（新知抢先）第10讲 平移与平行【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第10讲 平移与平行【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、认识平行线。 在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线,也可以说这两条直线互相平行。 判定平行线要注意两点:①两条直线必须在同一平面内。②两条直线延长后不会相交。 2、平行线的画法。 用一副三角尺或用直尺和三角尺画平行线的方法： （1）先把左边直尺（或三角尺）固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺（或三角尺的一条边）； （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺； （3）再沿右边三角尺最初画直线的那条直角边最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 1、同时满足“在同一平面内、两条直线永远不相交”的位置关系，才是本单元定义的标准平行，存在公共交点、不在同一平面内的直线不能直接判定为平行关系。 2、判定两条直线互相平行时，要明确两条直线的延伸方向全程没有任何交点，不能仅凭局部线段看起来不相交就直接判定平行，忽略直线可无限延伸的特性。 3、用平移的方法画平行线时，要先把三角尺的一条边和已知直线完全对齐贴合，再靠紧直尺固定基准后平移三角尺，不能随意偏移平移基准，导致画出的新直线和已知直线不平行。 4、反向核验平行关系时，将两条直线向两端无限延伸后全程比对，最终两条直线始终不会出现任何公共交点，不能出现延伸后相交的矛盾情况。 5、判定平移前后图形的对应边关系时，要明确平移操作不会改变图形边的方向，平移前后的对应边一定互相平行，不能随意判定平移后的边和原边存在相交趋势，违背平移的核心属性。 6、标注平行相关的结果时，要正确使用“∥”平行符号，同时明确标注两条平行直线的指代，避免出现符号错用、平行对象指代模糊的问题。 7、处理过直线外一点画已知直线的平行线的场景时，要保证画出的新直线全程不与已知直线相交，且必须经过指定的点，不能随意偏移点的位置，导致平行线不符合要求。 8、同一道平移与平行的相关题目中，平行的判定标准、平移的操作基准必须完全统一，不能中途随意更改判定逻辑，打乱平移与平行的判定严谨性。 9、解决平移与平行的实际应用问题时，要先锚定“同平面内永不相交、平移不改变线条方向”的核心规则，不能直接硬套普通相交的位置关系逻辑，忽略平行的特殊属性。 10、仅符合“两条直线共面、延伸后全程无交点”要求的标准场景，才能适配本单元的平移与平行相关规则，不在同一平面内、延伸后存在交点的特殊位置关系，不能随意套用常规的平行判定逻辑。 一、选择题 1．以下是得到一组平行线的三种方法： 下面说法正确的是（    ）。 A．只有方法①和方法②正确 B．只有方法②和方法③正确 C．只有方法①和方法③正确 D．三种方法都正确 2．下图中有（    ）组平行线，（    ）组垂线。（   ） A．3，4 B．4，6 C．5，6 D．6，4 3．已知a⊥b，a⊥c，a∥d，那么下列（    ）的说法是错误的。 A．d⊥b B．c∥b C．c⊥d D．d∥b 4．在美术课上，笑笑把一张长10厘米、宽4厘米的长方形对折两次，折痕之间的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．一定相交 D．互相平行或互相垂直 5．雷雷爸爸用下面的方法判断墙上的照片是否挂正，下面调整方式不正确的是（    ）。 A．A点向上移2厘米 B．B点向下移2厘米 C．A点向下移2厘米 D．A点向上移4厘米，B点向上移2厘米 二、填空题 6．如图，4条直线a、b、c、d，其中（ ）和（ ）相互平行，（ ）和（ ）相互垂直。 7．两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 8．如图是我国传统称量工具——杆秤。称重时调节秤砣位置，使秤杆保持水平，可得出物品的质量。此时（选填“平行”或“垂直”）：砣绳与秤杆所在的两条直线互相（ ）；砣绳与提绳所在的两条直线互相（ ）。 9．下面是某学校的平面图。看图回答问题。 （1）与友谊路相交的路有（ ）条（不包含①、②、③三条小路）；与学新路垂直的路有（ ）条；与书香路平行的是（ ）路。 （2）图书馆到友谊路的3条小路中，最近的一条是（ ）。（填序号） 10．下面的字母中，有互相平行的线段的有（ ）个，有互相垂直的线段的有（ ）个。 三、作图题 11．按要求画图。 （1）过C点画出射线OA的垂线，与射线OA交于点D。 （2）过C点画出射线OB的平行线，与射线OA交于点E。 四、解答题 12．小明在一堵长方形的墙壁上挂了张图，他挂正了吗？用学过的数学知识来说明你的验证过程。 13．如图。 （1）开发区要修两条路，其中一条路与小河平行，另一条路通向河边，并且距小河最近，怎样修？请在图中画出来。 （2）王大爷到开发区的路有3条，王大爷去开发区走那条路最近？为什么？ 14．球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案 第10讲 平移与平行【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、认识平行线。 在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线,也可以说这两条直线互相平行。 判定平行线要注意两点:①两条直线必须在同一平面内。②两条直线延长后不会相交。 2、平行线的画法。 用一副三角尺或用直尺和三角尺画平行线的方法： （1）先把左边直尺（或三角尺）固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺（或三角尺的一条边）； （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺； （3）再沿右边三角尺最初画直线的那条直角边最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 1、同时满足“在同一平面内、两条直线永远不相交”的位置关系，才是本单元定义的标准平行，存在公共交点、不在同一平面内的直线不能直接判定为平行关系。 2、判定两条直线互相平行时，要明确两条直线的延伸方向全程没有任何交点，不能仅凭局部线段看起来不相交就直接判定平行，忽略直线可无限延伸的特性。 3、用平移的方法画平行线时，要先把三角尺的一条边和已知直线完全对齐贴合，再靠紧直尺固定基准后平移三角尺，不能随意偏移平移基准，导致画出的新直线和已知直线不平行。 4、反向核验平行关系时，将两条直线向两端无限延伸后全程比对，最终两条直线始终不会出现任何公共交点，不能出现延伸后相交的矛盾情况。 5、判定平移前后图形的对应边关系时，要明确平移操作不会改变图形边的方向，平移前后的对应边一定互相平行，不能随意判定平移后的边和原边存在相交趋势，违背平移的核心属性。 6、标注平行相关的结果时，要正确使用“∥”平行符号，同时明确标注两条平行直线的指代，避免出现符号错用、平行对象指代模糊的问题。 7、处理过直线外一点画已知直线的平行线的场景时，要保证画出的新直线全程不与已知直线相交，且必须经过指定的点，不能随意偏移点的位置，导致平行线不符合要求。 8、同一道平移与平行的相关题目中，平行的判定标准、平移的操作基准必须完全统一，不能中途随意更改判定逻辑，打乱平移与平行的判定严谨性。 9、解决平移与平行的实际应用问题时，要先锚定“同平面内永不相交、平移不改变线条方向”的核心规则，不能直接硬套普通相交的位置关系逻辑，忽略平行的特殊属性。 10、仅符合“两条直线共面、延伸后全程无交点”要求的标准场景，才能适配本单元的平移与平行相关规则，不在同一平面内、延伸后存在交点的特殊位置关系，不能随意套用常规的平行判定逻辑。 一、选择题 1．以下是得到一组平行线的三种方法： 下面说法正确的是（    ）。 A．只有方法①和方法②正确 B．只有方法②和方法③正确 C．只有方法①和方法③正确 D．三种方法都正确 【答案】D 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 。 【解答】①在大三角形、小三角形对应的边上各画一条直线，这两条边在三角板制作时已经平行，所以画出来的两条直线也平行。 ②是在方格纸上画平行线，如果把正方形并排摆在一起，正方形的对角线一定也平行，所以画出来的两条直线也平行。 ③将三角尺的一条直角边靠在直尺上，沿直尺平移三角尺，平移过程中，三角尺的方向没有改变，画出的两条直线平行。 所以，三种画法均正确。 2．下图中有（    ）组平行线，（    ）组垂线。（   ） A．3，4 B．4，6 C．5，6 D．6，4 【答案】B 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【解答】中有4组平行线，6组垂线。 3．已知a⊥b，a⊥c，a∥d，那么下列（    ）的说法是错误的。 A．d⊥b B．c∥b C．c⊥d D．d∥b 【答案】D 【分析】a⊥b，a⊥c，b和c垂直于同一条直线a，那么两条直线互相平行，可得b∥c； a∥d，b和c垂直于平行线中的一条a，必垂直于另一条d，可得b⊥d，c⊥d。 【解答】根据分析可知，A、B、C三个选项正确，D选项d∥b错误。 4．在美术课上，笑笑把一张长10厘米、宽4厘米的长方形对折两次，折痕之间的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．一定相交 D．互相平行或互相垂直 【答案】D 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。由题意得，笑笑把一张长10厘米、宽4厘米的长方形对折两次，留下的折痕如下图： 由图可知，折痕之间互相垂直或互相平行。 【解答】由分析得，笑笑把一张长10厘米、宽4厘米的长方形对折两次，折痕之间的关系是互相垂直或互相平行。 故答案为：D 5．雷雷爸爸用下面的方法判断墙上的照片是否挂正，下面调整方式不正确的是（    ）。 A．A点向上移2厘米 B．B点向下移2厘米 C．A点向下移2厘米 D．A点向上移4厘米，B点向上移2厘米 【答案】C 【分析】两条平行线间的距离相等。判断墙上的照片是否挂正，就要看A点到地面的距离和B点到地面的距离是否相等，只有相等时，即AB和地面平行时，才算挂正。由图可知，A点到地面的距离为56厘米，B点到地面的距离为58厘米，此时照片不正，依次分析4个选项，判断A点和B点到地面的距离是否相等，确定不正确的方式。 【解答】A．A点向上移2厘米 （厘米），此时A点和B点到地面的距离相等，调整方式正确。 B．B点向下移2厘米 （厘米），此时A点和B点到地面的距离相等，调整方式正确。 C．A点向下移2厘米 （厘米），此时A点和B点到地面的距离不相等，调整方式不正确。 D．A点向上移4厘米，B点向上移2厘米 （厘米），（厘米），此时A点和B点到地面的距离相等，调整方式正确。 调整方式不正确的是：A点向下移2厘米。 二、填空题 6．如图，4条直线a、b、c、d，其中（ ）和（ ）相互平行，（ ）和（ ）相互垂直。 【答案】b c a d 【分析】同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 【解答】如图，4条直线a、b、c、d，其中b和c相互平行，a和d相互垂直。 7．两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 【答案】14 10 【分析】平行线之间的距离处处相等，点O在长方形正中间，到直线a的距离是宽的一半，到直线c的距离是长的一半，分别乘2就是长方形的长和宽。 【解答】长是7×2＝14（厘米） 宽是5×2＝10（厘米） 8．如图是我国传统称量工具——杆秤。称重时调节秤砣位置，使秤杆保持水平，可得出物品的质量。此时（选填“平行”或“垂直”）：砣绳与秤杆所在的两条直线互相（ ）；砣绳与提绳所在的两条直线互相（ ）。 【答案】垂直 平行 【分析】根据题意，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线；在同一平面内，两条直线如果相交的角为直角，我们就说这两条直线互相垂直。据此解答。 【解答】砣绳与秤杆所在的两条直线互相垂直；砣绳与提绳所在的两条直线互相平行。 9．下面是某学校的平面图。看图回答问题。 （1）与友谊路相交的路有（ ）条（不包含①、②、③三条小路）；与学新路垂直的路有（ ）条；与书香路平行的是（ ）路。 （2）图书馆到友谊路的3条小路中，最近的一条是（ ）。（填序号） 【答案】（1）3/三 2/两 学子 （2）② 【分析】（1）在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交。两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。由图可知，与友谊路相交的路有学子路、书香路和学新路，一共有3条；与学新路垂直的路有书香路和学子路，一共有2条；与书香路平行的是学子路。 （2）直线外一点到直线的所有连线中，只有垂直线段最短。由图可知，线路②与友谊路互相垂直，所以图书馆到友谊路的3条小路中，最近的路是线路②。 【解答】（1）与友谊路相交的路有三条；与学新路垂直的路有两条；与书香路平行的是学子路。 （2）图书馆到友谊路的3条小路中，最近的一条是②。 10．下面的字母中，有互相平行的线段的有（ ）个，有互相垂直的线段的有（ ）个。 【答案】5 4 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 【解答】字母E、F、H、N、Z中有互相平行的线段，共5个； 字母E、F、H、L中有互相垂直的线段，共4个。 三、作图题 11．按要求画图。 （1）过C点画出射线OA的垂线，与射线OA交于点D。 （2）过C点画出射线OB的平行线，与射线OA交于点E。 【答案】 【分析】（1）过点C作射线OA的垂线，借助三角尺的直角边，将一条直角边与OA重合，平移三角尺使另一条直角边经过点C，沿该直角边画线，与OA的交点即为D。 （2）过点C作射线OB的平行线，所以使用直尺和三角尺，将三角尺的一边与OB重合，用直尺靠紧三角尺的另一边，平移三角尺使与OB重合的边经过点C，沿该边画线，与OA的交点即为E。 【解答】略 四、解答题 12．小明在一堵长方形的墙壁上挂了张图，他挂正了吗？用学过的数学知识来说明你的验证过程。 【答案】见详解 【分析】若挂正了，墙的长边与画的长边边是互相平行的，墙的宽边与画的宽边是互相平行的。据此只需要判断较长的两条边是否互相平行，较短的两条边是否互相平行。把直尺的边与墙的宽重合，把直角三角尺的直角边与直尺紧靠，移动直角三角尺，在移动的过程中，若图中两个长方形的长与直角三角尺的另一条直角边能重合，则说明这两条长互相平行，再将直尺的边与墙的长重合，借助直角三角尺，按照同样的方法来判断图中两个长方形的宽是否互相平行即可。 【解答】答：可以通过测量长方形墙壁的两组对边是否与这幅画的两组对边分别平行来验证。如果两组对边分别平行，那么墙壁是长方形，图挂正了；如果有一组对边不平行，那么图没挂正。 13．如图。 （1）开发区要修两条路，其中一条路与小河平行，另一条路通向河边，并且距小河最近，怎样修？请在图中画出来。 （2）王大爷到开发区的路有3条，王大爷去开发区走那条路最近？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）②；两点之间的连线中，线段最短 【分析】（1）画出经过开发区这一点与小河平行的直线，就是修建的与小河平行的路。连接点到直线的线段中，垂线段最短，画出经过开发区这一点与小河垂直的线段，即是修建的距小河最近的路。 （2）两点之间的连线中，线段最短。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。 【解答】（1） （2）王大爷去开发区走②路最近，因为两点之间的连线中，线段最短。 14．球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 【答案】（1）68米； （2）图见详解； 【分析】（1）端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，所以EF＝MN＝68米； （2）两点之间线段最短，直线外一点到直线上的所有线段中，垂线段最短。所以志愿者先直走到点Q处，再从Q点向最近的球场边界作垂线段走出球场，最短路线为P到Q再到该垂线段的垂足。 【解答】根据分析可得： （1）两条平行线之间垂线段最短，已知MN是足球场两长边中点的连线，所以当EF与MN平行时，EF最短， 端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，故EF＝MN＝68（米）； 答：横幅EF的最短长度为68米。 （2）最短路线图如下图： 学科网（北京）股份有限公司 $