第04讲 有理数的加法与减法（5知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新六年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第04讲 有理数的加法与减法 （5知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点02：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点03：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点04：有理数的加减混合运算 运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. 运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 知识点05：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 【题型1 有理数加法运算】 【例1-1】计算：______，______，______，______． 【答案】5；2.7；；． 【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加；一个数同零相加：仍得这个数． 【总结】考察有理数的加法法则的运用． 【例1-2】计算：______，______，______． 【答案】0；0；0． 【解析】异号两数相加：绝对值相等时和为零． 【总结】考察有理数的加法法则的运用． 【例1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）82；（2）；（3）；（4）． 【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加 【总结】考察有理数的加法法则的运用，注意分数和小数运算时先化成同类型的再计算． 【例1-4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）0.8；（4）． 【解析】异号两数相加：绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其 和的符号取绝对值较大的加数的符号． 【总结】考察有理数的加法法则． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法的运算法则， 根据有理数加法的运算法则即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，根据绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·期末）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的大小比较及加法运算，新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键．根据新定义求解即可． 【详解】解：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数， ， 故答案为：8． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【题型2有理数加法运算律】 【例2-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据加法法则和运算律即可求解，熟练掌握有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【例2-2】计算：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】（1）； （2）． 【总结】考察有理数的加法法则和运算律的运用． 【例2-3】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）． 【解析】（1）； （2）． 【总结】考察有理数的加法法则和运算律的运用． 【变式2-1】利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式2-3】计算：． 【答案】0 【知识点】有理数加法运算律、有理数加减中的简便运算 【分析】现将小数形式化为分数形式，再用加法的交换律及结合律，结合有理数加（减）法则，进行简便运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，加法运算律，会熟练运用运算律进行简便运算是解题的关键． 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【题型3 有理数的减法运算】 【例3-1】 ______，______． 【答案】0；． 【解析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：． 【总结】考察有理数的减法的运用． 【例3-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：． 【总结】考察有理数的减法的运用． 【例3-3】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2） ． 【总结】考察有理数的减法的运用，注意去括号时，括号前面是负号要变号． 【例3-4】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）8；（2）0；（3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【总结】考察有理数的减法的运用，注意去括号时，括号前面是负号要变号． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号，再通分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-4】（23-24六年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用减法法则变形后，相加即可得到结果． 【详解】原式 ． 【题型4 有理数的加减混合运算】 【例4】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）8；（2）；（3）． 【解析】（1） ； （2）原式 ； （3） 原式 ． 【总结】考察有理数的加减法的混合运算，注意相关法则的准确运用． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】2 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的加减运算进行求解即可 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】根据有理数的加减混合计算解答即可． 本题考查了有理数加减的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型5 有理数加减中的简便运算】 【例5-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 【例5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】8 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 【例5-3】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式 ； （2）原式． 【总结】考察有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】0 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数加减运算法则即可解答； 【详解】解：原式 ． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握有理数加减的简便运算是解题的关键；根据有理数的加减简便运算可进行求解 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．在加减混合运算中，通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【题型6 有理数加减混合运算的应用】 【例6-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）一个数与的和减去等于，求这个数． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 根据题意得出这个数为再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：这个数为 ． 【例6-2】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，解题的关键是理解题意．根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： 这个数是． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【答案】(1)44000元 (2)第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减的混合运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）计算七笔业务的代数和，再加上备用金40000元即可求解； （2）分别计算出每笔业务办理后的代数和，再结合题意即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，（元）． 答：若他早上领取备用金40000元，那么到时还有44000元． （2）解：第一笔业务办理后：（元）， 第二笔业务办理后：（元）， 第三笔业务办理后：（元）， 第四笔业务办理后：（元）， 第五笔业务办理后：（元）， 第六笔业务办理后：（元）， 第七笔业务办理后：（元）， 小思在第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 【答案】(1)见详解 (2)黄雨婷这六轮的总成绩为环，盛李豪这六轮的总成绩为63环 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确地列出式子进行解题． （1）由正负数的定义，大于的记为正数，小于的记为负数，然后填入数据即可；（2）先求出正负数的和，然后加上基数，即可得到答案． 【详解】（1）解：填写表中空格如图． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 0 （2）解：根据题意，黄雨婷这六轮的总成绩为：（环）． 盛李豪这六轮的总成绩为：（环）． 【题型7 数轴上两点间距离】 【例7-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）数轴上到点A距离为2个单位的点是，则点A所表示的数是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，分点A在的左边和点A在的右边，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当点A在的左边时，则点A表示的数为， 当点A在的右边时，则点A表示的数为， ∴点A表示的数为1或， 故选：D． 【例7-2】（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减法计算，点C在点A左边时用点A表示的数减去点A和点C的距离，点C在点A右边时用点A表示的数加上点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】解：当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 【例7-3】（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】这道题主要考查用数轴上的点表示有理数，有理数的加法和减法，根据有理数确定位置．根据题意分析出点表示的数是0.5，然后根据到点B的距离大于3确定点的位置． 【详解】解：点到点的距离为1，点A表示数1.5 点表示的数为或 又点到点的距离大于3 点表示的数为0.5 即点位于点O与点A之间． 故选：C． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【答案】1或 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上点的平移，关键是掌握数轴上点的平移对应的数的变化规律左加右减． 先求出表示的数，再分类讨论，根据平移法则左加右减，即可求出表示的数． 【详解】解：∵到原点距离为3， ∴表示3或， 当表示3时， 把向左平移2个单位得， ∴此时，表示1， 当表示时， 把向左平移2个单位得， 此时，表示， 综上所述：表示1或． 故答案为：1或． 【变式7-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】有理数减法的实际应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 【变式7-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法运算等知识点，深刻理解绝对值的意义并熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 先根据题意求出和的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 或， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，，，则 ． 【答案】； 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值及有理数的加法，根据化简代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·期末）到数轴上表示2的点距离为5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】或7 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及运算是解题的关键；由题意可分当这个有理数在2的左边和右边进行求解即可 【详解】解：由题意得：或； 所以到表示2的数为5个单位长度的点所表示的数为或7； 故答案为或7． 7．（24-25六年级上·上海·期末）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的减法，根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：22． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么的为 ． 【答案】2 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的加减运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意先求出a、b、c的值，再根据有理数的加减运算法则即可解答． 【详解】解：a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数， ，，， ． 故答案为：2． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）定义：表示不超过有理数x的最大整数，例如，，，那么 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加减混合运算，根据题意可得，计算即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴的意义和数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键； 分在的左侧时，和在的右侧时，两种情况，用分别减去或加上即可得到数轴上与A点相距个单位长度的点表示的数． 【详解】解：当点在的左侧时，则与点A相距个单位的点所表示的数是， 当点在的右侧时，则与点A相距3个单位的点所表示的数是， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减运算法则．根据有理数的加、减运算法则计算即可． 【详解】解： 13．（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 【答案】(1)10月3日的人数为6万人； (2)10月6日的游客人数最多，达到了为万人 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用： （1）用9月30日的人数加上前三天人数的变化情况即可得到答案； （2）分别求出这七天的人数，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：10月3日的人数为6万人； （2）解：10月1日的游客人数为万人， 10月2日的游客人数为万人， 10月3日的游客人数为万人，     10月4日的游客人数为万人， 10月5日的游客人数为万人， 10月6日的游客人数为万人， 10月7日的游客人数为万人， ∴10月6日的游客人数最多，达到了为万人． 14．（24-25六年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）阅读理解 ；；． (1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式； ________________________；______________________． (2)利用以上所得的规律进行计算：； 【答案】(1)，；， (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了分数的拆分，有理数的加减运算，掌握分数拆分规律是解题的关键． （1）按照题目提供的方法完成即可； （2）按照题目的方法拆分后，再利用有理数加减法则计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，；，； （2）解： ． 16．（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了分数的加法及乘法，首先要理解这两种不同的计算方法，理解了计算方法问题不难解决． （1）当输入的分数大于时，求这个分数与的和，用加法计算； （2）先理解本题的计算方法，当输入的分数小于时，求出这个分数与的差，用减法计算． 【详解】（1）解：∵， ∴输出结果为； （2）解：∵， ∴输出结果为：． 17．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 【答案】分析问题：；解决问题：12；拓展问题：或 【知识点】绝对值方程、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： 分析问题：按照新定义的法则，进行作答即可； 解决问题：按照新定义的法则，进行计算即可； 拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：分析问题：根据题意， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：∵， ， 故答案为：12； 拓展问题：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加法与减法 （5知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点02：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点03：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点04：有理数的加减混合运算 运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. 运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 知识点05：数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 【题型1 有理数加法运算】 【例1-1】计算：______，______，______，______． 【例1-2】计算：______，______，______． 【例1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例1-4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·期末）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【题型2有理数加法运算律】 【例2-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【例2-2】计算：（1）；（2）． 【例2-3】计算： （1）； （2）． 【变式2-1】利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【变式2-2】计算：． 【变式2-3】计算：． 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【题型3 有理数的减法运算】 【例3-1】 ______，______． 【例3-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例3-3】计算： （1）； （2）． 【例3-4】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： ． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式3-4】（23-24六年级上·上海闵行·期末）计算： 【题型4 有理数的加减混合运算】 【例4】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式4-3】（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【题型5 有理数加减中的简便运算】 【例5-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【例5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【例5-3】计算： （1）； （2）． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【变式5-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【题型6 有理数加减混合运算的应用】 【例6-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）一个数与的和减去等于，求这个数． 【例6-2】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【变式6-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 【题型7 数轴上两点间距离】 【例7-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）数轴上到点A距离为2个单位的点是，则点A所表示的数是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【例7-2】（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【例7-3】（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【变式7-2】（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【变式7-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【变式7-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，，，则 ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）到数轴上表示2的点距离为5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 7．（24-25六年级上·上海·期末）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么的为 ． 9．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）定义：表示不超过有理数x的最大整数，例如，，，那么 ． 10．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 三、解答题 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 13．（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 14．（24-25六年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）阅读理解 ；；． (1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式； ________________________；______________________． (2)利用以上所得的规律进行计算：； 16．（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 17．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$