第三章 代数式（暑假单元自测）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学第三章代数式单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合密码学、校园实践等真实情境，适配暑假复习检测，全面覆盖代数式核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|代数式求值、新运算、规律探究|第6题新运算培养符号意识，第8题图案规律发展抽象能力| |填空|6/18|倒数相反数、杨辉三角、绝对值|15题杨辉三角渗透数学文化，14题整体代入体现推理意识| |解答|8/72|整式运算、实际应用、综合探究|22题校园地块面积计算强化模型意识，24题折纸探究发展创新思维|

第三章 代数式 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 3．按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 7．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 8．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 9．已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则代数式的值为______； 12．若a和b互为倒数，m和n互为相反数，则代数式______． 13．若，，则的值为____． 14．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 15．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 16．三个有理数，，之积是负数，其和是正数，当时，则________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．当，时，求多项式的值． 18．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 19．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 20．已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 21．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 22．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 23．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 24．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入可得， ，A选项符合题意． 2．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【详解】解：∵ ∴移项得 ∴． 3．按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的值是1， 故选：D． 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ，， ，， ． 5．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 展开化简所求代数式： ， 把代入得： 原式， ∴代数式的值为． 6．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． 7．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：把，代入， 得：， ∴， 把，代入， 得： ， 整理得， 把代入， 得：， 代入， 得：． 8．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 9．已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴， ， ， ， ， 观察可得：当为偶数时，， ∴． 10．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则代数式的值为______； 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 12．若a和b互为倒数，m和n互为相反数，则代数式______． 【答案】 【详解】解：∵a和b互为倒数，和互为相反数， ∴，， ∴． 13．若，，则的值为____． 【答案】0 【详解】解： ． 14．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵当时，代数式值为2026， ∴，即， 当时，． 15．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 16．三个有理数，，之积是负数，其和是正数，当时，则________． 【答案】 【详解】解：三个有理数、、之积是负数，其和是正数， 、、中有1个负数． ． 将代入得：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．当，时，求多项式的值． 【答案】 【详解】解：∵， 则 ． 18．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． 19．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 20．已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 【详解】（1）解：令，代入， 可得，，即； （2）解：令，代入， 可得，即， 又，则：， 因此：. 21．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 【详解】（1）解：将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．如下表： 根据：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为. 密文“26 2 19 7”对应的序号分别是“13 1 20 8”，这组序号对应的英文字母是“m a t h”. （2）当数据中明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当数据中明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为，按照此规定，将明码“”译成密码为（　　 ）. 明码h对应数字8，是偶数，密码为数字对应的字母r， 明码o对应数字15，是奇数，密码为数字对应的字母i， 明码p对应数字16，是偶数，密码为数字对应的字母v， 明码e对应数字5，是奇数，密码为数字对应的字母d， 所以将明码“”译成密码为“”. 22．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 23．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 24．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $