（新知抢先）第12讲 角的度量【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第12讲 角的度量【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、角的度量单位。 1、角的大小与边的长短无关，与角张开的大小有关。 2、一个圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度（记作:1'），通常用1°作为 角的度量单位。 3、1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。 二、认识量角器 1、测量角的一般工具是量角器。 在使用量角器之前我们需要认识量角器，量角器一般都是半圆形的，半圆的直径就是量角器的零刻度线，直径的中心位置就是量角器的中心点，半圆上的刻度用于量角的度数，范围是0°到180°。 2、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 3、用量角器画角 （1）用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 （2）对于一些特殊度数的角（如:15°，30° ，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150° 等），可以利用三角尺上的角画出来。 1、同时满足“量角器中心与角的顶点完全重合、0刻度线与角的其中一条边对齐”双对齐操作测得的数值，才是本单元认可的标准角的度量结果，仅靠视觉估读、未完成规范对齐得到的度数不能作为有效度量结论。 2、读取角的度量数值时，要先确认对齐的0刻度线对应的是量角器内圈还是外圈刻度，不能随意跨圈读取刻度数值，直接导致测得的度数和实际值偏差超过几十度。 3、用统一的度量标准比对不同角的大小时，要以两边张开的实际程度作为核心依据，不能仅凭角的两条边的线段长短判定大小，忽略角的度量本质属性。 4、反向核验角的度量结果时，将测得的度数代入量角器的刻度区间反向比对，最终得到的角的两条边张开程度必须和对应度数的标准角完全匹配。 5、处理非整十度数的角的度量场景时，要精准对齐细分刻度读取数值，不能直接四舍五入到邻近的整十度数，随意修改测得的精准度量结果。 6、标注角的度量相关的最终结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角的度数指代模糊。 7、度量顶点不在量角器中心、边未对齐0刻度线的偏移角时，要通过两条边对应的刻度差值计算实际度数，不能直接读取单条边的刻度作为角的度量结果，得到完全错误的数值。 8、同一道角的度量相关题目中，量角器的刻度读取基准、对齐操作规则必须完全统一，不能中途随意切换内外圈刻度，打乱度量逻辑的严谨性。 9、解决角的度量实际应用问题时，要先锚定“双对齐、准读数”的核心操作规范，不能直接凭角的外观大小盲目估读度数，脱离度量的精准性要求。 10、仅符合“角的边为直射线、量角器操作对齐规范”的标准场景，才能适配本单元的角的度量规则，边为曲线、无明确顶点的特殊图形不能随意套用常规的角的度量逻辑。 一、选择题 1．如图，笑笑用一个不完整的量角器量一个角，这个角的度数是（    ）。 A．120° B．90° C．70° D．50° 【答案】C 【分析】角的两条边对应的度数读出来，再相减即为答案；这里量角器有外圈度数，也有内圈度数，选择一种读数方法即可；那么我们可以读外圈度数，外圈显示这个角是从50°到120°，用120°－50°即为这个角的度数。 【解答】120°－50°＝70° 笑笑用一个不完整的量角器量一个角，这个角的度数是70°。 故答案为：C 2．两个角恰好可以拼成一个平角，若其中一个角是35°，另一个角是（    ）。 A．35° B．135° C．145° D．165° 【答案】C 【分析】1平角是180°，因此用180°减去其中一个角的度数，即可计算出另一个角的度数，依此计算并选择。 【解答】180°－35°＝145°，即另一个角是145°。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是角的分类与换算，熟练掌握平角的特点，是解答此题的关键。 3．音乐课上，老师教同学们练习手势舞，下面这些手势动作比划出的角中，（    ）最大。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小只与开口的大小有关，开口越大，角越大；锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度。据此结合题意分析解答即可。 【解答】根据分析可知： A．是直角。 B．是锐角。 C．是钝角。 D．是锐角。 音乐课上，老师教同学们练习手势舞，手势动作比划出的角中，最大。 故答案为：C 4．是我们学习数学的好帮手。用一副三角尺，可以拼出不同的角。下面这些角中，用一副三角尺不能拼出的是（    ）。 A．175° B．135° C．105° D．75° 【答案】A 【分析】已知一副三角尺上的角的度数为90°、45°、45°和90°、60°、30°，根据各选项中角的度数，能用三角尺上的角的度数组成的度数，就可以拼出这个角，否则就不能拼出。 【解答】A．175°不能用一副三角尺上的角拼成，符合题意； B．135°＝90°＋45°，能拼成，不符合题意； C．105°＝60°＋45°，能拼成，不符合题意； D．75°＝45°＋30°，能拼成，不符合题意。 5．如图，在一个60°的角的内部引两条射线，图中所有锐角的和是195°，那么∠1是（    ）。 A．15° B．25° C．30° D．45° 【答案】A 【分析】解决本题时应先明确图中的锐角分别是哪几个角，进而明确这些锐角之间的关系，如图锐角有6个，分别是∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠1＋∠3、∠1＋∠2＋∠3，题干已给出∠1＋∠2＋∠3＝60°，再根据所以锐角加起来为195°可计算出。 【解答】 一共有6个锐角，这6个锐角分别是∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠1＋∠3、∠1＋∠2＋∠3。 全部相加：∠1＋∠2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠1＋∠3＋∠1＋∠2＋∠3＝195° （∠1＋∠2＋∠3）＋（∠1＋∠2＋∠3）＋（∠1＋∠2＋∠3）＋∠1＝195° 因为∠1＋∠2＋∠3＝60° 上面算式可化简为：60°＋60°＋60°＋∠1＝195° 180°＋∠1＝195° ∠1＝195°－180° ∠1＝15° 二、填空题 6．（ ）时整，时针和分针组成的角是平角；（ ）时整，时针和分针所成的角是直角；从7时到8时，分针转了（ ）°，时针转了（ ）°。 【答案】6 3或9 360 30 【分析】平角等于180°，钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，6时整，时针指向6，分针指向12，相差6个大格，即6×30°＝180°；直角为90°，9时整，分针指向12，时针指向9，组成的角是直角，3时整，时针和分针所组成的角也是直角；从7时到8时，经过1小时，分针转一圈是1小时，即360°；时针从7时到8时，走了一个大格，即30°，据此解答即可。 【解答】6时整，时针和分针组成的角是平角；3或9时整，时针和分针所成的角是直角；从7时到8时，分针转了360°，时针转了30°。 7．如图，已知∠1＝35°，∠2＝______，∠3＝______。 【答案】55° 125° 【分析】由图可知，∠1、∠2和一个直角组成了一个平角。平角的度数是180°，直角的度数是90°，∠1＝35°，直接用180°减去90°再减去∠1的度数即可算出∠2的度数；∠1和一个直角组成了∠3，直接用35°加上90°即可算出∠3的度数。 【解答】∠2＝180°－90°－∠1 ＝90°－∠1 ＝90°－35° ＝55° ∠3＝∠1＋90° ＝35°＋90° ＝125° 故∠2＝55°，∠3＝125°。 8．小柯在设计家中的圆形花圃，想按照设计图分配种植不同的植物。已知∠1＝55°，那么∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°，∠5＝（ ）°。 【答案】35 55 125 【分析】观察图形可知，∠1与∠2组成直角（90°），根据直角的性质，∠2＝90°－∠1； ∠2、∠3与∠4组成一个平角（180°），∠3＝90°，∠4＝180°－∠2－∠3； ∠1与∠5组成平角（180°），根据平角的性质，∠5＝180°－∠1。 【解答】∠2＝90°－55°＝35° ∠4＝180°－35°－90° ＝145°－90° ＝55° ∠5＝180°－55°＝125° 所以∠2＝35°，∠4＝55°，∠5＝125°。 9．把一副三角尺按如图的方式摆放，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】120 45 【分析】一副三角尺上的角度有90°、60°、30°和45°，平角＝180°，观察题图可知，∠1＋60°＝180°，∠1＝120°；∠2＋90°＋45°＝180°，∠2＝45°；据此填空即可解答。 【解答】由分析得出： ∠1：180°－60°＝120° ∠2：180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 所以把一副三角尺按如图的方式摆放，则∠1＝120°，∠2＝45°。 10．观察下图，思考并填空。 （1）量角器是把半圆平均分成180份，每一份所对应的角是（ ）°，图中的∠1＝（ ）°，它包含了（ ）个这样的角； （2）有一个钝角∠2，它和∠1刚好拼成一个平角，∠2＝（ ） °。 【答案】（1）1 50 50 （2）130 【分析】量角器把半圆平均分成180份，每一份所对应的角是1°，图中∠1的一条边对准0°刻度线，另一边指向50，表示它包含了50个这样的角； 平角＝180°，∠2和∠1刚好拼成一个平角，就是∠2＋∠1＝180°，已知∠1，我们可以通过180°－∠1从而求得∠2。 【解答】（1）根据分析，量角器是把半圆平均分成180份，每一份所对应的角是（1）°，图中的∠1＝（50）°，它包含了（50）个这样的角； （2）∠2＝180－∠1°＝180°－50°＝130°，即∠2＝130°。 三、作图题 11．以A为顶点，射线AB为一边画一个50°的角；以B为顶点，射线BA为一边画一个150°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器的中心和射线的端点A重合，零刻度线和射线AB重合，在量角器50°刻度线的地方点一个点，以射线的端点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个50°的角； 用量角器的中心和射线的端点B重合，零刻度线和射线BA重合，在量角器150°刻度线的地方点一个点，以射线的端点B为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个150°的角。 【解答】 四、解答题 12．妙想打开一把折扇，打开后的折扇每两条折痕夹角度数是15°，妙想数了数，不算折扇的两边，中间一共有10条折痕。这把折扇左右两边的夹角是多少度？ 【答案】165° 【分析】不算折扇的两边，中间一共有10条折痕，那么共有（10＋1）个角，这把折扇左右两边的夹角是11个15°的和。 【解答】15°×11＝165° 答：这把折扇左右两边的夹角是165°。 【点睛】理解不算两边10条折痕共有11个角是解题关键。 13．下面是一把打开后的折扇，每相邻两条折痕的夹角的度数都是9°，不算两边，一共有12条折痕，这把折扇左右两个木条的夹角度数是多少？（木条与折痕的夹角也是9°） 【答案】117° 【分析】每相邻两条折痕形成一个夹角，12条折痕共形成13个夹角，每个夹角的度数是9°，则折扇左右两个木条的夹角是9°×13。 【解答】9°×（12＋1） ＝9°×13 ＝117° 答：这把折扇左右两个木条的夹角度数是117°。 【点睛】本题关键是明确夹角数量＝折痕数＋1，据此求出总的夹角数量，再乘每个夹角度数即可。 14．风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（    ），乙的风筝线与地面的夹角是（    ）。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？ 【答案】（1）65°；40° （2）同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高 （3）他的风筝比甲、乙飞得低 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。 （2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可； （3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。 【解答】（1）经过测量可知：甲的风筝线与地面的夹角是65°；乙的风筝线与地面的夹角是40°。 （2）经过测量发现，同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高。 （3）35°＜40°＜65°，即他的风筝没有甲、乙飞得高，即比甲、乙飞得低。 【点睛】此题考查的是角的度量与大小比较在生活中的运用，应熟练掌握。 15．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 【答案】（1）3；3 （2）（3）见详解 【分析】（1）根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义进行解答：大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°小于180°的角叫做钝角；平角等于180°；周角等于360°；据此解答即可； （2）用量角器的圆点和顶点A、B分别重合，0刻度线和AB重合，在量角器30°的刻度上点上点，过A、B两个点和刚作的点画射线，相交于点C就组成了三个角的角度分别是120°、30°、30°三角形； （3）一副三角板有30°、45°、60°、90°的角，所以90°角用三角板直接就可画出，75°的角可以利用45°＋30°＝75°画出；105°的角可以利用45°＋60°＝105°画出；据此解答。 【解答】（1）资料中出现的角中，锐角有3个，钝角有3个。 （2）据分析作图如下： （3）据分析作图如下： 【点睛】本题主要考查角的分类、三角板的角的度数、角的拼图等知识点，以及考查了学生利用三角板和量角器画角的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第12讲 角的度量【知识清单+新知避坑+预习达标练】 一、角的度量单位。 1、角的大小与边的长短无关，与角张开的大小有关。 2、一个圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度（记作:1'），通常用1°作为 角的度量单位。 3、1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。 二、认识量角器 1、测量角的一般工具是量角器。 在使用量角器之前我们需要认识量角器，量角器一般都是半圆形的，半圆的直径就是量角器的零刻度线，直径的中心位置就是量角器的中心点，半圆上的刻度用于量角的度数，范围是0°到180°。 2、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 3、用量角器画角 （1）用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 （2）对于一些特殊度数的角（如:15°，30° ，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150° 等），可以利用三角尺上的角画出来。 1、同时满足“量角器中心与角的顶点完全重合、0刻度线与角的其中一条边对齐”双对齐操作测得的数值，才是本单元认可的标准角的度量结果，仅靠视觉估读、未完成规范对齐得到的度数不能作为有效度量结论。 2、读取角的度量数值时，要先确认对齐的0刻度线对应的是量角器内圈还是外圈刻度，不能随意跨圈读取刻度数值，直接导致测得的度数和实际值偏差超过几十度。 3、用统一的度量标准比对不同角的大小时，要以两边张开的实际程度作为核心依据，不能仅凭角的两条边的线段长短判定大小，忽略角的度量本质属性。 4、反向核验角的度量结果时，将测得的度数代入量角器的刻度区间反向比对，最终得到的角的两条边张开程度必须和对应度数的标准角完全匹配。 5、处理非整十度数的角的度量场景时，要精准对齐细分刻度读取数值，不能直接四舍五入到邻近的整十度数，随意修改测得的精准度量结果。 6、标注角的度量相关的最终结果时，要明确附带“°”角度单位，避免出现漏写单位、混用长度单位的错配问题，导致角的度数指代模糊。 7、度量顶点不在量角器中心、边未对齐0刻度线的偏移角时，要通过两条边对应的刻度差值计算实际度数，不能直接读取单条边的刻度作为角的度量结果，得到完全错误的数值。 8、同一道角的度量相关题目中，量角器的刻度读取基准、对齐操作规则必须完全统一，不能中途随意切换内外圈刻度，打乱度量逻辑的严谨性。 9、解决角的度量实际应用问题时，要先锚定“双对齐、准读数”的核心操作规范，不能直接凭角的外观大小盲目估读度数，脱离度量的精准性要求。 10、仅符合“角的边为直射线、量角器操作对齐规范”的标准场景，才能适配本单元的角的度量规则，边为曲线、无明确顶点的特殊图形不能随意套用常规的角的度量逻辑。 一、选择题 1．如图，笑笑用一个不完整的量角器量一个角，这个角的度数是（    ）。 A．120° B．90° C．70° D．50° 2．两个角恰好可以拼成一个平角，若其中一个角是35°，另一个角是（    ）。 A．35° B．135° C．145° D．165° 3．音乐课上，老师教同学们练习手势舞，下面这些手势动作比划出的角中，（    ）最大。 A． B． C． D． 4．是我们学习数学的好帮手。用一副三角尺，可以拼出不同的角。下面这些角中，用一副三角尺不能拼出的是（    ）。 A．175° B．135° C．105° D．75° 5．如图，在一个60°的角的内部引两条射线，图中所有锐角的和是195°，那么∠1是（    ）。 A．15° B．25° C．30° D．45° 二、填空题 6．（ ）时整，时针和分针组成的角是平角；（ ）时整，时针和分针所成的角是直角；从7时到8时，分针转了（ ）°，时针转了（ ）°。 7．如图，已知∠1＝35°，∠2＝______，∠3＝______。 8．小柯在设计家中的圆形花圃，想按照设计图分配种植不同的植物。已知∠1＝55°，那么∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°，∠5＝（ ）°。 9．把一副三角尺按如图的方式摆放，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 10．观察下图，思考并填空。 （1）量角器是把半圆平均分成180份，每一份所对应的角是（ ）°，图中的∠1＝（ ）°，它包含了（ ）个这样的角； （2）有一个钝角∠2，它和∠1刚好拼成一个平角，∠2＝（ ） °。 三、作图题 11．以A为顶点，射线AB为一边画一个50°的角；以B为顶点，射线BA为一边画一个150°的角。 四、解答题 12．妙想打开一把折扇，打开后的折扇每两条折痕夹角度数是15°，妙想数了数，不算折扇的两边，中间一共有10条折痕。这把折扇左右两边的夹角是多少度？ 13．下面是一把打开后的折扇，每相邻两条折痕的夹角的度数都是9°，不算两边，一共有12条折痕，这把折扇左右两个木条的夹角度数是多少？（木条与折痕的夹角也是9°） 14．风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（    ），乙的风筝线与地面的夹角是（    ）。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？ 15．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 学科网（北京）股份有限公司 $