期末复习：补全线面垂直的条件、补全面面垂直的条件专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦线面垂直与面面垂直条件补充，通过多几何体情境的例题与变式，构建从线面到面面的垂直关系推理体系，强化空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |补全线面垂直的条件|3例+3变式|在四棱锥、正方体等几何体中，补充线面垂直的关键条件|以线面垂直判定定理为核心，需结合几何体性质找线线垂直关系| |补全面面垂直的条件|3例+3变式|在四棱台、三棱柱等几何体中，探究面面垂直的存在性条件|需将面面垂直转化为线面垂直，体现垂直关系的层级推导|

期末复习：补全线面垂直的条件、补全面面垂直的条件专项训练 期末复习：补全线面垂直的条件、补全面面垂直的条件专项训练 考点目录 补全线面垂直的条件 补全面面垂直的条件 考点一 补全线面垂直的条件 例1．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 分别为的中点， ， 为的中点，且为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . (2) 【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行； （2）先确定为与底面所成角，当时，结合（1）的结论以及线面垂直的判定定理即可得答案. 【详解】（1）略 （2）底面， 为与底面所成角， 当时，由（1）有， ， 且，平面， 平面， 因为平面， ， ，面，面， 由（1）有， 平面. 例2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得、，从而得到平面，即可得证； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，首先求出，过点在平面内作交于点，连接，交于点，即可得到，从而证明平面，则，结合（1）即可得证. 【详解】（1） 连接、，因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明如下： 因为三棱锥的体积是， 所以， 即， 解得，所以，即， 过点在平面内作交于点， 连接，交于点， 因为，所以， 当时， 所以，所以， 又，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 由（1）可知，，平面， 所以平面. 例3．（24-25高一下·河北·阶段检测）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2)①存在，此时；. 【分析】（1）如图作，可得平面平面，从而可得四边形为平行四边形，然后由可得答案； （2）①假设存在点，使得平面，则可得平面，据此可确定点M位置；②设，由题可得，然后由基本不等式可得时，体积最大，然后由等体积法可得点到平面的距离. 【详解】（1）如图作，因平面，平面， 则平面.又平面，， 则平面平面.结合平面平面， 平面平面，则，又由题可得， 则四边形为平行四边形，从而，又， 则； （2）①假设存在点，使得平面. 因平面，则.因为点在平面内的射影， 则平面，又平面，则. 因，平面，则平面. 因平面，则.因，则. 即M与D点重合时，满足题意，此时； ②设，因为点在平面内的射影，则平面， 又平面，则，则为直角三角形，PB为斜边，则. 则， 其中，， 则， 当且仅当，即时取等号.则此时，. 从而可得，，. 则为等腰直角三角形，. 设点到平面的距离为， 则， 则. 变式1．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，平面，证明见解析. 【分析】（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可； （2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面； （3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 且，，， ∴由三棱柱体积公式得：； （2）证明：取的中点，连接，，    ∵，分别为和的中点， ∴，， ∵平面，平面， 平面，平面， ∴平面，平面， 又，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （3）连接，设， 则由题意知，， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面， 因为平面，∴平面平面，平面平面， ∵，∴，又点是的中点，则平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可， 又∵，∴， ∴，即， ∴，则时，平面. 变式2．（25-26高一下·四川巴中·阶段检测）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，，，E为PD的中点．    (1)求直线BE与平面ABCD所成角的正切值； (2)在侧棱PAB内找一点N，使面PAC，并求出N点到AB和AP的距离． 【答案】(1) (2)N为PF的中点，点N到AB的距离为1，点N到AP的距离为． 【分析】（1）取AD中点F，连接EF、BF，利用中位线定理得到，根据题意可得底面ABCD，进而得到∠EBF为BE与平面ABCD所成角，在中，利用直角三角形即可求解； （2）面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则，连接PF，则在Rt△ADF中，可得，设N为PF的中点，连接NE，利用中位线定理可得，进而得到，然后利用线面垂直的判定即可求解. 【详解】（1）取AD中点F，连接EF、BF，则，    由侧棱底面ABCD，平面，所以， 因为，所以， 又因为为矩形，所以,侧棱底面ABCD，平面，所以，，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，， 平面，∴底面ABCD， 则∠EBF为BE与平面ABCD所成角，∴在△EBF中，，，， 即直线BE与平面ABCD所成角的正切值为． （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则， 连PF，则在Rt△ADF中，，， 设N为PF的中点，连NE，则， ∵，，，平面，∴面PAC， 平面,所以，又因为，则， 在平面内，点内，内，且,点不在平面内， 所以与为异面直线，又因为平面,所以， 所以与异面垂直，即，，平面，从而面PAC，    ∴点N到AB的距离为，点N到AP的距离为． 变式3．（25-26高一下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点． (1)求证：； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当为中点时，；证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面，由线面垂直的性质可证得结论. 【详解】（1）连接， 四边形为菱形，，又，为等边三角形， 为中点，； ，为中点，， 又，平面，平面， 平面，. （2）当为中点时，，证明如下： 分别为中点，，又平面，平面， 平面； 分别为中点，，， 四边形为平行四边形，，又平面，平面， 平面，又，平面， 平面平面， 由（1）知：平面，平面， 平面，. 考点二 补全面面垂直的条件 例1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    例2．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 例3．（25-26高一下·广东深圳·阶段检测）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点N为AB中点，证明见解析 【分析】（1）通过证明底面来证得. （2）取为的中点，通过证明平面来证得平面平面. 【详解】（1）正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又底面，所以； （2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；    变式1．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点为棱的中点 【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）当点为棱的中点时，推导出平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】（1）证明：取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）解：当点为的中点时，平面平面，    因为四边形为矩形，则，因为，则， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 因此，当点为的中点时，平面平面. 变式2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    变式3．（25-26高一下·湖南岳阳·阶段检测）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    (1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2).若的面积为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在；证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，即在上找一点M，使平面即可； （2）设，由题目条件及的面积为，可得，即可得三棱锥的体积. 【详解】（1）存在，当M为的中点时，平面平面． 证明：取AD的中点M，连接， 由是等边三角形，可得， 由平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 由平面，可得平面平面． （2）设，可得， 则，由， 可得， 由. 所以三棱锥P－ABC的体积为．   .   2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：补全线面垂直的条件、补全面面垂直的条件专项训练 期末复习：补全线面垂直的条件、补全面面垂直的条件专项训练 考点目录 补全线面垂直的条件 补全面面垂直的条件 考点一 补全线面垂直的条件 例1．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 例2．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 例3．（24-25高一下·河北·阶段检测）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 变式1．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 变式2．（25-26高一下·四川巴中·阶段检测）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，，，E为PD的中点．    (1)求直线BE与平面ABCD所成角的正切值； (2)在侧棱PAB内找一点N，使面PAC，并求出N点到AB和AP的距离． 变式3．（25-26高一下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点． (1)求证：； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论． 考点二 补全面面垂直的条件 例1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 例2．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高一下·广东深圳·阶段检测）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 变式3．（25-26高一下·湖南岳阳·阶段检测）在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    (1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2).若的面积为，求三棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $