（新知抢先）第4讲 圆的认识（一）【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第4讲 圆的认识（一） 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的认识。由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2、圆的各部分名称。 （1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母O表示。 （2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母r表示。 （3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。 3、圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径，无数条半径;同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。 4、圆心和半径的作用。 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆在生活中的应用。 圆形车轮的车轴都安装在圆心处，这样车轴到地面的距离实际就是圆的半径，而在同一个圆中所有的半径都相等，这样圆形车轮运动起来才是平稳的，让人们更加安全舒适。圆在生活中有着广泛的应用，运用圆的特征可以解决生活中的一些实际问题。 1、同时满足“由一条线段绕固定端点旋转一周形成、边缘上所有点到中心定点的距离完全相等”的图形，才是本单元定义的标准圆，仅靠视觉近似圆形、点到中心的距离存在明显偏差的图形不能直接判定为合规的圆。 2、判定圆的半径属性时，要明确半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，不能把圆外点到圆心的连线直接算作半径，混淆半径的定义边界。 3、判定圆的直径属性时，要明确直径必须同时经过圆心、且两个端点都落在圆上，不能把仅穿过圆心但端点不在圆上的线段直接判定为直径，违背直径的核心定义。 4、用圆规画指定大小的圆时，要先固定圆规两脚的间距为预设半径长度，针尖端扎牢圆心位置后再旋转画圆，不能随意晃动圆规改变两脚间距，画出半径不符合要求的变形圆。 5、标注圆的相关参数结果时，要明确标注圆心、半径、直径对应的指代符号，同时附带对应的长度单位，避免出现符号错用、单位混用的问题，导致圆的尺寸指代模糊。 6、处理车轮做成圆形的实际应用场景时，要明确圆心到地面的距离始终等于半径才能保证行驶平稳，不能把圆心到边缘距离不等的图形直接当作车轮使用，违背圆的核心特性。 7、同一道圆的认识相关题目中，半径与直径的判定标准、同圆内的长度倍数规则必须完全统一，不能中途随意切换圆心的位置、更改半径的计数基准，打乱判定逻辑的严谨性。 8、解决圆的认识相关的实际问题时，要先锚定“圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小”的核心规则，不能直接硬套正多边形的特征逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 9、仅符合“所有边缘点到定点距离完全相等、属于封闭平面曲线图形”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的相关判定规则，边缘点到定点距离不等、图形属性模糊的特殊图形，不能随意套用常规的圆的判定逻辑。 一、选择题 1．图中，直线a平行于线段d，且线段d是圆的直径，那么平行线之间的距离（    ）圆的半径。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【答案】B 【分析】平行线的特征：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线之间的距离处处相等； 从圆心出发到圆上任意一点的距离是圆的半径，可以从圆心O出发作直线a的垂线，然后进行分析。 【解答】如图： 观察发现从圆心O出发的垂线，未连接到圆上任意一点，且离圆上还有些距离，则平行线之间的距离小于圆的半径。 2．用一块长24cm，宽12cm的铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪（    ）个。 A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】先求出圆的直径，再分别计算长方形长和宽方向能容纳的圆的数量，最后相乘得总个数。 【解答】先计算出圆的直径：圆的半径为3cm，直径为（cm） 长方形长方向能剪的圆的数量：（个） 长方形宽方向能剪的圆的数量：（个） 最多可以剪（个） 3．某桥梁工程队在设计桥墩时，在一张长方形钢模板上，规划两个大小不同的圆形支柱孔（如下图）。小孔的半径是（    ）。 A．0.5cm B．1cm C．2cm D．4cm 【答案】B 【分析】据图可知，大孔的直径是4cm，大孔的直径和小孔的直径之和是6cm，先用减法求出小孔的直径，再根据圆的半径＝直径÷2用除法列式计算即可。 【解答】（6－4）÷2 ＝2÷2 ＝1（cm） 某桥梁工程队在设计桥墩时，在一张长方形钢模板上，规划两个大小不同的圆形支柱孔（如下图）。小孔的半径是1cm。 故答案为：B 4．在广场上画一个直径是20米的圆，你会选择借助下面的（    ）来完成任务。 A．课堂中用的圆规 B．一个直径是10分米的圆形物体 C．一根1米长的木棍 D．一根10米长一点的绳子 【答案】D 【分析】根据题意，要在广场上画一个直径为20米的圆，圆的半径为20÷2＝10米。画圆的核心是确定圆心和半径，需要借助长度等于半径的工具来操作，据此解答。 【解答】圆的半径.20÷2＝10（米） A．课堂圆规尺寸过小，无法画直径20米的圆； B．直径10分米的圆形物体，只能画直径10分米的圆（10分米＝1米），不符合要求； C．1米长的木棍，只能画半径1米的圆，不符合要求； D．10米长一点的绳子，可作为半径，固定一端为圆心，另一端绕圆心旋转即可画出直径20米的圆。 故答案为：D 5．如图，用圆规在大正方形纸上画一个最大的圆，圆规的针尖落在点A，那么圆规的笔尖应打开到（    ）处。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】要在大正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径应等于正方形的边长。圆规的针尖落在点A，圆规的笔尖到针尖的距离应是圆的半径，也就是正方形边长的一半。 【解答】圆规的针尖落在点A，圆规的笔尖到针尖的距离应是圆的半径，点③到点A的距离是正方形边长的一半，所以圆规的笔尖应打开到③处。 故答案为：C 二、填空题 6．如图所示，圆的半径为4cm，圆的直径是（ )cm，长方形的面积是（ )。 【答案】8 160 【分析】（1）求圆的直径，半径已知，半径×2可求得； （2）求长方形的面积，需要知道长与宽分别是多少，长是圆的半径的5倍，宽是圆的半径的2倍，长×宽可求得长方形的面积。 【解答】（1）圆的直径： 4×2＝8（cm） （2）长方形的面积： 4×5＝20（cm） 4×2＝8（cm） 20×8＝160（cm2） 所以圆的直径是8cm，长方形的面积是160cm2。 7．如图，“车轮”沿直尺的边滚动，O点留下的痕迹是（ )线，是因为（ )。 【答案】直 同一个圆中所有的半径都相等 【分析】由圆的特征可知，圆心到圆上任意一点的距离都相等，所以车轮滚动时，圆心到地面的距离始终不变，O点留下的痕迹为直线。 【解答】分析可知，“车轮”沿直尺的边滚动，O点留下的痕迹是直线，是因为同一个圆中所有的半径都相等。 8．如下图，大半圆的半径是（ )cm，小半圆的半径是（ )cm。 【答案】24 12 【分析】根据题意，大半圆的直径是48cm，所以大半圆的半径是直径的一半，即48÷2＝24cm；而小半圆的直径相当于大半圆的半径，所以用24÷2即为小半圆的半径为12cm。据此解答。 【解答】48÷2＝24（cm） 24÷2＝12（cm） 大半圆的半径是24cm，小半圆的半径是12cm。 9．如图所示，小宇自制了四个陀螺，每个陀螺上点一个黑点。将这四个陀螺分别旋转一周，陀螺上的黑点形成的轨迹是圆形的有（ )。（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据圆的概念：平面内线段绕固定端点旋转一周形成的轨迹即为圆，固定端点称为圆心，线段长度称为半径；这里的固定端点为每个陀螺旋转的轴，而黑点到这个固定端点的距离是一定的，所以四个陀螺上的黑点旋转一周均可形成圆形轨迹，据此选择。 【解答】根据分析可得： ①②③④均符合题意，所以陀螺上的黑点形成的轨迹是圆形的有①②③④。 10．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是（ )。 【答案】圆中最长的线段是直径 【分析】垂直于同一条直径的两条直线互相平行，则三角尺与圆相交的两条直角边互相平行，而平行线间的距离处处相等，这样可以测量出圆内最长的线段长度，因为直径是圆内最长的线段，所以测量依据是圆中最长的线段是直径，据此解答。 【解答】根据分析可知，用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是圆中最长的线段是直径。 三、作图题 11．画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 【答案】见详解 【分析】先确定一点为圆的圆心，以2.5厘米（5÷2＝2.5厘米）为半径画圆；要在圆内画最大正方形，该正方形的对角线需等于圆的直径，先画出圆的两条互相垂直的直径，再依次连接直径与圆的四个交点，即可得到圆内最大正方形。 【解答】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 四、解答题 12．画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 【答案】见详解 【分析】根据圆的特征：圆心到圆上任意一点的距离相等；据此列举两种画圆方法：①用一根线和一支笔画圆；②用圆形物体画圆（答案不唯一）。 根据两种圆的画法以及圆规画圆法，找出共同点。 【解答】①用一根线和一支笔，把线的一端固定住，另一端系在笔上，然后拉直，用笔绕着固定的一端画一圈，就画成圆了。 ②用圆形物体，如瓶盖，按住瓶盖在纸上描一圈，就画出圆了。 所有画圆的方法都围绕“固定圆心”和“半径不变”这两点展开，也就是圆的定义的体现。 13．一个长方形内有三个相同的圆（如下图所示），这个长方形长18厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】108平方厘米 【分析】由题意可知，长方形的长等于三个圆的直径之和，所以用18÷3即可计算出圆的直径，也就是长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽进行计算。 【解答】18÷3＝6（厘米） 18×6＝108（平方厘米） 答：它的面积是108平方厘米。 14．请你用所学知识说一说，车轴应该装在什么位置？车轮为什么是圆形的？请描述儿童自行车在路上笔直地前行时，一个辅助轮和后轮车轴轴心运动的轨迹。 【答案】车轴应该装在圆心的位置。圆心到圆上任意一点的距离都相等，车轮是圆形的，可以保证车辆平稳运行。儿童自行车在路上笔直地前行时，一个辅助轮和后轮车轴轴心运动的轨迹是一组平行线。 【分析】圆有一个重要的性质：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径； 当车轮做成圆形并且车轴位于圆心时，车轮在滚动过程中车轴到地面的距离始终等于车轮的半径，这样车辆行驶起来就会比较平稳； 因为自行车是笔直行驶的辅助轮也是围绕自身车轴滚动，所以辅助轮车轴中心也会沿着一条与地面平行的直线运动。据此可以解答。 【解答】车轴应该装在圆心的位置。 圆心到圆上任意一点的距离都相等，车轮是圆形的，可以保证车辆平稳运行。 儿童自行车在路上笔直地前行时，一个辅助轮和后轮车轴轴心运动的轨迹是一组平行线。 15．如图是某市一个“口袋公园”中一块长方形花坛，在它的中心位置安装了一个射程是4米的自动旋转喷灌装置。 （1)请在图中画出这个自动旋转喷灌装置喷灌的范围。 （2)石榴树的位置用数对表示是，它的正北方向2m处还有一株梅花树，用数对表示是（ )，自动旋转喷灌装置可以为（ )喷水。（填“石榴树”或“梅花树”） 【答案】（1) （2) 梅花树 【分析】（1）一个射程是米，所以半径是米，即（格），即以为圆心，半径为格，画出这个圆即可； （2）先找石榴树的位置，再找梅花树的数对，也就是正北方向往上格，即（格），即如图所示。 【解答】（1）半径：（格） 图略 （2）（格） 梅花树的数对为，在圆上； 石榴树的数对，不在圆上，所以自动旋转喷灌装置可以为梅花树喷水。如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第4讲 圆的认识（一） 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆的认识。由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2、圆的各部分名称。 （1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母O表示。 （2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母r表示。 （3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。 3、圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径，无数条半径;同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。 4、圆心和半径的作用。 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆在生活中的应用。 圆形车轮的车轴都安装在圆心处，这样车轴到地面的距离实际就是圆的半径，而在同一个圆中所有的半径都相等，这样圆形车轮运动起来才是平稳的，让人们更加安全舒适。圆在生活中有着广泛的应用，运用圆的特征可以解决生活中的一些实际问题。 1、同时满足“由一条线段绕固定端点旋转一周形成、边缘上所有点到中心定点的距离完全相等”的图形，才是本单元定义的标准圆，仅靠视觉近似圆形、点到中心的距离存在明显偏差的图形不能直接判定为合规的圆。 2、判定圆的半径属性时，要明确半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，不能把圆外点到圆心的连线直接算作半径，混淆半径的定义边界。 3、判定圆的直径属性时，要明确直径必须同时经过圆心、且两个端点都落在圆上，不能把仅穿过圆心但端点不在圆上的线段直接判定为直径，违背直径的核心定义。 4、用圆规画指定大小的圆时，要先固定圆规两脚的间距为预设半径长度，针尖端扎牢圆心位置后再旋转画圆，不能随意晃动圆规改变两脚间距，画出半径不符合要求的变形圆。 5、标注圆的相关参数结果时，要明确标注圆心、半径、直径对应的指代符号，同时附带对应的长度单位，避免出现符号错用、单位混用的问题，导致圆的尺寸指代模糊。 6、处理车轮做成圆形的实际应用场景时，要明确圆心到地面的距离始终等于半径才能保证行驶平稳，不能把圆心到边缘距离不等的图形直接当作车轮使用，违背圆的核心特性。 7、同一道圆的认识相关题目中，半径与直径的判定标准、同圆内的长度倍数规则必须完全统一，不能中途随意切换圆心的位置、更改半径的计数基准，打乱判定逻辑的严谨性。 8、解决圆的认识相关的实际问题时，要先锚定“圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小”的核心规则，不能直接硬套正多边形的特征逻辑，忽略圆的曲线图形属性。 9、仅符合“所有边缘点到定点距离完全相等、属于封闭平面曲线图形”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的相关判定规则，边缘点到定点距离不等、图形属性模糊的特殊图形，不能随意套用常规的圆的判定逻辑。 一、选择题 1．图中，直线a平行于线段d，且线段d是圆的直径，那么平行线之间的距离（    ）圆的半径。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 2．用一块长24cm，宽12cm的铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪（    ）个。 A．32 B．16 C．8 D．4 3．某桥梁工程队在设计桥墩时，在一张长方形钢模板上，规划两个大小不同的圆形支柱孔（如下图）。小孔的半径是（    ）。 A．0.5cm B．1cm C．2cm D．4cm 4．在广场上画一个直径是20米的圆，你会选择借助下面的（    ）来完成任务。 A．课堂中用的圆规 B．一个直径是10分米的圆形物体 C．一根1米长的木棍 D．一根10米长一点的绳子 5．如图，用圆规在大正方形纸上画一个最大的圆，圆规的针尖落在点A，那么圆规的笔尖应打开到（    ）处。 A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 6．如图所示，圆的半径为4cm，圆的直径是（ ）cm，长方形的面积是（ ）。 7．如图，“车轮”沿直尺的边滚动，O点留下的痕迹是（ ）线，是因为（ ）。 8．如下图，大半圆的半径是（ ）cm，小半圆的半径是（ ）cm。 9．如图所示，小宇自制了四个陀螺，每个陀螺上点一个黑点。将这四个陀螺分别旋转一周，陀螺上的黑点形成的轨迹是圆形的有（ ）。（填序号） 10．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是（ ）。 三、作图题 11．画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 四、解答题 12．画圆的方法有很多种，除了用圆规画圆外，还可以用其他材料画圆，请你列举两种画圆的方法，并说明这两种画圆的方法和圆规画圆有什么共同的地方？ 13．一个长方形内有三个相同的圆（如下图所示），这个长方形长18厘米，它的面积是多少平方厘米？ 14．请你用所学知识说一说，车轴应该装在什么位置？车轮为什么是圆形的？请描述儿童自行车在路上笔直地前行时，一个辅助轮和后轮车轴轴心运动的轨迹。 15．如图是某市一个“口袋公园”中一块长方形花坛，在它的中心位置安装了一个射程是4米的自动旋转喷灌装置。 （1）请在图中画出这个自动旋转喷灌装置喷灌的范围。 （2）石榴树的位置用数对表示是，它的正北方向2m处还有一株梅花树，用数对表示是（ ），自动旋转喷灌装置可以为（ ）喷水。（填“石榴树”或“梅花树”） 学科网（北京）股份有限公司 $