暑假专项复习 特殊的平行四边形 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形性质判定，通过梯度题型构建从概念到综合应用的逻辑体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|性质应用、判定条件、图形变换|从定义出发，通过对角线、边、角关系推导特殊平行四边形判定，构建概念转化链| |填空|6题|中点四边形、面积计算、动态问题|结合图形性质与代数计算，体现几何与代数融合，强化空间观念| |解答|6题|证明推理、综合计算、迁移应用|以“性质-判定-应用”为主线，通过折叠、坐标系等情境提升推理能力与应用意识|

2026年暑假专项复习特殊的平行四边形 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AC=2,则AB的长为() D C 3 A.1 B.2 C.3 D.2 2如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,且 AB=3,BC=4 ,那么图中阴影部分的面积为( D E A.3 B.4 C.6 D.2 3.如图，在RIABC中，D是斜边AB的中点，作DE L AC于点E,DF⊥BC于点F,连 接EF.若AC=5,BC=12,则EF的长为() A.4 B.5 c.5.5 D.6.5 4.如图，要使口ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( A AC=AD B.∠ABC=90° C.AC LBD D.AC=BD 5.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( D B E 24 48 A 5 B.6 C.5 D.12 6.将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数-2， 点C表示数6.若BD的长为6，则该菱形的边长为() D A C 6 A.5 B.6 C.7 D.8 7如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点 C为圆心，AB长为半径作弧交射线AB于点D,连接CD,则四边形ABCD即为所求.对 于淇淇得到的四边形ABCD,下列说法正确的是( 如图，用尺规作图作出口ABCD E C 图1 图2 A.四边形ABCD一定是平行四边形 B.当AB1BC时，四边形ABCD一定是矩形 C.四边形ABCD一定不是平行四边形 D.当AB=BC时，四边形ABCD是平行四边形 8.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4) 处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( A D(1) 矩形 (2) 平行 B 正边形 四边形 D C (3) (4) B A 菱形>C B A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填AD=CB D.(4)处可填∠A=90° 9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边CD上，以点A为圆心，AD长为半径画 弧，交线段AE于点G,若EG=EC,则DE的长为() D E B A. D.5 10,如图，菱形ABCD,点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点 (-4,0) 点E 是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是( D P C A.4 B.5 C.2W2 D.5 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠， 使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为( D P 18 A. B号 D. 12.如图，在正方形ABCD中，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM,下列 结论：①ME⊥AE,②ME平分∠AMC,③∠DAE=30°，④AM=AD+CM,正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 13.如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB=4,E,F,G,H分别是 AD,BC,BD,AC的中点.当CD=时，四边形BGFH是菱形. 14.如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的对角线EF的 长为 15.边长为4cm的两个全等的菱形ABCD、OEFG如图摆放，其中点O是AC、BD的交点， 且EG∥AC,若∠BAD=∠EOG=60°，则两个菱形重叠部分的面积为 cm2. 16.如图，由两个全等菱形（菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案，其重叠部 分是正八边形（阴影部分），点A,C在EG上，点F,H在BD上，若CE=L,则BD的长 为 B 17如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF 分别交正方形的边AB、BC于点M、N,记△AOM的面积为 ,△CON 的面积为5，若正方 形的边长 AB=10、S1=16S2 ,则2的大小为 D B 18.如图，菱形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的动点，BE=AF,∠BAD=120°， EF与AC相交于点G,则下列结论：①△BEC≌aAFC;②△ECF是等边三角形；③ ∠AGE=∠AFC.其中结论正确的是 一.（填序号） B 三、解答题 19.如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接 AF,BF D B (I)求证：四边形BFDE是矩形： (2)若AE=3,BF=4,AF平分∠DAB,求BE的长. 20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90°.对角线AC,BD交于点 平分<ADC交BCE O.DE OE 交于点，连接 D 0 C (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若CD=2,∠DBC=30°，求△BED的面积， 21.如图，菱形ABCD中的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥BD. D E (I)求证：四边形OBEC是矩形. (2)若AB=8,∠ABC=60°，求四边形ABEC的面积. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE并延 长到点F,使EF=DE,连接CF,AF. A D (I)求证：四边形AFCD是菱形； (2)连接E,若BB=3.Dr=2 求4C的长. 23.【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角. G B E B C E 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,并延 长CB到点G,使BG=DF,连接AG.若LEAF=45°，猜想BE,EF,DF之间的数量关 系：并证明。 【类比探究】(2)如图2，当点E、F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠EAF=45°时， 试探究BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由. 24.【问题呈现】 如图1，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,在AB上任取一点E,连接OE, 过点O作OF垂直于OE,交BC于点F,连接EF. 【问题发现】 (1)如图1，求证：OE=OF: (2)猜想线段AE,CF,EF之间的数量关系，并证明你的结论. D 图1 图2 【迁移应用】 如图2，有一个矩形菜园ABCD,AB边上的点E处和BC边上的点F处各有一个门口. 点O是矩形ABCD两条对角线的交点，连接OE,OF.已知， OE⊥OF,AE=2m,CF=5m.请求出点E处门口到点F处门口的最短距离.（结果 保留根号) 2026年暑假专项复习 特殊的平行四边形练习题答案 一、选择题 3 5 6 10 12 A A D C A A B C B A D C 二、填空题 13.4 14.2 15. 162+V2 17.9 18.①②③ 三、解答题 19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .DF∥BE, 又，DF=BE, ∴.四边形BFDE是平行四边形， 又DE⊥AB, .∠DEB=90°， ∴.平行四边形BFDE是矩形： (2)解：AF平分∠DAB, .∠DAF=∠BAF, 又，DF∥BE, ∴.∠BAF=∠DFA, .∠DAF=∠DFA, .DA=DF, 又DF=BE, ∴.DA=DF=BE, 又平行四边形BFDE是矩形，BF=4, ∴，DE=BF=4, 又，AE=3, “在RtADE中，AD=V32+4=5 .BE=DA=5. .BE的长是5. 20.(1)证明：AD川BC, .∠ABC+∠BAD=180° ∠ABC=∠BCD=90°， .∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， 四边形ABCD是矩形. (2)解：在Rt△BCD中，∠BCD=90,∠DBC=30°，CD=2, ..BD=2CD=4,BC=BD2-CD2=23 由(1)已证：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=90°， DE平分∠ADC, :∠CDE=∠ADC=45° 21 .∠CED=90°-∠CDE=45°=∠CDE, ..CE CD=2, BE BC-CE=23-2 则BED的面积为5BECD-×25-2×2=25-2 21.(1)证明：BE∥AC,CE∥BD 四边形OBEC是平行四边形， :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD ∠B0C=90°， ∴.平行四边形OBEC是矩形： (2)解：四边形ABCD是菱形， .AB=BC=8,OA=OC,AC L BD, ∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， .AC=AB=8」 01=0c=4C=4, 在Ra10B中，由勾股定理得：OB=VAB-OF=⑧-4=45 由(1)可知，四边形OBEC是矩形， ∴.BE=OC=4」 BE∥AC, ∴.四边形ABEC是梯形， S-8E+4C)0B-x4+8x45=245 22.(1)证明：，D,E分别是边AB,AC的中点， .DE是Rt△ABC的中位线，CE=AE, ∴.DE∥BC ,∠ACB=90° .∠DEA=∠ACB=90°，即DF L AC」 ,EF=DE,CE=AE」 ,四边形AFCD是平行四边形. 又：DF⊥AC 四边形AFCD是菱形. (2)解：如图： A D ,四边形AFCD是菱形，DF=2, :.DE=1DF=1 由(I)可得DE是Rt△ABC的中位线， ∴.BC=2DE=2 BE=V13, ∴在Rt△BCB中，由勾股定理，得CB=VBE-BC=3. ,E是AC的中点， .AC=2CB=6 23.解：(1)EF=BE+DF, 证明：，四边形ABCD为正方形， .AD=AB,∠ABG=∠ADF=90°， .BG=DF, .△ADF≌△ABG(SAS) .AF=AG,∠DAF=∠BAG ,四边形ABCD为正方形， ∠BAD=90°， :∠EAF=45°， ∠BAE+∠DAF=45°， .∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF ∠GAE=∠EAF=45°， AG=AF ∠GAE=∠EAH 在 和 中， AGE△AFE AE=AE ∴△AGE≌△AFE(SAS) ..GE EF, .GE GB+BE=BE+DF, :EF=BE+DF. (2)EF=BE-DF,理由如下： 如图2，在BC上截取BG=DF,连接AG E 图2 ,四边形ABCD为正方形， AD=AB,∠ABG=∠ADF=90° :BG=DF, :.△ADF≌AABG(SAS) ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG, ,四边形ABCD为正方形， ∠BAD=90°， :∠EAF=45°， ·∠DAE+∠DAF=45°， .∠BAG+∠DAF=45° .∠GAE=∠EAF=45°， AG=AF ∠GAE=∠EAH 在 和 中， AGE△AFE AE=AE :.△AGE2△AFE(SAS) :.GE=EF, GE=BE-BG=BE-DF, :EF BE-DF, 24.(1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO,∠BAD=∠ABC=90°，AO⊥BO, ∠B40-3<84D<CB0Ac, 1 2 .∠BAO=∠CBO,∠AOB=90°， .OE⊥OF, .∠EOF=90°， .∠AOB=∠EOF .∠AOB-∠EOB=∠EOF-∠EOB, 即∠AOE=∠BOF, 在△AOE和△BOF中， ∠BAO=∠CBO AO=BO ∠AOE=∠BOF' △AOE≌△BOF(ASA) :.OE=OF; (2)解：AE+CF2=EF2,证明如下： :四边形ABCD是正方形， :AB=BC, 由(1)知△AOE≌△BOF, .AE=BF, .AB-AE=BC-BF, 即EB=CF, ∠ABC=90°， ∴，在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2, AE2+CF2=EF2: 【迁移应用】 (3)解：延长EO交CD于点G,连接FG, 在矩形ABCD中，AO=CO,AB∥CD,∠BCD=90° ∴.∠BAO=∠DC0 BL 在△AOE和△C0G中 ∠BAO=∠DCO A0=CO ∠AOE=∠COG' △AOE≌△COG(ASA) .AE=CG,OE=OG. OE⊥OF .OF垂直平分EG, .EF =FG, 在RtAFCG中，FC2+CG=FG, .'AE2+CF2=EF2, .AE =2m,CF =5m, EF=AE2+CF2=4+25=29m E处的门口到点F处的门口的最短距离为29m,