2025-2026学年高一下学期期末模拟试卷2（范围：人教A版必修2）

**基本信息** 本卷为人教A版必修第二册期末模拟卷，覆盖统计、复数、向量、立体几何、解三角形、概率等核心知识，通过“堑堵”文化情境、频率分布直方图等设计，考查数学抽象、空间观念、数据意识，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|第三四分位数、复数虚部、向量运算|基础概念辨析，如第1题统计量计算| |多选题|3|解三角形性质、统计方差、正方体动态问题|多选项分层考查，如第11题空间动点探究| |填空题|3|纯虚数、正三棱柱内切球、向量与解三角形综合|简洁性与综合性结合，如13题几何体与球的切接| |解答题|5|解三角形（面积与周长）、频率分布直方图（概率计算）、正四棱锥表面积与线面角|多问递进设计，如17题融合表面积计算、面面垂直证明与线面角求解，体现推理能力与空间观念|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷2 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·天津·期末）样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A．16 B．17 C．23 D．24 2．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知向量，，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江温州·期末）满足，，的三角形恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在满足 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 10．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）下列命题正确的是（     ） A．数据1，2，3，4，5，6的中位数是3 B．数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是9 C．若事件与互斥，且，，则 D．记事件与的对立事件分别为，，若事件与互斥，则是必然事件 11．（25-26高一下·江苏盐城·期末）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（    ） A．平面 B．的最小值为 C．直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D．若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江丽水·期末）若复数为纯虚数，则______. 13．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为______． 14．（25-26高一下·福建漳州·期末）在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，，，点满足，且，则的面积为__________． 4、 解答题 15.（25-26高一下·河南·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 16.（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 17.（2026高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 18.（24-25高一下·山东东营·期末）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若，且点G是的重心，求线段的最小值. 19．（25-26高一下·四川·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面所成角最大时，求四棱锥的体积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷2 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·天津·期末）样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A．16 B．17 C．23 D．24 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个， ，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均， 故第三四分位数为． 2．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】使用复数的除法和复数的定义求解. 【详解】由，得，则的虚部为. 3．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知向量，，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 4．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.86 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计算母线长. 【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长、高、下底面半径与上底面半径的差值构成直角三角形的三边，其中母线为斜边， 由题意可知，，，，故上下底面半径的差值为， 根据勾股定理可得母线长：，故C正确.    5．（25-26高一下·浙江温州·期末）满足，，的三角形恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】若三角形有两解，则，即， 所以的取值范围是. 6．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 7．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【详解】在上的投影向量为. 8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据条件，利用直三棱柱的性质平面，进而可得，设，，结合条件，利用基本不等式求得，再利用直角三角形的性质，求得球的半径，即可求解. 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.    故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．存在满足 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角函数单调性及三角恒等变换逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A：在中，由可得，由正弦定理，可得， 因，则，故A正确； 对于B：中，由可得，因在上单调递减， 则，即得，故B错误； 对于C，由和正弦定理，得，即， 因，由知，故或， 即得或，故是等腰三角形或直角三角形，即C正确； 对于D，因，，由余弦定理，得， 即得，则，故必是等边三角形，故D正确. 10．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）下列命题正确的是（     ） A．数据1，2，3，4，5，6的中位数是3 B．数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是9 C．若事件与互斥，且，，则 D．记事件与的对立事件分别为，，若事件与互斥，则是必然事件 【答案】BCD 【难度】0.72 【知识点】计算几个数的中位数、各数据同时乘除同一数对方差的影响、互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由中位数的定义可判断A；由方差的性质可判断B；由互斥事件概率加法运算可判断C；根据互斥事件和对立事件的定义可判断D. 【详解】对于A，数据1，2，3，4，5，6的中位数是，故A错误； 对于B，数据，，，的方差是1，则，，…，的方差是：，故B正确； 对于C，若事件与互斥，且，，则，故C正确； 对于D，事件互斥，则是不可能事件，则是必然事件，故D正确. 11．（25-26高一下·江苏盐城·期末）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（    ） A．平面 B．的最小值为 C．直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D．若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行、求线面角 【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行即可判断；对于B，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断；对于C，根据点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，进而根据线面角的余弦值即可求解；对于D，先根据直角三角形的性质确定的外接圆的圆心为，再求，从而确定外接球的球心及半径，进而利用球的表面积求解即可判断． 【详解】对于A，连接， 由，分别为棱，的中点，则， 又在正方体中，有，且， 则四边形是平行四边形，则，所以， 又平面，而平面，所以平面，故A正确； 对于B，将平面和平面沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，连接，， 由在平面内的投影为，在平面内的投影为， 又，，则，， 又，平面，则平面， 则当点与点重合时，平面，此时直线与平面所成角的余弦值为0； 点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小， 当点与点重合时，直线与平面所成角最小，为的余角， 又 ，所以是直角三角形， 所以当点与点重合时，直线与平面所成角与相等， 又，， 此时直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围为，故C错误； 对于D，连接，交于，则是线段的中点， 又是直角三角形，且， 则的外接圆的圆心为， 所以， 又为的中点，则， 即到三棱锥各顶点的距离相等， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确． 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江丽水·期末）若复数为纯虚数，则______. 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【详解】由题可知，解得，则， ． 13．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】正三棱柱内最大球的半径由底面正三角形内切圆半径和棱柱高的一半中的较小值决定，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】正三棱柱内体积最大的球，需同时满足两个限制： 球与上下底面相切、球与三个侧面都相切，球的直径取两个方向限制的较小值； 底面正三角形边长，正三角形内切圆半径公式为：， 则， 即底面内切圆直径为 2，这是侧面方向允许的最大球直径； 棱柱的高为，对应上下底面方向允许的最大球直径为， 取两个限制的较小值，因此球的最大直径为，半径， 球的表面积公式. 14．（25-26高一下·福建漳州·期末）在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，，，点满足，且，则的面积为__________． 【答案】 【难度】0.36 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 因为是斜三角形，所以，所以， 由正弦定理得，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设边的中点为，则， 因为，所以，即为的中点， 所以. 4、 解答题 15.（25-26高一下·河南·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 16.（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 17.（2026高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 18.（24-25高一下·山东东营·期末）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若，且点G是的重心，求线段的最小值. 【详解】（1）因为，则， 可得， 则，可得， 又因为，则， 则，所以； （2）由题意可得：，， 由D、M、C三点共线得， 由B、M、E三点共线可得， 则，解得， 可得，可得， 所以； （3）由重心定义得，则， 又因为，可得， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 即，所以线段GM的最小值为. 19．（25-26高一下·四川·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，O点为的中点，，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成的二面角的正切值： (3)当与平面所成角最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：，O点为的中点，． 取的中点M，连接，则 ，， 底面是平行四边形，， ，． ，∴， ，， 是等边三角形， ．在与中，， ． ，． 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点E，连接． 平面，平面，平面平面． 由，，得，， ，， 取中点F，连接，则． ，为等腰直角三角形． 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角． ，，，平面， 平面，， 在中，，， ． 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点A到平面的距离为h． ，，， 等腰底边上的高为，， ． ，点C到的距离为，． ． ，即，． 记与平面所成角为． ， 当且仅当，即时，最大，最大， ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $