据此解答。 【详解】A．5厘米，这是小于另外两边的差； B．9厘米，这是小于另外两边的和，大于另外两边的差； C．28厘米，这是等于另外两边的和； D．30厘米，这是大于另外两边的和。 故答案为：B 【点睛】明确三角形三边关系是解答此题的关键。 6．将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 【答案】C 【分析】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边，将较短的两条线段长度相加，与第三条线段比较即可。。 【详解】A．1＋6＝7＜13，围不成三角形； B．3＋7＝10，围不成三角形； C．5＋7＝12＞8，能围成三角形； D．9＋1＝10，围不成三角形。 故答案为：C 7．如果一个三角形的两条边分别是3cm和6cm，那么第三条边不可能是（    ）。 A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【分析】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边，将较短的两条线段长度相加，与第三条线段比较即可。 【详解】A．2＋3＝5（cm）＜6cm，第三条边不可能是2cm； B．3＋4＝7（cm）＞6cm，第三条边可能是4cm； C．3＋5＝8（cm）＞6cm，第三条边可能是5cm； D．3＋6＝9（cm）＞6cm，第三条边可能是6cm。 故答案为：A 二、填空题 8．从下图6根小棒中任意取出3根小棒摆三角形，最多能摆出( )种不同的三角形。（单位：厘米） 【答案】7 【分析】较短的两根长度和大于最长的一根的长度，则3根小棒能摆成三角形，据此即可解答。 【详解】3＋3＞3，可以摆成三角形； 3＋3＞4，可以摆成三角形； 3＋3＞5，可以摆成三角形； 3＋3＝6，不能摆成三角形； 3＋4＞5，可以摆成三角形； 3＋4＞6，可以摆成三角形； 3＋5＞6，可以摆成三角形； 4＋5＞6，可以摆成三角形； 所以从6根小棒中任意取出3根小棒摆三角形，最多能摆出7种不同的三角形。（单位：厘米） 【点睛】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。 9．一个周长为10厘米的三角形，三条边的长度均为整厘米数，一边长4厘米，其余两边长可以是( )厘米和( )厘米；也可以是( )厘米和( )厘米。 【答案】 2 4 3 3 【分析】周长为10厘米，一边长4厘米，另外两边和为6厘米，再把6厘米分成两条边的长度，只要较短的两边长度和大于最长的边即可。 【详解】周长为10厘米，一边长4厘米，还有6厘米，6厘米可以分成1厘米和5厘米、2厘米和4厘米、3厘米和3厘米。 4厘米＋1厘米＝5厘米，不符合任意两边之和大于第三边的要求舍去。 2厘米＋4厘米＞4厘米，符合三角形三边间的关系，其余两边长可以是2厘米和4厘米。 3厘米＋3厘米＞4厘米，符合三角形三边间的关系，其余两边长可以是3厘米和3厘米。 【点睛】本题主要考查学生对三角形三边之间关系的掌握和灵活运用。 10．两根小棒分别长4厘米和7厘米。第三根小棒的长要小于( )厘米且大于( )厘米，才能围成一个三角形。 【答案】 11 3 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此解答 【详解】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 3厘米＜第三边＜11厘米 所以第三根小棒的长要小于11厘米且大于3厘米， 【点睛】本题的解题关键是掌握三角形三边关系。 11．一根10米长的木棒，第一次锯2.8米，第二次锯4.4米，还剩( )米，锯出的三段( )（填“能”或“不能”）围成一个三角形。 【答案】 2.8 能 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，一根10米长的木棒，第一次锯2.8米，第二次锯4.4米，直接用10减去2.8再减去4.4即可算出还剩多少米。接着根据三角形三边的关系来判断这三段木棒能否围成三角形即可。 【详解】10－2.8－4.4 ＝7.2－4.4 ＝2.8（米） 2.8＋2.8＝5.6（米），5.6＞4.4，即这三段木棒可以围成一个三角形。 一根10米长的木棒，第一次锯2.8米，第二次锯4.4米，还剩2.8米，锯出的三段能围成一个三角形。 12．如果一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 15 5 【分析】三角形的三边关系为两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，6＋10＝16（厘米），10－6＝4（厘米），则第三条边的长度要小于16厘米，大于4厘米。 【详解】6＋10＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 4厘米＜第三边的长度＜16厘米 则一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三条边为整厘米数，那么第三条边最长是15厘米，最短是5厘米。 13．一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是( )厘米。 【答案】10 【分析】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；求第三条边最长是多少，那么先用4厘米加上7厘米，再减去1厘米即可；据此解答。 【详解】根据分析：4＋7－1＝10（厘米），所以第三条边最长是10厘米。 14．有两根小棒分别是4厘米和6厘米，请你再添上一根________厘米的小棒，就能围成一个三角形。 【答案】3 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此分析解题。 【详解】6－4＜第三边＜6＋4 2＜第三边＜10，即大于2厘米，小于10厘米即可。 所以，再添上一根3厘米的小棒，就能围成一个三角形。（答案不唯一） 【点睛】掌握三角形的三边关系是解题的关键。 三、解答题 15．任取下面长度的三根小棒，能摆出几种不同的三角形？照样子写一写。（单位：cm） 3，4，4，4，7，8，8 （3cm，4cm，4cm） 【答案】8种；见详解 【分析】三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，按照从小到大的顺序，先选出较短的两根小棒，并把长度相加，再找到另一根长度小于前两根小棒长度和的小棒，即可摆成三角形。据此解答。 【详解】第一类：最短边为3cm （3，4，4）：3＋4＞4，4＋4＞3，符合； （3，4，7）：3＋4＝7，不满足（两边之和＞第三边），排除 ； （3，4，8）：3＋4＜8，排除； （3，7，8）：3＋7＞8，3＋8＞7，7＋8＞3，符合 ； （3，8，8）：3＋8＞8，8＋8＞3，符合； 第二类：最短边为4cm（不重复包含3） （4，4，4）：4＋4＞4，符合（等边三角形）； （4，4，7）：4＋4＞7，4＋7＞4，符合 ； （4，4，8）：4＋4＝8，不满足，排除； （4，7，8）：4＋7＞8，4＋8＞7，7＋8＞4，符合； （4，8，8）：4＋8＞8，8＋8＞4，符合； 第三类：最短边为7cm（不重复包含3、4） （7，8，8）：7＋8＞8，8＋8＞7，符合； 第四类：最短边为8cm：无3根8cm，无法组成，排除； 答：能摆出8种不同的三角形，分别是（3cm，4cm，4cm），（4cm，4cm，4cm），（4cm，4cm，7cm），（7cm，8cm，8cm），（3cm，8cm，8cm），（3cm，7cm，8cm），（4cm，7cm，8cm），（4cm，8cm，8cm）。 16．如果三角形的两条边的长分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长可能是几厘米？写出两种答案。 【答案】第三条边的长可能是4厘米，5厘米（答案不唯一） 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】两边之差＜第三条边＜两边之和 8－5＜第三条边＜8＋5 3＜第三条边＜13，故第三条边的长可能是4厘米，5厘米，6厘米，7厘米，8厘米，9厘米，10厘米，11厘米，12厘米。 答：第三条边的长可能是4厘米，5厘米（答案不唯一）。 17．一个三角形的两条边的长度分别为4厘米和9厘米，另一个三角形的两条边的长度分别为2厘米和5厘米，并且这两个三角形的第三边一样长，且长度是整厘米数。聪明的你想一想它们的第三条边是多少厘米呢？ 【答案】6厘米 【分析】要确定第三边的长度，就要根据三角形三边之间的关系，即：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据题目可知第一个三角形的其中两条边是4厘米和9厘米，4＋9＝13，9－4＝5，从而得到第三边长的取值范围在5厘米和13厘米之间；同样的方法，2＋5＝7，5－2＝3，得到第二个三角形的第三边长的取值范围在3厘米和7厘米之间；接下来根据这两个三角形的第三条边一样长，且是整厘米数，即可确定第三边的长度。 【详解】4＋9＝13（厘米） 9－4＝5（厘米） 5厘米＜第三边＜13厘米（不包括5厘米和13厘米）； 所以第一个三角形的第三边长可能为6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米； 2＋5＝7（厘米） 5－2＝3（厘米） 3厘米＜第三边＜7厘米（不包括3厘米和7厘米）； 所以第二个三角形的第三边长可能为4厘米、5厘米、6厘米。 答：它们的第三条边是6厘米。 18．有两根长度分别为2cm和5cm的木棒。 （1）用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （2）用长度为1cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （3）要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【答案】（1）不能，因为两根木棒之和等于第三根木棒长度，所以无法构成三角形。 （2）不能，因为两根木棒之和小于第三根木棒长度，所以无法构成三角形。 （3）第三边的长度需要大于3cm，小于7cm。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】（1）2＋3＝5（cm） 答：不能，因为两根木棒之和等于第三根木棒长度。 （2）1＋2＝3（cm）＜5（cm） 答：不能，因为两根木棒之和小于第三根木棒长度。 （3）5－2＝3（cm）       5＋2＝7（cm） 答：第三边的长度需要大于3cm，小于7cm。 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 19．小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 【答案】从家经过宾馆再到学校的路；从家直接到学校的路；300米 【分析】根据题意可知，小明家到学校有3条路，分别是小明从家经过博物馆再到学校、小明从家直接到学校、小明从家经过宾馆再到学校。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知从家直接到学校那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】800＋1200＝2000（米） 1100＋1000＝2100（米） 2100＞2000＞1800 2100－1800＝300（米） 答：小明从家经过宾馆再到学校的路最远，小明从家直接到学校的路最近，相差300米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $