第二十五章 一元二次方程（解答题30题）热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法系统训练，整合概念理解、方法应用与实际建模，通过分层题型培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法训练|1-6,21,25,27,29（约15题）|配方法、公式法、因式分解法（含十字相乘法）|从直接求解到方法选择，构建解法体系| |应用拓展|7-14,26,28,30（约10题）|增长率、利润问题建模|实际问题抽象为方程，发展应用意识| |综合探究|15-20,22-24（约5题）|根的判别式、韦达定理应用|代数与几何综合，强化推理意识|

第二十五章 一元二次方程（解答题30题） 1．解方程： 2．请用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 3．解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 4．请在①、②、③、④四个代数式中任选两个分别作为A、B，按要求代入下列等式组成一元二次方程，并解这个一元二次方程． (1) (2) 5．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 6．用配方法解方程：． 7．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图． 8．如图，在中，．    (1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值． 9．某健身房会员的健身积分由基础积分、运动次数积分和额外奖励积分三部分组成，具体规则如下： 项目 第一年积分 一年后的计算方法 基础积分      每年的增长率相同 运动次数积分      每年增加积分 额外奖励积分      固定不变 (1)设基础积分每年增长率为，用含的代数式表示第三年的基础积分． (2)某会员在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，求基础积分每年的增长率是多少？ 10．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量，12月份的水果销售量是． (1)若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少? (2)某水果店以5元的单价进了一批水果，若售价为10元，每天能销售为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元，每天可多售出． ①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元? ②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大? 11．个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 12．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 13．学校去年年底的绿化面积为平方米，预计到明年年底增加到平方米． (1)求这两年的年平均增长率． (2)求今年的绿化面积． (3)求去年、今年和明年三年的绿化面积的总和． (4)若增长率不变，预计后年的绿化面积． 14．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 15．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 16．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 17．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个解为，求的值． 18．如图，已知菱形的顶点E、F在菱形的对角线上，、的长分别是一元二次方程的两根．    (1)求、的长； (2)求证：； (3)直接写出的值． 19．已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 21．解一元二次方程： (1) (2) 22．已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 23．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 24．已知函数． (1)分别求出当和时，函数y的值； (2)当时，求自变量x的取值． 25．解方程：． 26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？ (3)当移动几秒时，与相似？ 27．解下列方程：． 28．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 29．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．海伦市某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，则销售单价应降低多少元？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（解答题30题） 1．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：配方得，即， 开方得， ， ∴，． 2．请用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据所给一元二次方程的特点选择适当的解法是解题的关键． （）观察方程左边是平方形式，利用直接开平方法解方程即可； （）利用配方法解方程即可； （）观察方程两边可先移项，再提取公因式,化简即可求解； 【详解】（1）解： 两边同时除以4，， 两边开平方，得， 解得，，． （2） 移项，得， 两边加一次项系数一半的平方，， 配方，得， 两边开平方，得， 解得，， （3） 移项整理，， 提取公因式得，， 解得或， ，． 3．解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， （2）解： 整理得： 4．请在①、②、③、④四个代数式中任选两个分别作为A、B，按要求代入下列等式组成一元二次方程，并解这个一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)选①②，；选②④， (2)选①②，当时，；选①④，当时，；选②④，当时，；选②④，当时 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程； （1）选①②或选①④或选②④，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）选①②或选①④或选②④，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：，即 选①②，则 ∴，即 解得：； 选①④，则，即，此方程无实数解； 选②④，则，即 ∴， ∴，解得：； （2）解： 选①②，当时，则 ∴，即 ∴ 解得：； 选①②，当时，则 ∴ ∴， ∵，此方程无解； 选①④，当时，则，即，解得：； 选①④，当时，则，即，此方程无解； 选②④，当时，则，即， ∴ ∴， ∴，解得：； 选②④，当时，则，即， ∴， ∴，解得：． 5．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 6．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先方程两边同除以2，再利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 所以方程的解为． 7．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图． 【答案】见解析 【分析】设这个长方体的长为cm，则宽为cm，根据表面积列出一元二次方程，故可求解． 【详解】解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得， 整理，得， 解得，． 因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以， 所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）． 这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用与几何体的展开图，解题的关键是根据表面积公式列出方程求解． 8．如图，在中，．    (1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆交于点，作的平分线，再以为圆心，为半径作圆交于点，连接，则四边形就是所作的菱形； （2）先证明，设菱形的边长为，，在和中，利用正弦函数的定义求得，得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形就是所作的菱形；    （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为，，则， 在中，， ∴，则， 在中，， 整理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，正弦函数的定义，菱形的性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 9．某健身房会员的健身积分由基础积分、运动次数积分和额外奖励积分三部分组成，具体规则如下： 项目 第一年积分 一年后的计算方法 基础积分      每年的增长率相同 运动次数积分      每年增加积分 额外奖励积分      固定不变 (1)设基础积分每年增长率为，用含的代数式表示第三年的基础积分． (2)某会员在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，求基础积分每年的增长率是多少？ 【答案】(1) (2)基础积分每年的增长率是 【分析】根据第一年基础积分为，每年的增长率相同，即可列出代数式； 设基础积分每年增长率为，根据基础积分、运动次数积分和额外奖励积分的具体规则，在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，列出一元二次方程，整理后，令，方程变为，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第三年的基础积分为； （2）解：设基础积分每年增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 令，方程变为：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 答：基础积分每年的增长率是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，并能正确的解方程是解题的关键． 10．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量，12月份的水果销售量是． (1)若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少? (2)某水果店以5元的单价进了一批水果，若售价为10元，每天能销售为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元，每天可多售出． ①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元? ②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大? 【答案】(1)该平台月份到月份销售的月平均增长率是； (2)①水果的售价为7元或9元时，每天可获利润为1600元；②售价定为元时，每天可获得利润为最大． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为，函数关系式，当时，代入计算即可求解；②利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是； （2）解：①设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为， ∴， 当时，， 解得或， ，， 答：水果的售价为7元或9元时，每天可获利润为1600元； ②对于， ∵， ∴降价2元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 11．个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】(1) (2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式． （1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可； （2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 12．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 13．学校去年年底的绿化面积为平方米，预计到明年年底增加到平方米． (1)求这两年的年平均增长率． (2)求今年的绿化面积． (3)求去年、今年和明年三年的绿化面积的总和． (4)若增长率不变，预计后年的绿化面积． 【答案】(1)这两年的年平均增长率为； (2)今年的绿化面积为平方米； (3)三年的绿化面积的总和为平方米； (4)预计后年的绿化面积为平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设这两年的年平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）列式，然后通过运算法则即可求解； （）列式，然后通过运算法则即可求解； （）列式，然后通过运算法则即可求解． 【详解】（1）解：设这两年的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两年的年平均增长率为； （2）解：（平方米）， 答：今年的绿化面积为平方米； （3）解：去年、今年和明年三年的绿化面积的总和为：（平方米）， 答：三年的绿化面积的总和为平方米； （4）解：（平方米）， 答：预计后年的绿化面积为平方米． 14．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 15．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式、等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明； （2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可． 【详解】（1）证明：方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． （2）解：， 整理得， ∴， 当为等腰的底边，则有， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，应舍去； 当为等腰的腰， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴只能， ∴三角形三边长分别为：2，4，4， ∴三角形的周长为． 所以的周长为10． 16．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 【详解】证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 17．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个解为，求的值． 【答案】（1）证明：∵a=1，b=－（2k＋1），c=k2+k， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． （2）， 【分析】（1）套入数据求出的值，再与作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根； （2）将代入原方程，得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1） 略 （2）解：将x=0代入原方程，得， 解得k1=0，k2=－1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入得出关于的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． 18．如图，已知菱形的顶点E、F在菱形的对角线上，、的长分别是一元二次方程的两根．    (1)求、的长； (2)求证：； (3)直接写出的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）首先根据菱形的性质得到，，进而得到，即可证明出； （3）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴， ∴解得， ∵， ∴，； （2）证明：连接交于点O，    ∵菱形和菱形， ∴，， ∴， ∴； （3）∵菱形 ∴，即， ∴中，， 中， ∴，即 又 ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19．已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【答案】(1)，另一根为 (2)见解析 【分析】（1）将方程的根代入可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根； （2）用表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论． 【详解】（1）解：将代入方程可得： ，解得； 方程为， 设另一根为，则， 解得，即方程的另一根为； （2）证明： ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①一元二次方程无实数根，②一元二次方程有两个相等的实数根，③一元二次方程有两个相等的实数根． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根； (2)方程的另一个根式-2． 【分析】（1）判断即可证明； （2）根据韦达定理即可得出解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：（1）， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）（2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根式-2． 【点睛】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记韦达定理是解题关键． 21．解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)x1=2，x2= (2)x1=，x2= 【分析】（1）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1） 解：移项得： 分解因式得：， 可得x-2=0或3x+1=0， 解得：x1=2，x2=． （2） 解：∵a=3，b=-4，c=-1， ∵b2-4ac=16-4×3×（-1）=28＞0， ∴x=， ∴x1=，x2= 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键． 22．已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的方程，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：． 23．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：对方程进行整理，即为：， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 24．已知函数． (1)分别求出当和时，函数y的值； (2)当时，求自变量x的取值． 【答案】(1)当和时，函数y的值都为16 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． （1）直接将和代入函数，计算即可求解； （2）令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 则当和时，函数y的值都为16； （2）解：当时，可有，即， 解得． 25．解方程：． 【答案】 【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：设， 则， 原方程化成， 解这个方程，得，， 当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根， 当y＝－2时，，即， 解得：， 经检验，x＝－1是原分式方程的解， ∴原方程的解为x＝－1． 【点睛】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程． 26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？ (3)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒 (3)当移动3秒或秒时，与相似． 【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t， 由题意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12−2t）·4t＝＝32， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）由题意得：， 解得：t＝3， 答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2； （3）分两种情况： ①当△BPQ∽△BAC时， 则，即， 解得：， ②当△BPQ∽△BCA时， 则，即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键． 27．解下列方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：整理得， ∴， 即或， 解得：或． 28．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 29．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 30．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．海伦市某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%； (2)销售单价应降低1元或3元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2020年及2022年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出300千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：销售单价应降低1元或3元． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $