第09讲 数轴、相反数、绝对值（暑假预习讲义，6题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第09讲 数轴、相反数、绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3化简多重符号 题型4 绝对值的几何意义 题型5求一个数的绝对值 题型6 绝对值非负性 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 数轴 数轴、原点、正方向、单位长度、有理数与数轴上点一一对应、左边数小于右边数 2. 相反数 相反数、互为相反数、符号不同、绝对值相等、0的相反数是0、多重符号化简 3. 绝对值 绝对值、距离、非负数、正数绝对值本身、负数绝对值相反数、0绝对值为0、绝对值方程、 基础目标 1. 掌握数轴三要素，能规范画数轴，会在数轴上标出有理数，能读出数轴上点代表的数。 2. 理解相反数定义，会求任意有理数的相反数，熟练化简多重正负号。 3. 理解绝对值几何意义（点到原点距离）与代数意义，能快速求任意数的绝对值。 提升目标 1. 结合数轴，根据绝对值、相反数判断点的位置与数的正负。 2. 掌握绝对值非负性，会解简单绝对值求值、化简题型。 1. 数形结合思想：用数轴直观解决相反数、绝对值综合问题。 2. 分类讨论思想：去掉绝对值符号时分正数、0、负数三种情况讨论。 3. 能解决含参数、绝对值相等、绝对值和为0的综合计算题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 3.数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 特别解读 有理数与数轴上的点的对应关系： 1. 正有理数可以用数轴上原点右边的点表示. 2. 负有理数可以用数轴上原点左边的点表示. 3. 0用原点表示. 【易错提醒】 易错1：画数轴漏三要素之一（无原点/无箭头/单位长度不统一） 易错2：误认为数轴上只有有理数，漏掉小数、分数标注 知识点02 相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 【易错提醒】 易错1：求负数相反数漏变号，如误写-5的相反数是-5 易错2：多重符号化简混乱，分不清负号个数 知识点03 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 2.绝对值的性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【易错提醒】 易错1：负数去绝对值不变号，如|-6|=-6 易错2：几何意义遗忘，绝对值代表距离，结果一定≥0（非负性） 易错3：化简带字母绝对值不分正负直接去掉符号 易错4：多个绝对值相加等于0，不会用非负性 题型1数轴的三要素及其画法 【例1】．（24-25六年级上·上海虹口·随堂练习）下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【技巧归纳】左负右正，单位长度逐个数。 【变式1-1】．（23-24六年级上·上海浦东·阶段检测）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式1-2】．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解． 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意； B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意； D．所画数轴没有正方向，不合题意． 【变式1-3】．四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的判断，根据一条带有方向，坐标原点，单位长度的直线叫数轴逐个判断即可得到答案； 【详解】A选项方向与数不对应，不符合题意， B选项图形正确，符合题意， C选项图形无原点不符合题意， D选项图形无单位长度不符合题意， 故选：B． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，用数轴上的点表示有理数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2． 故选：D． 【例3】．（23-24六年级上·上海金山·期末）数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，熟练掌握数轴的知识是解答本题的关键．先求出单位长度，根据厘米表示个单位，求出这个数的绝对值，再根据原点左侧表示的是负数，即可求出这个有理数． 【详解】解：数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是， 数轴的单位长度是厘米， 厘米表示个单位， ， 数轴上原点左侧的数为负数， 该有理数为， 故答案为：． 【变式2-1】．如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数的应用，根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进而确定原点的位置，即可得出点表示的数． 【详解】解：由题意，原点是的中点， ∴点表示的数为； 故选B． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图写出数轴上点、点所表示的分数：：__________，B：__________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点A和点B的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的是，点B表示的是， 故答案为：；． 【变式2-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【答案】 ，， 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】观察数轴，确定单位长度被平均分成的份数，从而得出每个小格代表的分数值，再根据各点相对于整数点的位置读出数值． 【详解】解：由数轴可知，相邻两个整数（如0和1、1和2之间）被平均分成了份，所以每一份表示， 点在原点右侧第个刻度处，所以点表示的数为， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为 ， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为． 题型3化简多重符号 【例4】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）__________． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例5】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简：______． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，一个数的相反数的相反数是它本身，据此化简即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故答案为： 【技巧归纳】数负号个数，奇数负、偶数正。 【变式3-1】．（24-25六年级上·上海·暑假作业）（1）________；                 （2）________； （3）________；             （4）________． 【答案】 8 6 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-2】．若，化简，再确定它的符号． 【答案】，符号为正 【知识点】化简多重符号 【分析】直接利用去括号法则进而化简得出答案． 【详解】解：，因为，则，即它的符号为正． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握去括号法则是解题关键． 【变式3-3】．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______； （5）_______； （6）_______． 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是_______； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是_______； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；（6）； ①5；②5 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，根据化简多重符号的运算法则计算即可得解，根据题意得出规律是解此题的关键． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是5； 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 题型4绝对值的几何意义 【例6】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：∵位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点到原点的距离先减小后增大， ∴根据绝对值的几何意义可得，这个点所对应的数的绝对值先减小后增大， 故选：D． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质． 根据绝对值的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：绝对值不大于3的整数包括，共7个，∴ A错误； B：若，则，a可以是0或负数，不一定是负数，∴ B错误； C：任意有理数的绝对值都是非负数，∴ C正确； D：若，则，但反之若，则，∴ D错误； 故选：C． 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是________． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键．根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解． 【详解】解：在数轴上的点到原点距离等于， 该点的绝对值为， 该点表示的数是或， 故答案为：或． 【变式4-3】．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 题型5求一个数的绝对值 【例8】．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 【例9】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值．根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【变式5-1】．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：_________________ ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个数的绝对值，当a是负数时，，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-3】．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 题型6绝对值非负性 【例10】．（22-23六年级上·上海·期末）已知，则__________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 故答案为． 【例11】．已知，求x和y的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性质．即当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 【技巧归纳】解题模板：两个绝对值相加为0→各自等于0，解出未知数再计算。 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 【变式6-3】．已知，求y的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值的性质可得，进而可得，根据非负数之和为，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 又，， ，， ，， ． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． 2．足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数的含义，绝对值的意义．根据正负数的意义，绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴最接近标准质量的足球是． 故选：D． 3．小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 4．下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【答案】D 【分析】此题考查了绝对值的性质，相反数的定义，数轴的定义．根据相反数的定义，绝对值的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，故本选项正确，不符合题意； B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意； D、一个负数的相反数正数，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 5．下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴，根据绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴等知识逐一分析即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值越大的数不一定大，如，但，故错误，不符合题意； 非负数是零和正数的统称，故正确，符合题意； 表示向东，则应表示向西，而非向南，故错误，不符合题意； 数轴上与之间的有理数有无数个，故错误，不符合题意； ∴只有正确，正确的个数为个， 故选：． 6．在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和数轴，绝对值的意义和相反数．根据有理数与数轴的关系，可判断（1）、（2），根据绝对值的意义，可判断（3），根据相反数的意义，可判断（4）． 【详解】解：（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，故（1）正确； （2）数轴上的每一个点不一定表示有理数，例如，故（2）错误； （3）绝对值是数轴上的点到原点的距离，任何有理数的绝对值都不可能是负数，故（3）正确； （4）每个有理数都有相反数，故（4）正确； 综上，正确的有（1）（3）（4），共3个． 故选：C． 二、填空题 7．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 8．的相反数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 9．在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 10．如果，那么_____． 【答案】a 【分析】本题考查了化简多重符号，求一个数的绝对值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据负数的运算规则和绝对值的定义，逐步简化表达式． 【详解】解：因为，所以， 则． 故答案为：． 11．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 12．如果，且，那么_________． 【答案】3 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解． 【详解】解：由，得或， 解得或， 因为， 所以． 故答案为：3． 13．如果一个数的绝对值等于，那么这个数是______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0是解题的关键． 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：∵的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数， ∴绝对值等于的数是或． 故答案为：． 三、解答题 14．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【详解】略 15．如图，写出数轴上A、B、C各点分别表示的有理数． 点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及分数的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据数轴的特征，利用分数的意义，即可得出点，点，点，表示的数． 【详解】解：根据题意点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：，，． 16．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 17．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 【答案】点B，C所表示的数是和5或和11 【分析】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是或， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是或， 由上可得，点B，C所表示的数是和5或和11． 18．（1）写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：； （2）说明上面各数及其相反数对应的点在数轴上的位置特点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数； （1）根据相反数的定义求出对应数值并在数轴上表示出来即可． （2）根据原数与其相反数对应的点到原点的距离相等即可求解． 【详解】解：（1）的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是4． 如图所示． （2）原数与其相反数对应的点到原点的距离相等． 19．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，掌握相反数表示相反意义的量是解答本题的关键． 20．数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 【答案】1或5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义， 根据数轴上两点之间的距离可得出点表示的数为或，再根据相反数的定义可得出点所表示的数为1或5． 【详解】解：因为点到点的距离是2，点表示， 所以点表示的数为或． 因为B，C两点表示的数互为相反数， 所以点所表示的数为1或5． 21．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 22．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或； (2)，，，0,1； (3)，7； (4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为： 或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1 故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低 即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 数轴、相反数、绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1数轴的三要素及其画法 题型2 用数轴上的点表示有理数 题型3化简多重符号 题型4 绝对值的几何意义 题型5求一个数的绝对值 题型6 绝对值非负性 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 数轴 数轴、原点、正方向、单位长度、有理数与数轴上点一一对应、左边数小于右边数 2. 相反数 相反数、互为相反数、符号不同、绝对值相等、0的相反数是0、多重符号化简 3. 绝对值 绝对值、距离、非负数、正数绝对值本身、负数绝对值相反数、0绝对值为0、绝对值方程、 基础目标 1. 掌握数轴三要素，能规范画数轴，会在数轴上标出有理数，能读出数轴上点代表的数。 2. 理解相反数定义，会求任意有理数的相反数，熟练化简多重正负号。 3. 理解绝对值几何意义（点到原点距离）与代数意义，能快速求任意数的绝对值。 提升目标 1. 结合数轴，根据绝对值、相反数判断点的位置与数的正负。 2. 掌握绝对值非负性，会解简单绝对值求值、化简题型。 1. 数形结合思想：用数轴直观解决相反数、绝对值综合问题。 2. 分类讨论思想：去掉绝对值符号时分正数、0、负数三种情况讨论。 3. 能解决含参数、绝对值相等、绝对值和为0的综合计算题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 3.数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 特别解读 有理数与数轴上的点的对应关系： 1. 正有理数可以用数轴上原点右边的点表示. 2. 负有理数可以用数轴上原点左边的点表示. 3. 0用原点表示. 【易错提醒】 易错1：画数轴漏三要素之一（无原点/无箭头/单位长度不统一） 易错2：误认为数轴上只有有理数，漏掉小数、分数标注 知识点02 相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 【易错提醒】 易错1：求负数相反数漏变号，如误写-5的相反数是-5 易错2：多重符号化简混乱，分不清负号个数 知识点03 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 2.绝对值的性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【易错提醒】 易错1：负数去绝对值不变号，如|-6|=-6 易错2：几何意义遗忘，绝对值代表距离，结果一定≥0（非负性） 易错3：化简带字母绝对值不分正负直接去掉符号 易错4：多个绝对值相加等于0，不会用非负性 题型1数轴的三要素及其画法 【例1】．（24-25六年级上·上海虹口·随堂练习）下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】左负右正，单位长度逐个数。 【变式1-1】．（23-24六年级上·上海浦东·阶段检测）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A．B． C． D． 题型2 用数轴上的点表示有理数 【例2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】．（23-24六年级上·上海金山·期末）数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是_____． 【变式2-1】．如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图写出数轴上点、点所表示的分数：：__________，B：__________． 【变式2-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 题型3化简多重符号 【例4】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）__________． 【例5】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简：______． 【技巧归纳】数负号个数，奇数负、偶数正。 【变式3-1】．（24-25六年级上·上海·暑假作业）（1）________；                 （2）________； （3）________；             （4）________． 【变式3-2】．若，化简，再确定它的符号． 【变式3-3】．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______； （5）_______； （6）_______． 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是_______； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是_______； 由①②你能总结出什么规律？ 题型4绝对值的几何意义 【例6】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是________． 【变式4-3】．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 题型5求一个数的绝对值 【例8】．（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【例9】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）______． 【变式5-1】．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：_________________ ． 【变式5-3】．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 题型6绝对值非负性 【例10】．（22-23六年级上·上海·期末）已知，则__________． 【例11】．已知，求x和y的值． 【技巧归纳】解题模板：两个绝对值相加为0→各自等于0，解出未知数再计算。 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【变式6-3】．已知，求y的值． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 2．足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 3．小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 4．下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 5．下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 6．在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 8．的相反数是___________． 9．在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 10．如果，那么_____． 11．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 12．如果，且，那么_________． 13．如果一个数的绝对值等于，那么这个数是______． 三、解答题 14．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 15．如图，写出数轴上A、B、C各点分别表示的有理数． 点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ． 16．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 17．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 18．（1）写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：； （2）说明上面各数及其相反数对应的点在数轴上的位置特点． 19．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 20．数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 21．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 22．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $