（新知抢先）第5讲 圆的认识（二）和欣赏与设计【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第5讲 圆的认识（二）和欣赏与设计 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。 2、有1条对称轴的图形有等腰三角形、等腰梯形、半圆。有2条对称轴的图形是长方形。有3条对称轴的图形是等边三角形。有4条对称轴的图形是正方形。有无数条对称轴的图形是圆。 3、找圆心的方法：(1)把圆对折后再对折，两条半径的公共端点就是圆心。（2）把圆沿着直径所在的直线任意对折两次后，折痕的交点就是圆心。（3）在实际生活中，我们都是通过找到圆的直径及其中点的方法来确定圆心。 4、圆与正多边形组成的组合图形的对称轴的条数取决于正多边形的对称轴条数。 5、在实际生活中，我们常常利用圆与正多边形组成的组合图形设计精美的图案。 1、同时满足“沿一条直线对折后直线两侧的部分能够完全重合、所有对应点到对称轴的距离完全相等”的图形，才是本单元定义的标准轴对称图形，仅靠视觉上左右近似对称、对折后存在明显错位的图形不能直接判定为合规的轴对称图形。 2、判定圆的对称轴属性时，要明确圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，不能直接把直径线段本身等同于对称轴，混淆对称轴的直线属性定义边界。 3、推导常见轴对称图形的对称轴数量时，要明确不同图形的对称轴分布规律，不能随意将长方形、正方形的对称轴数量和圆的无数条对称轴属性混同，违背不同轴对称图形的特征差异。 4、反向核验轴对称图形的对称属性时，将图形沿指定对称轴对折后完全贴合比对，最终两侧的所有轮廓、细节都必须完全重合，不能出现轮廓错位、细节不匹配的逻辑矛盾情况。 5、利用圆的平移、旋转组合设计对称图案时，要保证平移的基准距离、旋转的中心角度完全统一，不能随意变动平移步长或旋转角度，导致最终图案的对称排布出现混乱。 6、标注圆的对称轴相关结果时，要使用虚线明确画出对称轴的位置，同时标注对应轴对称图形的对称轴数量，避免出现实线画对称轴、对称轴数量错标漏标的问题，导致对称属性指代模糊。 7、处理找轴对称图形多条对称轴的场景时，要按不同方向逐一排查所有符合要求的对称轴，不能遗漏特殊角度的对称轴，得到不符合图形对称特征的错误结果。 8、同一道圆的轴对称、图案设计相关题目中，对称轴的判定标准、平移旋转的操作基准必须完全统一，不能中途随意切换对称的判定维度、变动图案排布的参考坐标系，打乱判定逻辑的严谨性。 9、解决圆的轴对称与图案设计的实际应用问题时，要先锚定“圆有无数条对称轴、平移旋转不改变图形形状大小”的核心规则，不能直接硬套普通多边形的轴对称特征逻辑，忽略圆的特殊对称属性。 10、仅符合“图形为平面封闭图形、对称排布规则统一”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的轴对称与图案设计相关规则，图形轮廓模糊、对称基准不统一的特殊图案，不能随意套用常规的轴对称判定与设计逻辑。 一、选择题 1．下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫作它的对称轴，根据对称轴定义找出各图形对称轴的数量。 【解答】 A．该图形有无数条对称轴； B．该图形有2条对称轴； C．该图形有3条对称轴； D．该图形有3条对称轴。 对称轴条数最少的是。 2．下图中对称轴条数相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】先画出每个图形的对称轴，再对比找条数相等的组合。 【解答】 从上图中可知： 图形①有2条 图形②有1条 图形③有0条 图形④有1条 图形②和④的对称轴条数都是1条。 3．点A到直线a的距离是3cm，点B是点A关于直线a的对称点。如果以线段AB为直径画圆，那么圆规两脚间的距离应该是（    ）cm。 A．3 B．6 C．9 【答案】A 【分析】点A和点B是关于直线a的对称点，点A距离a的长度是3cm，那么，点B距离a的距离也是3cm，以AB为直径画圆，圆的直径是6cm，圆规两脚间的距离是圆的半径，所以半径是3cm。 【解答】根据分析，作图如下： 点A到直线a的距离是3cm，点B是点A关于直线a的对称点。如果以线段AB为直径画圆，那么圆规两脚间的距离应该是3cm。 故答案为：A 4．下面的图案能通过平移得到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；由此解答即可。 【解答】结合图可知：D中图形可以通过平移得到； 故答案为：D 【点睛】明确平移的性质，是解答此题的关键。 5．花边的设计是运用图形的（    ）等变换。 A．平移 B．旋转 C．轴对称 【答案】B 【分析】此题主要是考查平移、旋转、轴对称的意义。此题也可画出一半再根据轴对称来设计，那样就太麻烦了，利用利用旋转设计，只要画出两个主体元素即可。 【解答】红色图案绕中心按一定的方向旋转＝72°，再旋转72°…旋转5个72°； 同样绿色部也是绕中心红色图案绕中心按一定的方向旋转＝72°，再旋转72°…旋转5个72°； 因此整数图形可以看作是由旋转而成的。 故答案选：B。 二、填空题 6．用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有（ ）条，最多有（ ）条。 【答案】1/一 无数 【分析】大小不同的圆可以组成很多种不同的图形，对称轴的条数也不一样，其中最少的一种是圆心的位置不同时，这时对称轴是经过两个圆的圆心的直线，最多的一种是两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条。 【解答】用两个大小不同的圆组成的所有图形中，两个大小不同的圆的圆心的位置不同时； 两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条，即最多有无数条。 7．如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 【答案】两/2 10 30 【分析】第1空，根据轴对称图形的特征，沿某一条对称轴对折后，两边能完全重合。 第2空，这两个圆的大小一样，根据在同一个圆内，半径长度是直径的一半。 第3空，长方形的长是3条半径的长度之和。 【解答】 20÷2＝10（厘米） 10×3＝30（厘米） 所以，这个图形有两条对称轴，其中一个圆的半径是10厘米，长方形的长是30厘米。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 【答案】4 1 3 5 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 9．图中的圆心O的位置是（7，5），该圆是由原图形先向上平移4格，再向右平移5格得到的，那么原图形圆心的位置是（ ）。 【答案】（2，1） 【分析】根据题意，原图先向上平移4格，那就是要把现在的图形向下平移4格，原图向右平移5格，所以要把现在图形向左平移5格，得到原来图形的位置，数对通常是先读横坐标，再读纵坐标，据此解答。 【解答】图中的圆心O的位置是（7，5），该圆是由原图形先向上平移4格，再向右平移5格得到的，那么原图形圆心的位置是（2，1）。 10．下面这些图案是怎样形成的？ 图1         图2 （1）图1是由（ ）个小圆和（ ）个大圆组成的。 （2）图2是由（ ）个半圆和（ ）个圆组成的。 【答案】（1）8 1 （2）4 1 【分析】仔细观察，发现第一幅图案外面是一个大圆，里面是8个完全一样的小圆。第二幅图案外面是一个大圆，里面是4个完全一样的半圆。 【解答】（1）图1是由8个小圆和1个大圆组成的。 （2）图2是由4个半圆和1个圆组成的。 三、作图题 11． （1）在下图中标出圆心O，并画出这个圆中互相垂直的两条对称轴。 （2）把这个圆向右平移7格后再画出来。 【答案】（1）（2） 【分析】（1）一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。根据轴对称图形的定义，找出轴对称图形的对称轴，并画出两条互相垂直的对称轴，则两条对称轴的交点即为圆心O； （2）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，根据平移图形的特征，把圆心O向右平移7格，再画出半径是3格的圆，即可得到把这个圆向右平移7格后的圆。 【解答】（1）（2）略 四、解答题 12．拿一张正方形纸，按下图所示的方式对折数次后，剪成一个等腰三角形，展开后会得到一个怎样的图形呢？试一试吧。 【答案】圆形 【分析】按照图中的方法，找一张正方形纸亲自动手操作一下，尽量对折数次后，剪成一个等腰三角形，根据等腰三角形的特点，两条腰相等，即展开后会有多条腰相等，腰越多，越接近圆形，腰就是圆的半径。圆还是轴对称图形，这些腰所在的直线也是圆的对称轴。 【解答】答：据分析可知，展开后会得到一个圆形。 13．剪下如图的圆、正方形和等边三角形，标出中心点A，并将各个图形分别与下面相对应的图形重合，然后沿中心点A转动图形，你发现了什么？ 【答案】见详解 【分析】 通过转动图形可以发现，圆无论怎么转动，都与原来的圆重合；如图，正方形和等边三角形旋转图中的角度后，能与原来的正方形和等边三角形重合，据此分析。 【解答】圆形绕中心点旋转任意的角度都能和原来的图形重合； 正方形有4条边，360°÷4＝90°，正方形旋转90°能和原来的图形重合； 等边三角形有3条边，360°÷3＝120°，等边三角形需要旋转120°才能和原来的图形重合； 综合以上特点总结正多边形的边数和旋转角度的关系为：360°÷边的数量。 14．下面的图案可以看成是由一个什么图形经过旋转而成的？试着把它画下来。 【答案】圆；图见详解 【分析】先画出中心的圆作为第一个圆，在圆上找一点作为圆心，以中心圆的半径为半径画第二个圆，将第二个圆绕中心圆的圆心顺时针（或逆时针）旋转60°，画出第三个圆，同样的方法再旋转5次即可得到题中的图案。据此作答。 【解答】题中图案可以看成是由一个圆经过旋转而成的，作图如下： 【点睛】本题考查旋转的方法在设计图案中的应用，这一方法在生活中有广泛的应用，要灵活掌握。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 第5讲 圆的认识（二）和欣赏与设计 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。 2、有1条对称轴的图形有等腰三角形、等腰梯形、半圆。有2条对称轴的图形是长方形。有3条对称轴的图形是等边三角形。有4条对称轴的图形是正方形。有无数条对称轴的图形是圆。 3、找圆心的方法：(1)把圆对折后再对折，两条半径的公共端点就是圆心。（2）把圆沿着直径所在的直线任意对折两次后，折痕的交点就是圆心。（3）在实际生活中，我们都是通过找到圆的直径及其中点的方法来确定圆心。 4、圆与正多边形组成的组合图形的对称轴的条数取决于正多边形的对称轴条数。 5、在实际生活中，我们常常利用圆与正多边形组成的组合图形设计精美的图案。 1、同时满足“沿一条直线对折后直线两侧的部分能够完全重合、所有对应点到对称轴的距离完全相等”的图形，才是本单元定义的标准轴对称图形，仅靠视觉上左右近似对称、对折后存在明显错位的图形不能直接判定为合规的轴对称图形。 2、判定圆的对称轴属性时，要明确圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，不能直接把直径线段本身等同于对称轴，混淆对称轴的直线属性定义边界。 3、推导常见轴对称图形的对称轴数量时，要明确不同图形的对称轴分布规律，不能随意将长方形、正方形的对称轴数量和圆的无数条对称轴属性混同，违背不同轴对称图形的特征差异。 4、反向核验轴对称图形的对称属性时，将图形沿指定对称轴对折后完全贴合比对，最终两侧的所有轮廓、细节都必须完全重合，不能出现轮廓错位、细节不匹配的逻辑矛盾情况。 5、利用圆的平移、旋转组合设计对称图案时，要保证平移的基准距离、旋转的中心角度完全统一，不能随意变动平移步长或旋转角度，导致最终图案的对称排布出现混乱。 6、标注圆的对称轴相关结果时，要使用虚线明确画出对称轴的位置，同时标注对应轴对称图形的对称轴数量，避免出现实线画对称轴、对称轴数量错标漏标的问题，导致对称属性指代模糊。 7、处理找轴对称图形多条对称轴的场景时，要按不同方向逐一排查所有符合要求的对称轴，不能遗漏特殊角度的对称轴，得到不符合图形对称特征的错误结果。 8、同一道圆的轴对称、图案设计相关题目中，对称轴的判定标准、平移旋转的操作基准必须完全统一，不能中途随意切换对称的判定维度、变动图案排布的参考坐标系，打乱判定逻辑的严谨性。 9、解决圆的轴对称与图案设计的实际应用问题时，要先锚定“圆有无数条对称轴、平移旋转不改变图形形状大小”的核心规则，不能直接硬套普通多边形的轴对称特征逻辑，忽略圆的特殊对称属性。 10、仅符合“图形为平面封闭图形、对称排布规则统一”要求的标准场景，才能适配本单元的圆的轴对称与图案设计相关规则，图形轮廓模糊、对称基准不统一的特殊图案，不能随意套用常规的轴对称判定与设计逻辑。 一、选择题 1．下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下图中对称轴条数相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 3．点A到直线a的距离是3cm，点B是点A关于直线a的对称点。如果以线段AB为直径画圆，那么圆规两脚间的距离应该是（    ）cm。 A．3 B．6 C．9 4．下面的图案能通过平移得到的是（    ）。 A． B． C． D． 5．花边的设计是运用图形的（    ）等变换。 A．平移 B．旋转 C．轴对称 二、填空题 6．用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有（ ）条，最多有（ ）条。 7．如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 9．图中的圆心O的位置是（7，5），该圆是由原图形先向上平移4格，再向右平移5格得到的，那么原图形圆心的位置是（ ）。 10．下面这些图案是怎样形成的？ 图1         图2 （1）图1是由（ ）个小圆和（ ）个大圆组成的。 （2）图2是由（ ）个半圆和（ ）个圆组成的。 三、作图题 11． （1）在下图中标出圆心O，并画出这个圆中互相垂直的两条对称轴。 （2）把这个圆向右平移7格后再画出来。 四、解答题 12．拿一张正方形纸，按下图所示的方式对折数次后，剪成一个等腰三角形，展开后会得到一个怎样的图形呢？试一试吧。 13．剪下如图的圆、正方形和等边三角形，标出中心点A，并将各个图形分别与下面相对应的图形重合，然后沿中心点A转动图形，你发现了什么？ 14．下面的图案可以看成是由一个什么图形经过旋转而成的？试着把它画下来。 学科网（北京）股份有限公司 $