（新知抢先）第4讲 因数和积的大小关系【知识清单+新知避坑+预习达标练】-2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第4讲 因数和积的大小关系 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、‌核心规律‌：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；乘等于1的数，积和原来的数相等；乘小于1的数，积比原来的数小。 2、‌特殊说明‌：必须标注”0除外”，0和任何数相乘结果都为0，不受上述规律影响。 3、‌实用场景‌：可用于不计算直接比较大小、快速验算小数乘法结果是否合理，比如判断”28.6×0.71的结果大于28.6”这类错误结论。 1、同时满足“两个因数均不为0”的前提条件下，积和因数的大小比较规则才完全成立，存在因数为0的特殊场景不能直接套用常规的大小判定逻辑。 2、一个非零数乘大于1的小数时，得到的积一定比这个非零数本身更大，不能仅凭“乘法运算结果一定比原数大”的固有经验盲目判定，忽略小数因数的取值范围。 3、一个非零数乘小于1的正小数时，得到的积一定比这个非零数本身更小，不能随意把小数和整数的乘法规律混同，得出和实际结果完全相反的大小结论。 4、反向核验因数和积的大小关系时，将对应乘法运算的结果计算出来，最终得到的积和原因数的大小关系必须完全匹配对应规则，不能出现逻辑矛盾的情况。 5、判定因数和积的大小关系前，要先确认参与运算的所有因数的正负属性，本单元默认的正小数运算规则不能直接套用到存在负数的运算场景中。 6、标注因数和积的大小比较结果时，要正确使用“>”“<”“=”对应大小关系，避免出现符号写反、漏写连接符号的逻辑错误。 7、处理多个小数连乘的场景时，要逐个比对每一个因数和1的大小关系，逐步推导最终积和初始因数的大小关联，不能直接跳过中间步骤直接下结论，导致推导逻辑出现漏洞。 8、同一道相关题目里的所有因数的取值判定基准必须完全统一，不能中途随意更改因数的有效数位、四舍五入近似值，打乱大小比较的统一基准。 9、解决因数和积的大小关系的实际应用问题时，要先锚定“先看因数和1的大小关系、再判定积的走向”的核心规则，不能直接硬套整数乘法的运算逻辑混淆小数乘法的特殊规律。 10、仅符合“所有因数均为非零正小数”要求的标准场景才能适配本单元的因数和积的大小关系规则，存在因数为0、为负数的特殊场景不能随意套用常规的大小比较逻辑。 一、选择题 1．下面算式中，积小于1的有（    ）个。 ①1.4×1.2  ②0.9×0.8  ③0.6×0.99  ④3.07×1.6  ⑤2.1×0.6 A．1 B．2 C．3 D．4 2．乐乐、欢欢和辉辉都判定“2.58×0.32＝8.258”这道题的计算结果是错误的，理由如下图所示。有（    ）个小朋友说对了。 乐乐：积的末尾数字应该是0。 欢欢：积应该是四位小数。 辉辉：0.32＜1，所以积不可能大于2.58。 A．1 B．2 C．3 3．已知a×0.99＝b×1.06＝c×0.82（a、b、c都不为0），则a、b、c中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c 4．判断的积是否正确，下面推理错误的是（    ）。 A．2.6乘一个小数，积一定比2.6小，且两因数末尾相乘得6，所以正确。 B．1.01乘大于1的数，积比1.01大，计算可能正确，但还需要进一步验证。 C．，所以错误。 D．因数中一共有三位小数，而且两因数尾数相乘的积的尾数不为0，积应该是三位小数，所以错误。 5．藏羚羊的奔跑速度大约可达每分钟1.33千米，非洲猎豹的速度大约是藏羚羊的1.33倍。非洲猎豹的速度每分钟大约是（    ）千米。 A．17.7 B．1.77 C．2.77 D．27.7 二、填空题 6．已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.85（a、b、c都不为0），则a、b、c三个数相比，（ ）最大，（ ）最小。 7．数字a、b在直线上的位置如下图所示。根据图中信息我们知道（ ）。（填“＞”“＜”或“＝”） 8．从0.73、0.907、1.09、46.7这四个数中任意选择两个数组成乘法算式，积比两个因数都小的算式有（ ）个，积在两个因数之间的算式有（ ）个。 9．收藏在河北博物馆的中国汉代青铜器“中华第一宫灯”长信宫灯高0.48米，收藏在天津博物馆的西周青铜器太保鼎高度是长信宫灯的1.1倍，太保鼎高（ ）米。 10．在下面的括号里填上“＞”或“＜”。 9.9×6.9（ ）70   0.97×23.8（ ）24 57.5×6.2（ ）420   26.4×1.08（ ）26.4 三、解答题 11．济南地铁8号线全长约25.3千米，地铁4号线的长度比8号线的1.5倍多2.35千米。济南地铁4号线全长约多少千米？ 12．小维计算”0.78×6.1”，想请同学们帮他批改他算对了吗？ 0.78×6.1＝47.58 13．老师在黑板上写了一道经典算式12.4×0.75，并提供了四个选择答案，要求同学们不列竖式的情况下，选出正确结果。 12.4×0.75＝（    ） A．9.3        B．0.93        C．93        D．930 （1）如果你来选，你首先会排除哪个选项？提出理由。 （2）你认为正确的结果最有可能是哪一个？提出理由。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 第4讲 因数和积的大小关系 【知识清单+新知避坑+预习达标练】 1、‌核心规律‌：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；乘等于1的数，积和原来的数相等；乘小于1的数，积比原来的数小。 2、‌特殊说明‌：必须标注”0除外”，0和任何数相乘结果都为0，不受上述规律影响。 3、‌实用场景‌：可用于不计算直接比较大小、快速验算小数乘法结果是否合理，比如判断”28.6×0.71的结果大于28.6”这类错误结论。 1、同时满足“两个因数均不为0”的前提条件下，积和因数的大小比较规则才完全成立，存在因数为0的特殊场景不能直接套用常规的大小判定逻辑。 2、一个非零数乘大于1的小数时，得到的积一定比这个非零数本身更大，不能仅凭“乘法运算结果一定比原数大”的固有经验盲目判定，忽略小数因数的取值范围。 3、一个非零数乘小于1的正小数时，得到的积一定比这个非零数本身更小，不能随意把小数和整数的乘法规律混同，得出和实际结果完全相反的大小结论。 4、反向核验因数和积的大小关系时，将对应乘法运算的结果计算出来，最终得到的积和原因数的大小关系必须完全匹配对应规则，不能出现逻辑矛盾的情况。 5、判定因数和积的大小关系前，要先确认参与运算的所有因数的正负属性，本单元默认的正小数运算规则不能直接套用到存在负数的运算场景中。 6、标注因数和积的大小比较结果时，要正确使用“>”“<”“=”对应大小关系，避免出现符号写反、漏写连接符号的逻辑错误。 7、处理多个小数连乘的场景时，要逐个比对每一个因数和1的大小关系，逐步推导最终积和初始因数的大小关联，不能直接跳过中间步骤直接下结论，导致推导逻辑出现漏洞。 8、同一道相关题目里的所有因数的取值判定基准必须完全统一，不能中途随意更改因数的有效数位、四舍五入近似值，打乱大小比较的统一基准。 9、解决因数和积的大小关系的实际应用问题时，要先锚定“先看因数和1的大小关系、再判定积的走向”的核心规则，不能直接硬套整数乘法的运算逻辑混淆小数乘法的特殊规律。 10、仅符合“所有因数均为非零正小数”要求的标准场景才能适配本单元的因数和积的大小关系规则，存在因数为0、为负数的特殊场景不能随意套用常规的大小比较逻辑。 一、选择题 1．下面算式中，积小于1的有（    ）个。 ①1.4×1.2  ②0.9×0.8  ③0.6×0.99  ④3.07×1.6  ⑤2.1×0.6 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积比这个数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比这个数小；①②③④据此判断。 小数乘法的计算方法：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。⑤据此判断。 【解答】①1.2＞1，1.4×1.2＞1.4，1.4＞1，所以1.4×1.2＞1； ②0.8＜1，0.9×0.8＜0.9，0.9＜1，所以0.9×0.8＜1； ③0.99＜1，0.6×0.99＜0.6，0.6＜1，所以0.6×0.99＜1； ④1.6＞1，3.07×1.6＞3.07，3.07＞1，所以3.07×1.6＞1； ⑤2.1×0.6＝1.26，1.26＞1。 积小于1的有②③，共2个。 2．乐乐、欢欢和辉辉都判定“2.58×0.32＝8.258”这道题的计算结果是错误的，理由如下图所示。有（    ）个小朋友说对了。 乐乐：积的末尾数字应该是0。 欢欢：积应该是四位小数。 辉辉：0.32＜1，所以积不可能大于2.58。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】小数乘法：按照整数乘法的计算方法计算，乘数一共有几个小数位，积就保留几位小数；两个乘数个位的数字相乘，得到结果的个位数字是几，积的个位就是几；一个数乘小于1的数，积小于它本身。据此即可分析。 【解答】乐乐：8×2＝16，个位是6，则积的末尾数是6，不是0，乐乐小朋友说错了。 欢欢：2＋2＝4，积应该是四位小数，欢欢小朋友说对了。 辉辉：0.32＜1，所以积 不可能大于2.58，辉辉小朋友说对了。 有2个小朋友说对了。 3．已知a×0.99＝b×1.06＝c×0.82（a、b、c都不为0），则a、b、c中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c 【答案】C 【分析】本题考查积的变化规律：当积相等时，一个因数越小，另一个因数越大。已知a×0.99＝b×1.06＝c×0.82，且a、b、c均不为0。比较乘数0.82、0.99、1.06的大小：0.82＜0.99＜1.06。因此，对应的被乘数c最大，a次之，b最小。 【解答】由a×0.99＝b×1.06＝c×0.82，可知积相等。比较乘数：0.82＜0.99＜1.06。根据积相等时，一个因数越小，另一个因数越大，可得c＞a＞b。因此，a、b、c中最大的是c。 故答案为：C 4．判断的积是否正确，下面推理错误的是（    ）。 A．2.6乘一个小数，积一定比2.6小，且两因数末尾相乘得6，所以正确。 B．1.01乘大于1的数，积比1.01大，计算可能正确，但还需要进一步验证。 C．，所以错误。 D．因数中一共有三位小数，而且两因数尾数相乘的积的尾数不为0，积应该是三位小数，所以错误。 【答案】A 【分析】A．根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数，乘大于1的数，积大于原数进行判断。 B．根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数，乘大于1的数，积大于原数进行判断。 C．把1.01看作（1＋0.01），用乘法分配律进行计算正确结果来判断。 D．根据小数乘小数，按整数乘法计算后，数因数的小数个数，有几个小数就从积的末尾数出几位点上小数点，再去掉末尾的0即可。 【解答】A．根据一个数（0除外）乘小于1的数，积才小于原数，小数不一定都小于1，所以题中说2.6乘一个小数，积一定比2.6小错误，无法根据错误方法进行判断，所以推理错误。 B．根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数，乘大于1的数，1.01乘大于1的数，积比1.01大，计算可能正确，但还需要进一步验证。说法正确，所以可以判断出的积是否正确。所以推理正确。 C．把1.01看作（1＋0.01），用乘法分配律进行计算正确，计算正确可以判断出出的积是否正确。所以推理正确。 D．根据小数乘小数，按整数乘法计算后，数因数的小数个数，有几个小数就从积的末尾数出几位点上小数点，再去掉末尾的0即可。因数中一共有三位小数，而且两因数尾数相乘的积的尾数不为0，积应该是三位小数，可以判断出出的积是否正确。所以推理正确。 故答案为：A 5．藏羚羊的奔跑速度大约可达每分钟1.33千米，非洲猎豹的速度大约是藏羚羊的1.33倍。非洲猎豹的速度每分钟大约是（    ）千米。 A．17.7 B．1.77 C．2.77 D．27.7 【答案】B 【分析】根据题意可知，非洲猎豹的速度大约是藏羚羊的1.33倍，用藏羚羊的奔跑速度×1.33，即可求出非洲猎豹的速度，根据四舍五入法求出近似数；据此解答。 【解答】1.33×1.33＝1.7689（千米）≈1.77（千米） 综上可知，非洲猎豹的速度每分钟大约是1.77千米。 故答案为：B 二、填空题 6．已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.85（a、b、c都不为0），则a、b、c三个数相比，（ ）最大，（ ）最小。 【答案】c b 【分析】a、b、c都不为0，可以根据“积一定时，一个乘数越大，另一个乘数越小”的规律，先比较0.99、1.01、0.85的大小，再反向推出a、b、c的大小关系。 【解答】 因此三个数的大小关系正好相反，即，所以c最大，b最小。 7．数字a、b在直线上的位置如下图所示。根据图中信息我们知道（ ）。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】看图可知，a和b均大于0小于1。一个数（0除外）乘一个小于1的数，积比原来的数小。据此填空。 【解答】因为b＜1，所以a×b＜a。 8．从0.73、0.907、1.09、46.7这四个数中任意选择两个数组成乘法算式，积比两个因数都小的算式有（ ）个，积在两个因数之间的算式有（ ）个。 【答案】1 4 【分析】小数乘法计算法则：先按照整数乘法求出积，再点小数点。乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 通过列举将能组成的算式一一列举，并求出积，从而解题。 【解答】0.73×0.907＝0.66211，0.66211＜0.73，0.66211＜0.907 0.73×1.09＝0.7957，0.73＜0.7957＜1.09 0.73×46.7＝34.091，0.73＜34.091＜46.7 0.907×1.09＝0.98863，0.907＜0.98863＜1.09 0.907×46.7＝42.3569，0.907＜42.3569＜46.7 1.09×46.7＝50.903，50.903＞1.09，50.903＞46.7 所以，积比两个因数都小的算式有1个，积在两个因数之间的算式有4个。 9．收藏在河北博物馆的中国汉代青铜器“中华第一宫灯”长信宫灯高0.48米，收藏在天津博物馆的西周青铜器太保鼎高度是长信宫灯的1.1倍，太保鼎高（ ）米。 【答案】0.528 【分析】根据“求一个数的几倍是多少，用乘法计算”，用长信宫灯的高度乘倍数1.1，即可求出太保鼎的高度。 【解答】0.48×1.1＝0.528（米） 10．在下面的括号里填上“＞”或“＜”。 9.9×6.9（ ）70   0.97×23.8（ ）24 57.5×6.2（ ）420   26.4×1.08（ ）26.4 【答案】＜ ＜ ＜ ＞ 【分析】（1）先估算9.9×6.9，将两个数估成10和7，借助估算乘积70判断大小。 （2）先根据“一个不为0的数乘小于1（0除外）的数，积比原数小”分析0.97×23.8，再和24对比。 （3）估算57.5为60，求出60乘6.2的得数，再和420比较。 （4）一个不为0的数乘大于1的数，积比原数大。据此解答。 【解答】（1）把9.9估成10，6.9估成7，10×7＝70，两个因数都估大，所以9.9×6.9＜70； （2）0.97＜1，0.97×23.8＜23.8，23.8＜24，所以0.97×23.8＜24； （3）把57.5估成60，60×6.2＝372，372＜420，所以57.5×6.2＜420； （4）1.08＞1，26.4×1.08＞26.4。 三、解答题 11．济南地铁8号线全长约25.3千米，地铁4号线的长度比8号线的1.5倍多2.35千米。济南地铁4号线全长约多少千米？ 【答案】40.3千米 【分析】求倍数用乘法，先用地铁8号线全长乘1.5，求出地铁8号线长度的1.5倍是多少，再加上多的2.35千米，据此解答。， 【解答】25.3×1.5＋2.35 ＝37.95＋2.35 ＝40.3（千米） 答：济南地铁4号线全长约40.3千米。 12．小维计算”0.78×6.1”，想请同学们帮他批改他算对了吗？ 0.78×6.1＝47.58 【答案】见详解 【分析】根据小数乘法的计算法则，先按照整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，由此可知，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。也可以通过小数乘法的估算方法及竖式计算进行判断。 【解答】 所以小维的计算是错误的。 13．老师在黑板上写了一道经典算式12.4×0.75，并提供了四个选择答案，要求同学们不列竖式的情况下，选出正确结果。 12.4×0.75＝（    ） A．9.3        B．0.93        C．93        D．930 （1）如果你来选，你首先会排除哪个选项？提出理由。 （2）你认为正确的结果最有可能是哪一个？提出理由。 【答案】（1）CD；理由见详解 （2）A；理由见详解 【分析】（1）根据小数乘法的规律，一个数（0 除外）乘小于 1大于0 的数，积小于这个数。因为 0.75 小于 1，所以积一定小于 12.4，据此排除大于 12.4 的选项。 （2）对12.4和0.75进行估算，确定正确的结果。 【解答】（1）因为 0.75＜1，根据一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于这个数，可知 12.4×0.75＜12.4。 选项 C 的结果是93，93＞12.4；选项 D 的结果是930，930＞12.4。不符合。 答：首先会排除C和D。 （2）把12.4看作12，把0.75看作0.8，计算12×0.8＝9.6。 因为12.4＞12，0.75＜0.8，所以12.4×0.75的积接近9.6，在剩下的；两个选项中，9.3最接近9.6，所以正确结果最有可能是9.3。 答：正确结果最有可能是A。 学科网（北京）股份有限公司 $