第08讲 代数式的值（暑假预习培优讲义，4题型技巧2重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第08讲 代数式的值（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 代数式的值定义 2 知识点02 求代数式的值 2 剖题型·讲技巧 题型1 基础直接代入求值（课本必考） 3 题型2 整体代入求值（培优核心题型） 4 题型3 非负性综合求值（期中期末压轴小题） 5 题型4 相反数、倒数、整数综合求值（培优易混） 6 释疑惑·重难拓展 题型1 程序框图/流程图求值（新考法） 7 题型2 规律探究类求值（培优拓展压轴） 8 知中考·真题探源 9 练好题·提分培优 11 课标要点 基础学业要求 1. 借助现实情境理解代数式，深化用字母表示数的意义，建立符号意识。 2. 能分析实际问题数量关系、列出代数式；会将具体数值代入代数式准确计算求值。 3. 理解常见几何、行程公式的代数表达，能用代数式求值解决简单实际建模问题。 培优高阶要求 1. 体会一般与特殊辩证思想：列代数式是从特殊到一般，代入求值是从一般到特殊。 2. 掌握整体代入求值法，不单独求字母，直接整体代换，简化运算。 3. 结合绝对值、平方非负性、相反数、倒数综合求值，提升代数推理能力。 4. 能根据代数式值的变化分析变量规律，为后续函数学习铺垫。 知识点01 代数式的值定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算得到的结果，叫做代数式的值。 关键点：字母取不同数值，代数式的值通常不同；字母取值确定，代数式值唯一确定。 实际意义：代数式的值可解释现实场景中的数量结果（总价、面积、人数等）。 练习 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 求代数式的值 一、求代数式的值标准四步（必考书写规范） 1.写条件：当 时； 2. 抄原式：完整抄写代数式； 3. 代入：数字替换对应字母，负数、分数、乘方必须加括号；省略乘号补“×”； 4. 计算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 二、 代入三大易错点（培优避坑） 1. 字母为负数/分数且做乘方运算，不加括号直接算会符号出错。例：，求 ，必须写成 ，不能写 。 2. 代数式省略乘号，代入数字后必须补乘号。例：，，代入得 ，不能写成 。 3. 多重符号、分数运算漏括号，运算顺序混乱。 三、两类求值核心方法 方法1：直接代入法（基础） 已知每个字母单独取值，一步替换计算；复杂整式可先化简，再代入（简化计算量）。 方法2：整体代入法（培优核心） 不单独求出字母，把所求代数式变形为含已知整体的形式，整体替换。 例：已知 ，求 ，变形 ，整体代入 。 四、常见隐含条件（培优高频） 1. 相反数： 互为相反数 ； 2. 倒数： 互为倒数 ； 3. 绝对值、平方非负：，，若 ，则 ； 4. 最小正整数，最大负整数，绝对值最小的数。 五、实际应用常用公式 1. 几何：长方形周长 、面积 ；三角形面积 ；圆面积 ； 2. 行程：路程 ； 3. 经济：总价=单价×数量。 练习 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 题型1 基础直接代入求值（课本必考） 方法技巧 严格遵守四步书写，负数、分数乘方强制加括号，先化简再计算减少失误。 【典例1】当 时，求 的值 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知 与 互为相反数，求 的值． 【变式1-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，且，求的值． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．若，求的值． 题型2 整体代入求值（培优核心题型） 方法技巧 1. 倍数整体：所求式子是已知整体的倍数，提取系数。已知 ，求 ； 2. 凑配整体：拆项、变号构造已知整体。已知 ，求 。 【典例2-1】（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【典例2-2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 题型4 非负性综合求值（期中期末压轴小题） 方法技巧 绝对值+平方和为0 每一项分别等于0，解出字母再代入。 【典例4-1】若，则=__________． 【典例4-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，求的值． 【典例4-3】若，求的值． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值是________． 【变式4-2】（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 【变式4-3】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 题型5 相反数、倒数、整数综合求值（培优易混） 方法技巧 先翻译文字条件为代数式：相反数和为0、倒数积为1，再整体代入。 【典例5-1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【典例5-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是4，求的值． 【变式5-1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，求的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知互为相反数且不为互为倒数，是绝对值为2的负有理数，求的值． 【变式5-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 题型1 程序框图/流程图求值（新考法） 【典例1-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例1-3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是_____． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 题型2 规律探究类求值（培优拓展压轴） 【典例2-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 则 值为（     ） A．i B． C． D．1 【典例2-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【变式2-1】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【变式2-2】（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 【变式2-3】找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 4．（2025·四川·中考真题）若，则______． 5．（2026·四川内江·中考真题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 6．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 7．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为_______． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 9．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放_______块小正方体． 一、单选题 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 5．（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则代数式的值为________． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 7．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 8．如图想一想，可以把 这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 9．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 三、解答题 10．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 12．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 13．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 14．（23-24七年级下·山东聊城·期中）在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 15．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 代数式的值（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 代数式的值定义 2 知识点02 求代数式的值 2 剖题型·讲技巧 题型1 基础直接代入求值（课本必考） 3 题型2 整体代入求值（培优核心题型） 4 题型3 非负性综合求值（期中期末压轴小题） 6 题型4 相反数、倒数、整数综合求值（培优易混） 8 释疑惑·重难拓展 题型1 程序框图/流程图求值（新考法） 11 题型2 规律探究类求值（培优拓展压轴） 14 知中考·真题探源 17 练好题·提分培优 22 课标要点 基础学业要求 1. 借助现实情境理解代数式，深化用字母表示数的意义，建立符号意识。 2. 能分析实际问题数量关系、列出代数式；会将具体数值代入代数式准确计算求值。 3. 理解常见几何、行程公式的代数表达，能用代数式求值解决简单实际建模问题。 培优高阶要求 1. 体会一般与特殊辩证思想：列代数式是从特殊到一般，代入求值是从一般到特殊。 2. 掌握整体代入求值法，不单独求字母，直接整体代换，简化运算。 3. 结合绝对值、平方非负性、相反数、倒数综合求值，提升代数推理能力。 4. 能根据代数式值的变化分析变量规律，为后续函数学习铺垫。 知识点01 代数式的值定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算得到的结果，叫做代数式的值。 关键点：字母取不同数值，代数式的值通常不同；字母取值确定，代数式值唯一确定。 实际意义：代数式的值可解释现实场景中的数量结果（总价、面积、人数等）。 练习 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，． 知识点02 求代数式的值 一、求代数式的值标准四步（必考书写规范） 1.写条件：当 时； 2. 抄原式：完整抄写代数式； 3. 代入：数字替换对应字母，负数、分数、乘方必须加括号；省略乘号补“×”； 4. 计算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 二、 代入三大易错点（培优避坑） 1. 字母为负数/分数且做乘方运算，不加括号直接算会符号出错。例：，求 ，必须写成 ，不能写 。 2. 代数式省略乘号，代入数字后必须补乘号。例：，，代入得 ，不能写成 。 3. 多重符号、分数运算漏括号，运算顺序混乱。 三、两类求值核心方法 方法1：直接代入法（基础） 已知每个字母单独取值，一步替换计算；复杂整式可先化简，再代入（简化计算量）。 方法2：整体代入法（培优核心） 不单独求出字母，把所求代数式变形为含已知整体的形式，整体替换。 例：已知 ，求 ，变形 ，整体代入 。 四、常见隐含条件（培优高频） 1. 相反数： 互为相反数 ； 2. 倒数： 互为倒数 ； 3. 绝对值、平方非负：，，若 ，则 ； 4. 最小正整数，最大负整数，绝对值最小的数。 五、实际应用常用公式 1. 几何：长方形周长 、面积 ；三角形面积 ；圆面积 ； 2. 行程：路程 ； 3. 经济：总价=单价×数量。 练习 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 题型1 基础直接代入求值（课本必考） 方法技巧 严格遵守四步书写，负数、分数乘方强制加括号，先化简再计算减少失误。 【典例1】当 时，求 的值 解：当 时 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知 与 互为相反数，求 的值． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， 原式． 【变式1-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】3或9 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴或． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．若，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 题型2 整体代入求值（培优核心题型） 方法技巧 1. 倍数整体：所求式子是已知整体的倍数，提取系数。已知 ，求 ； 2. 凑配整体：拆项、变号构造已知整体。已知 ，求 。 【典例2-1】（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【典例2-2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 题型4 非负性综合求值（期中期末压轴小题） 方法技巧 绝对值+平方和为0 每一项分别等于0，解出字母再代入。 【典例4-1】若，则=__________． 【答案】 【详解】解：∵，， 且 ， ∴，， 解得 ，， 将，代入得：. 【典例4-2】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，求的值． 【答案】1 【详解】解：，且，， ，， ，， ，， ． 【典例4-3】若，求的值． 【答案】1 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 【答案】9 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3， ∴， ∴． 【变式4-3】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， 题型5 相反数、倒数、整数综合求值（培优易混） 方法技巧 先翻译文字条件为代数式：相反数和为0、倒数积为1，再整体代入。 【典例5-1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【答案】或 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，； 当时，； 综上，或． 【典例5-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是4，求的值． 【答案】14 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是4， ∴，，， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为14． 【变式5-1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，求的值． 【答案】或 【详解】解：由题意得，，，， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为或． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知互为相反数且不为互为倒数，是绝对值为2的负有理数，求的值． 【答案】 【详解】解：∵互为相反数且不为，互为倒数，是绝对值为2的负有理数， ∴，，，且， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5，求代数式的值． 【答案】或9 【详解】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值是5， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 题型1 程序框图/流程图求值（新考法） 【典例1-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2026次计算输出的结果是， 故选：D． 【典例1-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 【典例1-3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是_____． 【答案】 【详解】解：输入，则，，返回输入； 输入，则，，返回输入； 输入，则，，输出结果． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 题型2 规律探究类求值（培优拓展压轴） 【典例2-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 【典例2-2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）我们规定一个新数“i”，使其满足 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 则 值为（     ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵，，，，， ∴，，，，， ∴算式中的项以循环， ∵，， ∴ ． 【典例2-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 【变式2-1】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 【变式2-2】（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 【答案】26 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 由此发现，以26，65，122三个数为一个循环， ∵， ∴． 【变式2-3】找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据规律可得：（为非负整数）； （2）解：根据规律可得： ； （3）解：， （答案不唯一）． 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 2．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 4．（2025·四川·中考真题）若，则______． 【答案】1 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 5．（2026·四川内江·中考真题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 【答案】 【详解】解：， ， ∴． 6．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【详解】解：∵， ∴． 7．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 9．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放_______块小正方体． 【答案】 【详解】解：由图可得， 第1层中小正方体的个数为：1， 第2层中小正方体的个数为：， 第3层中小正方体的个数为：， 第4层中小正方体的个数为：， … 则第n层中，小正方体木块总数是：， ∴第8层需要摆放块小正方体， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 【答案】C 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 【答案】7 【详解】解：， 又，， ，， 解得，， ． 5．（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】3 【详解】解：， ， ． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 7．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，； ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时，． 8．如图想一想，可以把 这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 【答案】 【详解】解：观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成； 观察第二幅图：有2个连续奇数相加（ ）， 和为4，可以写成； 观察第三幅图：有3个连续奇数相加（ ）， 和为9，可以写成； 观察第四幅图：有4个连续奇数相加（ ），和为 ，可以写成； 总结规律：从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即． ∵ ，共有 个数，奇数和偶数的个数各一半，即 （个）， ∴ 中共有 个奇数， ∴ 可以转化成， ∵ ； ∴ ． 9．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 三、解答题 10．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 12．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 13．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 14．（23-24七年级下·山东聊城·期中）在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：； （2）解：①设， 两边同乘得：， 由得：， ∴； ②设， 两边同乘2得：， 由得：． 15．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 【详解】（1）①解：最大的三位“回文数”是， 最小的三位“回文数”是； ②解：把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； 把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； （2）解：， 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ， 综上所述，的值有、． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $