章末复习专题·第二十五章 一元二次方程·判别式相关2026-2027学年九年级数学上册人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程判别式，通过基础应用、综合探究及新定义题型，系统覆盖根的性质判断、参数求解及跨知识整合，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择10题/填空4题|判别式计算、根的性质（同号异号）|从判别式概念到根与系数关系的直接应用| |综合应用|解答题5题|结合几何（等腰三角形）、参数求解|判别式与几何性质、方程根分布的综合推导| |拓展探究|综合实践1题/材料题1题|新定义（快乐方程）、探究猜想|从具体实例到一般规律的抽象与推理，发展创新意识|

九年级数学（人教版）章末复习专题 第二十五章 一元二次方程·判别式相关 _ 一、选择题 1. 下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 3. 关于的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是（    ） A． B． C． D．或 4. 若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5. 问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 6. 一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 7. 若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 8. 实数是关于的方程的两根，其中，是△ABC三条边的长，则下列说法正确的是（    ） A．是方程的一个根 B． C． D． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 10. 有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论： ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根； ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根是1或； ④如果，是方程M的两个根，，是方程N的两个根，那么．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 11. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 13. 定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 14. 已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 三、解答题 15. 已知关于的一元二次方程． (1) 求证：方程有两个实数根； (2) 若△ABC的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当△ABC是等腰三角形时，求的值． 16. 已知关于的一元二次方程． (1) 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的一个根为0，求的值以及另一个根． 17. 关于x的一元二次方程． (1) 求证：方程有两个不相等的实数根． (2) 已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数，现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1) “快乐方程”的“快乐数”为______． (2) 若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值； (3) 已知关于x的一元二次方程与（n为整数）都是“快乐方程”，它们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 19. 综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 20. 材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1) 已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2) 证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3) 若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 参考答案 1. D 解：选项A：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项B：∵ ， ∴，无实数根；不符合题意； 选项C：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项D：∵ ， ∴，有两实数根； ∴ 两根之和为 ，符合题意. 2. C 解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 3. D 解：∵关于的一元二次方程的根的判别式等于， ∴， 整理，得：， 解得：，， 即的值为或． 4. A 解：A、令， ∵二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即， 选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意. 5. B 解：对于一元二次方程， ，，， ， 方程无实数根， 小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对． 6. C 解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 7. D 解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 8. D 解：∵ 方程 ，其中 为的三边长， 故 ，且满足三角形不等式 ， 选项A：代入 ，得，不等于0， 故A错误； 选项B：由根与系数关系，， ∵ ， ∴ ，即 ， 故B错误； 选项C：， ∵ ， 故， 故C错误； 选项D：根据题意，得， ∵ ， ∴ ， 故， 故方程有两个不等实根， 故，D正确； 故选：D． 9. A 解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 10. B ① 对于方程，判别式，若有两个相等的实数根，则，方程的判别式，因此也有两个相等的实数根，①正确； ② 设是的一个根，则， ， ，两边同除以得，即是的根，与互为倒数，因此②正确； ③ 设相同根为，则，整理得，当时，两个方程完全相同，所有根都相同，存在相同根不是或，因此③错误； ④ 根据一元二次方程根与系数的关系，方程中，方程中，因此，④正确； 综上，①②④正确. 11. 4 解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 12. 12．2 解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 13. 9 解：根据题意， 则. 14. 解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又， ，解得，， ∵方程有两个实数根， ，即，解得或； （舍去），， ∴， ，联立， 解得，， 又， 解得，， 又， 解得， ∴． 15. （1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 16. （1）证明：方程变形为， ， ． ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方程变形为，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得． ，另一个根为． 17. (1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 18. （1）解：方程：的“快乐数，，； （2）解：关于的一元二次方程，△， ，即：， 或36， ，（舍去）； （3）解：， ； ， ， ，，， 依题意得： ， 解得：或（不合题意）， n的值3． 19. 解：（1）①当，时，例如， ∴， ∴或， ∴此方程的解是； ②当，时， 例如， ∴ ∴ ∴或， ∴此方程的解是； 这两个实例可以验证小明的猜想正确； 故答案为：；；正确． （2）解：小明的猜想正确， 证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负）， ∴， 又∵ ∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根. （3）依题意，且 解得，， 又∵m为整数， ∴或 当时，方程为，即 ∵， ∴ 解得： 当时，方程为 即 解得： 20. （1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 学科网（北京）股份有限公司 $