第10讲 代数式的概念与代数式的值（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第10讲 代数式的概念与代数式的值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 代数式的概念 题型2 代数式书写格式 题型3 列代数式 题型4 代数式表示的实际意义 题型5 已知字母的值，求代数式的值 题型6 已知式子的值，求代数式的值 题型7 程序流程图与代数式求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 代数式、列代数式、代数式的值、数量关系、书写规范、一般性。 1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。 2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列出代数式表示数量关系。 3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结果。 4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学思想，感受字母表示数的一般性。 学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【易错提醒】 代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。 即时即练有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：①，是代数式， ②，不是代数式， ③，是代数式， ④，是代数式， ⑤，不是代数式， ⑥，是代数式， ⑦，是代数式， ⑧，不是代数式， ⑨，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共5个， 故选：D ． 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 【易错提醒】 代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。 即时即练有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．根据代数式书写要求进行判断即可． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应该写成，不符合代数式书写要求； 米应该写成米，不符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 故选B． 知识点03 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【易错提醒】 代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2得 (-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。 即时即练1．当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)4 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． （2）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：当，，时， ． （2）解：当，，时， ． 2．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 题型1 代数式的概念 【例1】在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 【例2】下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 【技巧归纳】 代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。 【变式1-1】在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 【变式1-2】下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 根据代数式的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：，，，，，，，中，代数式有：，，，，，共个， 故选：D． 题型2 代数式书写格式 【例3】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 【例4】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A．个 B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此个书写错误，故A错误； 代数式中不能出现乘号且数字在前，因此书写错误，故B错误； 符合书写要求，故C正确； 应该为，故D错误． 故选：C． 【技巧归纳】 数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假分数。相同字母相乘写幂，如a²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。 【变式2-1】下列各式最符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．千克 D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键． 根据代数式书写的标准规范逐项判断即可． 【详解】解：A. 不符合代数式书写规范，应写为，故该选项不符合题意； B. 符合代数式书写规范，故该选项符合题意； C. 千克不符合代数式书写规范，应写为千克，故该选项不符合题意； D. 不符合代数式书写规范，应写为，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式2-2】下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要求是解题的关键． 【详解】解：①的正确书写格式为；②书写格式正确；③书写格式正确；④正确书写格式为； 书写规范的有②③， 故选：B． 题型3 列代数式 【例5】用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为 ． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，先分别表示出a 的平方的3 倍和b的平方，再作差即可得到答案． 【详解】解：用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为， 故答案为；． 【例6】某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为 件． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据“某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件”列出代数式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：用代数式表示去年的产量为件， 故答案为：． 【技巧归纳】 先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列式。注意“的”字结构：如“a与b的平方和”为a²+b²，“a与b的和的平方”为(a+b)²。区分。 【变式3-1】一支钢笔元，一支圆珠笔元，购买支钢笔和支圆珠笔需要 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，购买支钢笔和支圆珠笔需要元， 故答案为：． 【变式3-2】伊伊今年a岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，伊伊的年龄乘以3，再加上4即可得到答案． 【详解】解；由题意得，妈妈的年龄是岁， 故答案为：． 题型4 代数式表示的实际意义 【例7】联系实际背景，说明代数式的意义 ． 【答案】6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是理解代数式所表示的实际意义；因此此题可根据代数式进行求解即可 【详解】解：代数式的意义可表示为6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可） ． 【例8】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是元，那么表示4支铅笔的总价．请你再对“”赋予一个实际意义： ． 【答案】如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写成符合式子的实际意义即可，理解代数式的特点是解题的关键． 【详解】解：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 故答案为：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 【技巧归纳】 将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x表示单价5元买x个的总价；2(a+b)表示长方形周长。注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。 【变式4-1】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示天读书的总页数．请你对代数式“”赋予一个实际意义： ． 【答案】已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，理解代数式的特点是解题关键． 根据代数式写成符合式子的实际意义，合理即可． 【详解】解：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元． 故答案为：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 【变式4-2】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 【答案】③④/④③ 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题主要考查了代数式，成本为元的商品提价后标价为，分别列出四个说法的促销价，再可判断即可． 【详解】解：成本为元的商品提价后标价为， ①标价减去30元后再打9折，则促销价为：， 故①不符合； ②标价打9折后再减去30元，则促销价为：， 故②不符合； ③标价减去50元后再打6折，则促销价为：， 故③符合； ④标价打6折后再减去30元，则促销价为：， 故④符合； 综上，能正确表达该商店促销方法的是③④． 故答案为：③④． 题型5 已知字母的值，求代数式的值 【例9】当，时，代数式的值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把，代入所求式子中求解即可． 【详解】解：当，时，， 故选：D． 【例10】当时，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，关键步骤是先平方后乘法，最后注意负号的处理．由题意将代入进行运算即可． 【详解】解：将代入， 可得． 【技巧归纳】 直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2时x²=(-2)²=4。分数值代入时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。 【变式5-1】已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21600元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可； （2）将x、y的值代入所得代数式计算即可． 本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：客厅面积为，卧室面积为，厨房面积为，卫生间面积为． 故总面积． （2）解：当时， 总费用为（元）． 所以总费用为21600（元）． 题型6 已知式子的值，求代数式的值 【例11】若，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题是一道求代数式的值的题目，采用整体代入法是解题的关键． 首先将原式变形为，接下来将代入中计算，问题可迎刃而解． 【详解】解：， 将代入上式得：原式． 故选：D． 【例12】已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【知识点】有理数的除法运算、已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题关键． （1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可； （2）将（1）所得式子值代入计算即可． 【详解】（1）解：、互为倒数，、互为相反数（、不为0），， ，，， ， ， 故答案为：，，，； （2）解： ， ． 【技巧归纳】 利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。 【变式6-1】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在求代数值中非常重要，有这样一道题： 代数式：的值为9，则代数式的值为． 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由题意得，整体代入中求值即可； （2）由题意得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：由题意得， 则， ∴， 故代数式的值为． 【变式6-2】历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数式，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入中进行求解即可； （2）根据，得到，据此可得答案； （3）根据，，得到，则，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：代数，且， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， ， ； （3），， ， ， ． 题型7 程序流程图与代数式求值 【例13】如图是某算法的程序框图，若开始输入的，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序，读懂题意是解题关键．把代入，得出，不合题意，再次依次代入，直到得出符合条件的结果． 【详解】把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 故答案为：． 【例14】按下面的程序计算： 若输入，输出结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据程序流程图把代入计算即可求解，看懂程序流程图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出结果是， 故答案为：． 【技巧归纳】 按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计算，可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。 【变式7-1】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】2 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环， ， ∴第2025次输出的结果为2， 故答案为：2． 【变式7-2】按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 一、单选题 1．代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【详解】解：代数式的意义可以是与的积. 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 3．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 4．某校开展知识竞赛活动．答对1题加分，答错1题扣1分．小明答对3道题，答错2道题，则小明的得分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的计分规则，分别计算答对题的总得分和答错题扣除的分数，再作差即可得到小明的总得分． 【详解】解：∵答对1题加分，小明答对3道题， ∴答对题的总得分是分， 又∵答错1题扣1分，小明答错2道题， ∴答错题一共扣除分， ∴小明的总得分为分． 5．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 二、填空题 6．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 7．某精品手办打八折销售，已知原价为300元/件，则小明购买件该商品需要__________元． 【答案】 【详解】解：每件手办现价为（元），购买件，总价为（元）． 8．若a，b互为相反数，则______，_______． 【答案】 10 【分析】先根据相反数的定义求出，再整体代入计算，并根据绝对值解答． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， 所以； ． 9．如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 三、解答题 11．请用代数式表示： (1)a减去b的差与c的积． (2)x，y两数和的平方减去它们差的平方． (3)a的3倍与b的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）a和b的差表示为，然后与c的积表示为； （2）x和y的和表示为，其平方为；x和y的差表示为，其平方为，然后相减； （3）a的3倍表示为，与b的和表示为． 【详解】（1）解：a减去b的差与c的积可表示为：． （2）解：x，y两数和的平方减去它们差的平方可表示为：； （3）解：a的3倍与b的和可表示为：． 12．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）长方形的面积减去四个圆的面积即可求解，四个圆的面积的和是一个整圆的面积； （2）把，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 13．已知若a、b互为相反数，m的绝对值为4． (1)直接写出，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相反数的性质和绝对值的意义即可求出对应值； （2）将（1）中求出的值代入所求代数式，分类计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵m的绝对值为4， ∴； （2）解：当时，； 当时，， 综上，原式的值为0． 14．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）解：设计如框图如图： 16．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10讲代数式的概念与代数式的值 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解一建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1代数式的概念 题型2代数式书写格式 题型3列代数式 题型4代数式表示的实际意义 题型5已知字母的值，求代数式的值 题型6已知式子的值，求代数式的值 题型7程序流程图与代数式求值 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标号航 1.理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 叫代数式。 代数式、列代数式、代 2.掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列 数式的值、数量关系、 出代数式表示数量关系。 书写规范、一般性。 3.理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结果。 4.体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学 思想，感受字母表示数的一般性。 学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解 同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。 02 教材全解 知1识1框引架 1/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用运算符号连接数和字母的式子 定义 单独一个数或字母也是代数式 数前字后省略号 书写口诀 代数式的概念 数字与字母相乘省略乘号 除法变分数带分数化假 解题方法与口诀 数字写在字母前面 代入数值细计算 书写规范 求值口诀 除法写成分数形式 运算顺序要记清 带分数化为假分数 书写格式错误 定义 数或字母的积 系数次数混滑 高频易错点 单项式 系数 单项式中的数字因数 代入计算符号错误 代数式的概念与 次数 所有字母指数和 代数式判断 代数式的值 定义 几个单项式和 书写规范检直 高频考点 多项式 项 每个单项式 系数次数确定 常数项 不含字母的项 代数式求值 次数 最高次项次数 单项式和多项式统称整式 定义 整式 代入数值 单项式 求值步骤 分类 按运算顺序计算 多项式 代数式的值 把整体看作一个数 整体代入法 简化运算过程 知|识|精|讲 知识点01代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般 都是代数式： ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【易错提醒】 代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母 也是代数式；含“=“<“一”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。 即时即练有下列各式：①2x+1,②v=r,@a,④州 ,⑤y-1<0,⑥a2+b2,⑦15，⑧2x=0, m+1 ⑨s=vt.其中，代数式的个数为() A.9 B.7 C.6 D.5 知识点02代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt; 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a; ③市分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2×a应写作7a: 3 3 ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； a一4：注意：分数线具有“：” 4 ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷(a-4)应写作 号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面， 如a2-b2平方米。 【易错提醒】 代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3）；带分数要化假分数；除法写成分数；单 位要加括号（如（α+b)元）。乘号可省略或写.”，但数字与数字间不可省略。 即时即练有下列各式：①。：②1x:®m-2米；④3江其中，符合代数式书写要求的有() 5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点03代数式的值 1整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、 有意识的整体处理， 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代 入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化， 【易错提醒】 代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2代入2得(-2）)。负数代入时特别注意平方及乘方 符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。 即时即练1.当a=2,b=-1,c=-3时，求下列各代数式的值： (1)b2-4ac; (2a+b+c2. 2.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛. (1把(x-y)看成一个整体，将2(x-y)2-5(x-y)2+(x-y2合并的结果是 (2)已知a2+a=1,则2a2+2a+2020=- ； 3已知a-2ab=-5ab+26=-3,求代数式3a-号ah+36的值。 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1代数式的概念 【例1】在元，x2+5,1-3x=0,ab,a>2,0,1中，代数式有() A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【例2】下列各式中，不是代数式的是() A.x=1 B.5 C.2a2+1 D.x-2y+3 【技巧归纳】 代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数如或字母也是代数式。含关系符 号（仁、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。 【变式1-1】在式子n-3、a、1、80%t、S=ab中，代数式的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-2】下列各式：3x-1,a=4,s=1001+5,5y-3,4mn,2-b>6,-2,7x+8y-1中，代数式 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 题型2代数式书写格试式 【例3】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有() 1)月y:2)b*c:(3)2m；(4a- 3 n 52:(5)mb4:(6)-1b:(7)aab A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例4】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是() 1 A.3a+2024个B.a×2024 C.2024a D.2024×-a 2 【技巧归纳】 数字与字母相乘时数字在前（如3），字母间乘号可省略或记“。”，除号用分数妍形式。带分数须化为假分数。 相同字母相乘写幂，如a2。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。 【变式2-1】下列各式最符合代数式书写规范的是（) 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x'y B.2xy C.2x-1千克 D.xx3 【变式2-2】下列单项式书写规范的有()个 ①25b:②2xy:®-3x:④-1h 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4 题型3列代数式 【例5】用代数式表示“a的平方的3倍与b的平方的差”为 【例6】某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为」 件 【技巧归纳】 先找关键词：和、差、倍、分、数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列式。注 意“的”字结构：如“a与b的平方和”为a2+b2,“a与b的和的平方”为(a+b)2。区分。 【变式3-1】一支钢笔Q元，一支圆珠笔b元，购买2支钢笔和3支圆珠笔需要」 元 【变式3-2】伊伊今年α岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是_ 岁 题型4代数式表示的实际意义 【例7】联系实际背景，说明代数式62的意义 【例8】对代数式“4a”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a元，那么4a表示4支铅笔的总价.请 你再对“4a"赋予一个实际意义： 【技巧归纳】 将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x表示单价5元买x个的总价；2(+b)表示长方形绸长。注 意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋子现实情境（行程、面积、总价等）。 【变式4-1】对代数式“"3a”可以赋予实际意义：如果一天读书a页，那么3a表示3天读书的总页数，请你对 代数式"9a+0.5b"赋予一个实际意义： 【变式4-2】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x元的商品提价50%后标价，再以 (0.9x-30)元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折：②标价打9折后再减去30元： ③标价减去50元后再打6折：④标价打6折后再减去30元.能正确表达该商店促销方法的是一： (填序号) 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5已知字母的值，求代数式的值 【例9】当m=-2,n=5时，代数式-3(m+n)的值是() A.6 B.-6 C.9 D.-9 【例10】当m=2,n=-5时，求2m2-n的值. 【技巧归纳】 直接字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=2时x2-(-2)2=4。分数值代入时洗 化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形试（分数、小数）。检查单位。 【变式5-1】已知(x+2)2与2y-3互为相反数，求x-(x+)2025的值， 【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单 位：米)，解答下列问题： 4 ←y 卫 卧室 厨房 客厅 (1)用x、y的代数式表示地面总面积： (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当x=6,y=2时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少 元？ 题型6已知式子的值，求代数式的值 【例11】若m-n=1,则(m-n-2m+2n的值是( A.3 B.2 C.1 D.-1 【例12】已知a、b互为倒数，c、d互为相反数(c、d不为0)，m=3,根据已知条件请回答： (1)ab=,c+d=- m=’ d 2求 -+ab+ c+d c +的值， 4m d 【技巧归纳】 利用整体代入法：将已知试子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3,求2 +2b-1=2(+b)1=5。注意恒等变形技巧：除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求弹个字母。 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-1】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在 求代数值中非常重要，有这样一道题： 代数式：x2+x+3的值为9，则代数式2x2+2x-3的值为 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得x2+x+3=9,则有x2+x=6. 所以2x2+2x-3 =2(x2+x)-3 =2×6-3=9, 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若x2+x+2=0,则x2+x+3= (2)若代数式x2+x+1的值为15，求代数式-2x2-2x+3的值。 【变式6-2】历史上，数学家欧拉最先把关于x的代数式用记号f(x)来表示，把x等于某数a时的代数式的 值用f(a)来表示.如：当x=-1时，代数式x2+2x-6的值记作f(-1), 则f(-1)=(-1)2+2×(-1)-6=1+(-2)-6=-7. 己知代数式f(x)=ax3+bx3-2x+c,且f(0)=-1,回答下列问题： (1)c= ； (2)若f①=2，求a+b的值； (3)若f(2)=9,求f(-2)的值 题型7程序流程图与代数式求值 【例13】如图是某算法的程序框图，若开始输入的x=2,则最后输出的结果为 输入x的值 计算-3x+1的值 输出结果 是 否 【例14】按下面的程序计算： 输入m 计算3m+1 是 >50 输出结果 否 若输入m=10,输出结果是 【技巧归纳】 按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计算，可列 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。 【变式7-1】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输 出的结果为4，， 则第2025次输出的结果为一： x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x+3 【变式7-2】按下面的程序计算： 输入x 计算4x2的值 >149 Yes 输出结果 No 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 04 过关检测 一、单选题 1.代数式-3x的意义可以是() A.-3与x的和 B.-3与x的差 C.-3与x的积 D.-3与x的商 2.下列各式中：①3号0：②(a-)÷c:®-3人@25：©2506.共中符合代数式书写要求的个数 有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.若a2-3b=1,则-3a2+9b+2的值是() A.5 B.1 C.-5 D.-1 4.某校开展知识竞赛活动.答对1题加a分，答错1题扣1分.小明答对3道题，答错2道题，则小明的 得分可以表示为() A.3a B.-2 C.3a-2 D.3a+2 5.数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号f(x)表示，并把当x:m时的多项式f(x)的值用∫(m)表示.对 于多项式f(x)=ax3+bx+1,若f1=8,则f(-1)的值等于() A.6 B.-6 C.7 D.-9 二、填空题 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.若la+3到+(b-2)}2=0,则(a+b)25的值是 7.某精品手办打八折销售，已知原价为300元/件，则小明购买m件该商品需要 元 8.若a,b互为相反数，则(-2025)+a+2024+b=,a-10+b= 9.如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为 x≠1 输入x 输出 x÷4 10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密 还原为明文，已知某种加密规则为明文a,b对应的密文为a-2b,2a+b.例如：明文1,2对应的密文是 -3,4,当明文是2,5时，密文应是， 三、解答题 11.请用代数式表示： (1)a减去b的差与c的积。 (2)x,y两数和的平方减去它们差的平方. (3)a的3倍与b的和. 12.如图，长方形的长为Q,宽为b.现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出 四分之一圆 (1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积： (2)当a=10cm,b=4cm时，求图中阴影部分的面积.（取3） 13.己知若a、b互为相反数，m的绝对值为4. (1)直接写出a+b,m的值； (②求a+b+a+b的值。 h 14.如图，整数m,t,n在数轴上分别对应点M,T,N,数轴上每个格代表一个单位长度. M T N m n (1)若m与n互为相反数，则t= (2)若t=-2,求2m-n的值； 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当原点在点T的左侧时，试说明：整数m,t,的和除以3所得的余数一定是2 15.在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“了”表示数据输入、输出框；用 ”表示数据处 理和运算框；用 >”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）· √输入x /输入 输入x /输入 ×2 2 是 5 2香 输出y 是￥ 输出y=5x-3 输出y 输出y 0 ② @ ④ (1)①如图①，当输入x=-2时，输出y=-；②如图②，第一个运算框☐内应填_；第二个运算框 ☐内应填_ (2)①如图③，当输入x=-1时，输出y=;②如图④，当输出y=37时，输入的值x=-· (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15t(含15t)时，以2元/t的价 格收费；当每月用水量超过15t时，超过部分以3元/t的价格收费.请设计出一个“计算程序”，使得输入数 为每月用水量x,输出数为水费y. 16.有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为-4，那么代数式2(a+b)+42a+b)的值是多少？”爱动脑筋的 小伟的解题过程如下： 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)=2×-4)=-8 小伟把5α+3b作为一个整体求解.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方 法，完成下面问题： (1)已知a2+a=3,求代数式2a2+2a+2023的值； (2)已知a-2b=-3,求代数式3(a-b)-7a+11b+2的值： (3)已知a2+2ab=-5,ab-2b2=-3,求代数式3a2+4ab+4b2的值. 10/10