（新知抢先）第9讲 相交与垂直【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第9讲 相交与垂直【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、认识相交和垂直。 判断平面内两条直线是否相交，只要将两条直线延长，如果能相较于一点，就说明这两条直线的位置关系是相交。 2、认识垂直。 同一平面内的两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直 3、垂线的画法。 利用三角尺画垂线的方法：先画一条直线，再使三角尺的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边再画一条直线，这时所画的两条直线互相垂直。 1、同时满足“在同一平面内、两条直线存在公共交点”的位置关系，才是本单元定义的标准相交，两条完全平行、没有任何公共交点的直线不能直接判定为相交关系。 2、判定两条直线互相垂直时，要明确相交形成的四个角里必须有一个是90°的直角，不能仅凭视觉上的接近垂直就直接判定垂直，忽略直角的核心判定要求。 3、用三角尺画已知直线的垂线时，要先把三角尺的一条直角边和已知直线完全对齐贴合，再沿另一条直角边画出垂线，不能随意偏移三角尺的对齐基准，导致画出的线和已知直线不垂直。 4、反向核验垂直关系时，用三角尺的直角去比对两条直线的相交夹角，最终夹角必须和三角尺的直角完全重合，不能出现角度偏差、不是直角的矛盾情况。 5、过直线外一点向已知直线作连线时，要明确点与线之间所有连线里垂直的线段长度最短，不能把斜线段、折线段的长度判定为点到直线的距离，违背垂直的核心性质。 6、标注垂直相关的结果时，要正确使用“⊥”垂直符号，同时标注对应的垂足位置，避免出现符号错用、垂足标识模糊的问题，导致垂直关系指代不清。 7、处理过直线上一点画垂线的场景时，要先把三角尺的直角顶点精准对准给定的点，再沿另一条直角边画出垂线，不能随意偏移顶点位置，导致垂线不经过指定点。 8、同一道相交与垂直的相关题目中，直角的判定标准、垂线的对齐操作规则必须完全统一，不能中途随意更改判定基准，打乱相交与垂直的判定逻辑。 9、解决相交与垂直的实际应用问题时，要先锚定“相交成直角即为垂直、垂线段最短”的核心规则，不能直接硬套普通相交的位置关系逻辑，忽略垂直的特殊属性。 10、仅符合“两条直线共面、相交夹角为90°”要求的标准场景，才能适配本单元的相交与垂直相关规则，不在同一平面内、夹角属性模糊的特殊位置关系，不能随意套用常规的垂直判定逻辑。 一、选择题 1．在一个长方形框架里，能找出（    ）对互相垂直的线段。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时钟面上的时针和分针互相垂直时，正好是（    ）。 A．3：30 B．21：00 C．9：30 D．12：00 3．悦悦要画直线MN的垂线，下面操作方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 4．在运动会上，小宇跳远的落脚点是点A，线段（    ）的长度可以表示他的成绩。 A．AC B．AB C．AD D．BC 5．公路上有三条小路可以通往小明家，它们的长度分别是325米、287米、256米、224米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（    ）米。 A．325 B．287 C．256 D．224 二、填空题 6．一张纸上下折一次，再左右对折三次，展开后得到（ ）组折痕互相垂直。 7．下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 8．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。投掷沙包成绩最好的同学是（ ）。 9．已知一条直线AB，可以画（ ）条直线与直线AB垂直；如果过直线AB外一点P，可以画（ ）条直线与直线AB相交，其中只有（ ）条直线与直线AB垂直。 10．四个小朋友做“抢椅子”的游戏，他们的位置如图。谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 答：（ ）最有可能先坐在椅子上。 理由是：（ ）。 三、作图题 11．过C点画线段AB的垂线。 四、解答题 12．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 13．幸福村庄全面贯彻落实关于乡村振兴战略部署要求，推进乡村基础设施建设，助推乡村文化振兴。 （1）画出一条从爱国主义教育基地到文化室最近的路，这样画的理由是： （2）幸福村计划在幸福大道建一个离爱国主义教育基地最近的公交车站，你认为建在哪里最合适？请画一画并用“▲”标记出来。 14．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为100厘米。 （1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。 （2）（    ）的成绩最好，是（    ）厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第9讲 相交与垂直【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、认识相交和垂直。 判断平面内两条直线是否相交，只要将两条直线延长，如果能相较于一点，就说明这两条直线的位置关系是相交。 2、认识垂直。 同一平面内的两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直 3、垂线的画法。 利用三角尺画垂线的方法：先画一条直线，再使三角尺的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边再画一条直线，这时所画的两条直线互相垂直。 1、同时满足“在同一平面内、两条直线存在公共交点”的位置关系，才是本单元定义的标准相交，两条完全平行、没有任何公共交点的直线不能直接判定为相交关系。 2、判定两条直线互相垂直时，要明确相交形成的四个角里必须有一个是90°的直角，不能仅凭视觉上的接近垂直就直接判定垂直，忽略直角的核心判定要求。 3、用三角尺画已知直线的垂线时，要先把三角尺的一条直角边和已知直线完全对齐贴合，再沿另一条直角边画出垂线，不能随意偏移三角尺的对齐基准，导致画出的线和已知直线不垂直。 4、反向核验垂直关系时，用三角尺的直角去比对两条直线的相交夹角，最终夹角必须和三角尺的直角完全重合，不能出现角度偏差、不是直角的矛盾情况。 5、过直线外一点向已知直线作连线时，要明确点与线之间所有连线里垂直的线段长度最短，不能把斜线段、折线段的长度判定为点到直线的距离，违背垂直的核心性质。 6、标注垂直相关的结果时，要正确使用“⊥”垂直符号，同时标注对应的垂足位置，避免出现符号错用、垂足标识模糊的问题，导致垂直关系指代不清。 7、处理过直线上一点画垂线的场景时，要先把三角尺的直角顶点精准对准给定的点，再沿另一条直角边画出垂线，不能随意偏移顶点位置，导致垂线不经过指定点。 8、同一道相交与垂直的相关题目中，直角的判定标准、垂线的对齐操作规则必须完全统一，不能中途随意更改判定基准，打乱相交与垂直的判定逻辑。 9、解决相交与垂直的实际应用问题时，要先锚定“相交成直角即为垂直、垂线段最短”的核心规则，不能直接硬套普通相交的位置关系逻辑，忽略垂直的特殊属性。 10、仅符合“两条直线共面、相交夹角为90°”要求的标准场景，才能适配本单元的相交与垂直相关规则，不在同一平面内、夹角属性模糊的特殊位置关系，不能随意套用常规的垂直判定逻辑。 一、选择题 1．在一个长方形框架里，能找出（    ）对互相垂直的线段。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查长方形的特征以及互相垂直的概念。根据长方形的定义，长方形有个角，且每个角都是直角。互相垂直是指两条线段相交成直角。因此，长方形中相邻的两条边互相垂直，数出长方形的角的个数即可确定互相垂直的线段对数。 【解答】长方形有条边和个角，长方形的个角都是直角。长方形的每一个角都是由两条相邻的边相交而成的。因为每个角都是直角，所以每一组相邻的边都互相垂直。所以一共有对互相垂直的线段。 在一个长方形框架里，能找出对互相垂直的线段。 2．当时钟面上的时针和分针互相垂直时，正好是（    ）。 A．3：30 B．21：00 C．9：30 D．12：00 【答案】B 【分析】根据钟表夹角知识：钟表一圈360°，分12个大格，每个大格30°，逐个分析选项。 【解答】A．3：30，分针指向6，时针在3和4中间，夹角是2.5个大格，不是直角，时针和分针不垂直； B．21：00，分针指向12，时针指向9，两者间隔3个大格，3×30°＝90°，时针和分针互相垂直； C．9：30，分针指向6，时针在9和10中间，夹角是3.5个大格，不是直角，时针和分针不垂直； D．12：00，时针分针都指向12，时针和分针重合不垂直。 3．悦悦要画直线MN的垂线，下面操作方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，要画直线MN的垂线，需要把三角板的一条直角边靠紧直线MN，沿三角板的另一条直角边画的直线就是直线MN的垂线。据此解答。 【解答】A．由图可知，虽然三角板的一条直角边与直线MN重合，但所画线的那条边不是三角板的直角边。不满足题意。 B．由图可知，三角板的直角边并没有与直线MN重合，所以所画的线不是直线MN的垂线。不满足题意。 C．由图可知，三角板的一条直角边与直线MN重合，所画线的那条边是三角板的另一条直角边，所以所画的线是直线MN的垂线。满足题意。 D．由图可知，三角板的直角边并没有与直线MN重合，所以所画的线不是直线MN的垂线。不满足题意。 故答案为：C 4．在运动会上，小宇跳远的落脚点是点A，线段（    ）的长度可以表示他的成绩。 A．AC B．AB C．AD D．BC 【答案】A 【分析】直线外一点到直线的所有连线中，只有垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫作这个点到直线的距离。由题意得，小宇跳远的落脚点是点A，只有线段AC与起跳线垂直，所以点A到起跳线的距离就是线段AC的长度。据此解答。 【解答】由分析得，线段AC的长度可以表示小宇的成绩。 故答案为：A 5．公路上有三条小路可以通往小明家，它们的长度分别是325米、287米、256米、224米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（    ）米。 A．325 B．287 C．256 D．224 【答案】D 【分析】根据“从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短” 这一性质，判断与公路垂直的小路长度，即找出四条长度中最短的。 【解答】把公路看作一条直线，小明家看作直线外一点。 根据 “从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短” ，四条小路长度325米、287米、256米、224米中，224米是最短的。 所以与公路垂直的小路长度是224米。 故答案选D。 二、填空题 6．一张纸上下折一次，再左右对折三次，展开后得到（ ）组折痕互相垂直。 【答案】7 【分析】 如图所示，将一张纸先上下对折一次，再左右对折3次后，形成的折痕互相垂直，共7组折痕互相垂直。 【解答】略 7．下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 【答案】1；4；2；2 【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，观察4个图形，找出互相垂直的线段。 【解答】 8．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。投掷沙包成绩最好的同学是（ ）。 【答案】小林 【分析】根据沙包投掷的规则，沙包落地点与起掷线之间的距离才是投掷沙包的成绩，根据点到直线的距离，分别做出四位同学经过落地点作起掷线的垂线，再比较长短，即可解答。 【解答】如图所示： 观察图片，发现小林的落地点与起掷线之间的距离最长，因此沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。投掷沙包的成绩最好的同学是小林。 9．已知一条直线AB，可以画（ ）条直线与直线AB垂直；如果过直线AB外一点P，可以画（ ）条直线与直线AB相交，其中只有（ ）条直线与直线AB垂直。 【答案】无数 无数 1 【分析】根据垂直的性质可知，过直线AB上任意一点，都可以画1条直线与直线AB垂直，则可以画无数条直线与直线AB垂直。过直线AB外一点P，以及直线AB上任意一点，都可以画一条直线与直线AB相交，则过直线AB外一点P可以画无数条直线与直线AB相交，其中只有1条直线与直线AB垂直，且这条垂线段最短。 【解答】已知一条直线AB，可以画无数条直线与直线AB垂直；如果过直线AB外一点P，可以画无数条直线与直线AB相交，其中只有1条直线与直线AB垂直。 【点睛】本题考查垂直和相交的性质，需熟练掌握，利用画图帮助更好解题。 10．四个小朋友做“抢椅子”的游戏，他们的位置如图。谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 答：（ ）最有可能先坐在椅子上。 理由是：（ ）。 【答案】小龙 直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。 【分析】直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。据此解答。 【解答】小龙最有可能先坐在椅子上。因为直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。 【点睛】此题主要考查了直线外一点到直线的距离中，垂线段最短的知识点，要熟练掌握。 三、作图题 11．过C点画线段AB的垂线。 【答案】 【分析】把三角板的一条直角边与AB重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向AB画直线即可。 【解答】略 四、解答题 12．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 【答案】见详解 【分析】两点之间所有连线中线段最短，从直线外一点到直线所画的线段中垂线段最短；根据所有小鸡到害虫的距离，以同样的速度，哪只小鸡与害虫的距离越短，哪只小鸡就能吃到害虫，找出小鸡到害虫的线段与四只小鸡的出发线成直角的垂线段即可。 【解答】根据分析，观察图片可知，从右数第二只小鸡到害虫的距离线段与小鸡的出发线成直角，所以这只小鸡能吃到害虫。 垂线段最短。 13．幸福村庄全面贯彻落实关于乡村振兴战略部署要求，推进乡村基础设施建设，助推乡村文化振兴。 （1）画出一条从爱国主义教育基地到文化室最近的路，这样画的理由是： （2）幸福村计划在幸福大道建一个离爱国主义教育基地最近的公交车站，你认为建在哪里最合适？请画一画并用“▲”标记出来。 【答案】（1）两点之间的所有连线中，线段最短；图见详解 （2）从爱国主义教育基地作幸福大道的垂线，垂足位置设公交车站最合适；图见详解 【分析】（1）两点之间，线段最短，用线段将爱国主义教育基地和文化室连接起来即可； （2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短；过直线外一点做已知直线垂线的方法：过直线外一点做已知直线垂线的方法：①让三角尺的一条直角边和已知直线重合；②移动三角尺让直线外一点落在另一条直角边上，然后从这点向已知直线引一条垂线，据此解答。 【解答】（1）根据解析可知，两点之间的所有连线中，线段最短；如下图： （2）根据解析可知，从爱国主义教育基地作幸福大道的垂线，垂足位置设公交车站最合适；如下图： 14．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。下图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为100厘米。 （1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。 （2）（    ）的成绩最好，是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）小丽；150 【分析】（1）结合图形和题意可知，每条虚线之间的距离为50厘米，沙包落地点作垂线段到起掷线就是扔出去的距离。 （2）小军、小红和小丽扔出去的沙包都在左前方，其中小军落在第一根虚线处，小红落在第二根虚线处，小丽落在第三根虚线处，据此可以求出他们扔出去的距离，再比较大小即可。 【解答】（1）如下图所示： （2）小红投掷的距离为：50×2＝100（厘米） 小军投掷的距离为：50×1＝50（厘米） 小丽投掷的距离为：50×3＝150（厘米） 50＜100＜150 小丽的成绩最好，是150厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $