第二十六章 二次函数（解答题30题）热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，以30道解答题构建从概念性质到实际应用再到综合拓展的递进训练体系，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|5题（如3、5题）|待定系数法求解析式、配方法化顶点式|从解析式构建到性质推导，夯实概念基础| |图像性质|6题（如7、9题）|图像绘制、交点与最值分析|结合图像理解函数性质，培养几何直观| |实际应用|8题（如1、13、15题）|利润、拱桥、运动等建模问题|运用函数模型解决实际问题，发展应用意识| |综合创新|11题（如2、23、26题）|几何综合、动态探究、新定义问题|融合数形结合与分类讨论，提升推理能力与创新意识|

第二十六章 二次函数（解答题30题） 1．“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量y（条）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)从表格可知：销售单价每涨价1元，每天销售数量______（填“增多”或“减少”）______（填数字）条； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)设销售这种跳绳每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 2．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，已知，为抛物线的顶点． (1)求的值及点的坐标． (2)如图，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标． (3)如图，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． ①请直接写出新抛物线的表达式，并判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； ②过点作直线与新抛物线交于点（点在新抛物线的对称轴的左侧），与抛物线交于另一点．是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，直接写出直线的表达式;若不存在，请说明理由． 3．（1）计算：； （2）已知抛物线经过点，求抛物线的解析式． 4．如图，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，直线过点A和点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点P是位于直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，分别与x轴、交于点D、E，过点D作交于点F，求的最小值及此时点P的坐标； (3)在（2）问取得最小值的情况下，将点P向下平移个单位长度得到点，将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y，将直线向右平移9个单位长度得到直线．设抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 7．已知二次函数的表达式为．      (1)求图象与x轴交点的坐标； (2)画出图象； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围：______． ... ... 8．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 9．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 10．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程． 小强根据学习函数的经验，对函数图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）如表是y与x的几组对应值，请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象： … -2 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （3）观察函数图象，写出该函数的一条性质． （4）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 11．已知二次函数． (1)请在坐标系中画出二次函数的图象； (2)观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程的解：_______； ②当时，x的取值范围是_______； (3)观察函数图象，请写出一条函数的性质：_______． 12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为、（点在点左边）． (1)直接写出点、、的坐标． (2)在给定的平面直角坐标系中画出这条抛物线． (3)根据图象写出当时的取值范围． 13．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； (2)降价多少元时，每天的销售利润w最大？ (3)为保证销售利润不低于3200元，求降价的取值范围 14．综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 15．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 16．汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 17．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 18．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数． （1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4． ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 20．如图，已知抛物线y1=a（x-1）（x-5）和直线y2=-ax-a（其中a0）相交于A，B两点．抛物线y1与x轴交于C、D两点．与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交点于E、F两点． （1）若G点的坐标为（0，5），求抛物线y1和直线y2的解析式． （2）求证：直线y2始终经过抛物线y1的顶点． （3）求的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 22．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求的值； (2)不论取何实数，该函数总经过一个定点． ①求这个定点的坐标； ②证明：这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点． 23．如图，抛物线与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C， 对称轴与 x 轴交于点 E，点 D为顶点，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)点 P 为线段上一点，若，求点 P 的坐标； (3)点 M 为抛物线上一点，作，交直线于点 N，若，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标． 24．已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 25．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若，求的值； (3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 26．对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1． （1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 　 　（填序号） （2）函数y＝3x2+bx， ①若其不动长度为0，则b的值为 　 　； ②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围； （3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 　 　． 27．在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴交于定点P． (1)直接写出点P的坐标． (2)当函数图象经过点时，求函数的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标． (3)当时，若函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求m的值． (4)矩形的四个顶点的坐标分别为．当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，直接写出m的取值范围． 28．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；方案二是“”形内部支架（由线段构成），点在上运动（在的左边，且均不与重合），，点在抛物线上，均垂直于分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件， ①方案一的内部支架需要材料多少米？ ②方案二的内部支架最多需要材料多少米？并求出此时的长． 29．已知是x的二次函数． (1)当m取何值时，该二次函数的图象开口向下？ (2)在（1）的条件下 ①当时，求y的取值范围： ②当时，求x的取值范围． 30．已知二次函数（a为常数，且）， (1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． (3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（解答题30题） 1．“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量y（条）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)从表格可知：销售单价每涨价1元，每天销售数量______（填“增多”或“减少”）______（填数字）条； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)设销售这种跳绳每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1)减少；2条 (2) (3)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利，192元 【分析】（1）仔细观察表格，读取正确解题信息即可． （2）利用待定系数法求解即可；求解即可． （3）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．本题考查了一次函数解析式的确定，构造二次函数求最值． 【详解】（1）从表格中看出，销售单价每涨价1元，每天销售数量减少2条， 故答案为：减少；2． （2）设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式． （3）设销售这种跳绳每天获利w（元），根据题意，得 ， ∵， ∴w有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，w取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 2．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，已知，为抛物线的顶点． (1)求的值及点的坐标． (2)如图，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标． (3)如图，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． ①请直接写出新抛物线的表达式，并判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； ②过点作直线与新抛物线交于点（点在新抛物线的对称轴的左侧），与抛物线交于另一点．是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，直接写出直线的表达式;若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的坐标为 (2)点的坐标为 (3)①，点在新抛物线上；②存在．直线的表达式为 【分析】（1）利用抛物线与轴交点得长度，结合确定点坐标，代入抛物线表达式求解，再求抛物线与轴交点得点坐标； （2）先求抛物线顶点的坐标，设出点坐标，求出直线的表达式得点坐标，再结合三角形面积相等的条件列方程求解点坐标； （3）①根据抛物线平移规律（左加右减）写出的表达式，代入点坐标验证是否在上； ②设出直线的表达式，联立抛物线方程得、点坐标，结合内切圆圆心在上（为角平分线）的条件列方程求解直线的表达式． 【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 顶点的坐标为， 设点，其中， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的表达式为， 点的坐标为， ， ， ，即， 解得，（舍去）， 点的坐标为； （3）解：①，点在新抛物线上． 抛物线的表达式为， 抛物线沿轴向左平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线的表达式为， 点的坐标为， 点在新抛物线上； ②存在，直线的表达式为． 设直线的表达式为（）， 联立与， 得， 解得（舍去），， 点， 同理可得点， 由点，易得直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为， 的内切圆的圆心在直线上，即为的平分线， 而轴， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 直线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、函数图象的平移、三角形面积关系、角平分线的性质等知识，熟练掌握二次函数的表达式求解、图象平移规律及几何图形的性质是解题关键． 3．（1）计算：； （2）已知抛物线经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 （1）； （2） 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，用待定系数法求二次函数解析式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值求解即可； （2）直接利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 4．如图，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，直线过点A和点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点P是位于直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，分别与x轴、交于点D、E，过点D作交于点F，求的最小值及此时点P的坐标； (3)在（2）问取得最小值的情况下，将点P向下平移个单位长度得到点，将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y，将直线向右平移9个单位长度得到直线．设抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）根据题意求得点A和点C，点A、点B和点C代入即可求得解析式； （2）根据（1）得和，利用平行线分线段成比例，即可求得，设，即有和，进一步求得和的长，代入式子利用二次函数的性质即可求得大最值和对应点P的坐标； （3）利用平移的性质求得点，，，联立解得点M和点N，设，有，和，分类讨论即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵直线过点A和点C， ∴，， ∵抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C， ∴，解得， 则抛物线． （2）根据（1）得，， ∵， ∴， 则， 设，则，， ∴，，， ∴，， 则， 当时，的最小值，此时点P的坐标． （3）∵将点P向下平移个单位长度得到点， ∴， ∵将原抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线y， ∴， ∵将直线向右平移9个单位长度得到直线 ∴， ∵抛物线y与直线的交点为点M、N（点M在点N的左边）， ∴，解得或， 则，， 设，则，， ， 当时，，解得； 当时，，解得； 故点或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求解析式、平行线分线段成比例、坐标的平移、两点之间距离和等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的性质，并结合分类讨论思想是解题的关键． 5．设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线解析式的计算，设，把代入，确定a值即可． 【详解】∵抛物线过点，且顶点为， ∴设， ∴， 解得， 故抛物线解析式为或． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定； （1）用待定系数法解二次函数的解析式即可； （2）分别计算临界点、时，相对应的的值，再结合图象解题即可； （3）过点作轴于点，由题意设，证明是等腰直角三角形，进而根据列出方程，解一元二次方程解题． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）当时，即抛物线与轴的交点， 当时，， 即， ， 结合图象可得， 当时，或； （3）解：，当时，， ∴， ∵、、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点，    ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵点在第二象限， ∴， ∴ ∴ 解得： 即点的横坐标是． 7．已知二次函数的表达式为．      (1)求图象与x轴交点的坐标； (2)画出图象； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴交点问题，画二次函数图象，二次函数与不等式的关系． （1）令，解一元二次方程即可； （2）列表、描点、连线作图即可； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：对于，令， 则， 解得或， ∴图象与x轴交点的坐标为和； （2）解：列表： ... ... 描点，联系作图如下： （3） 解：当时，， 由（1）知当时，， ∴由图象可得当时，， 故答案为：． 8．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)4；3 (3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象； （2）结合图表回答，即可解答； （3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答． 【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，   ； （2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为； 故答案为：4；3； （3）解：设抛物线的解析式为， 把，，，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ， 答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键． 9．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，掌握二次函数的图像与性质．学会利用数形结合是解题的关键． （1）用配方法可以得到解答； （2）根据二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据二次函数的性质画出图象即可； 【详解】（1）解： 即 （2）解： ∴顶点坐标为． 当时，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 二次函数的图象如图所示： ； （3）解：函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后变为： ，即； 如图所示． 10．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程． 小强根据学习函数的经验，对函数图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）如表是y与x的几组对应值，请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象： … -2 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （3）观察函数图象，写出该函数的一条性质． （4）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）任意实数；（2）-1，，，；补图见解析；（3）轴对称图形；（4）-2.3≤x≤-0.2或x≥1.7． 【分析】(1)根据分母不为零分式有意义，即可得出结论； (2)根据自变量与函数值的对应关系，再根据描点进行连线即可； (3)由函数图象，可得出图形是轴对称图形； (4)结合函数图象，求出和的交点，即可得出结论． 【详解】(1)，由于 ，故的值可以为任意值， ∴自变量的取值范围是：任意实数； (2)∵当时， ∴， 当时，， ∴表格如图所示： ∴函数图象如图所示： (3)∵一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形， ∴函数图象是轴对称图形； (4)∵， ∴， ∴， ∴，， . ∴的解集为： 或． 【点睛】本题考查了函数的性质,利用描点法画函数图象,利用图象得出函数的性质是解题的关键． 11．已知二次函数． (1)请在坐标系中画出二次函数的图象； (2)观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程的解：_______； ②当时，x的取值范围是_______； (3)观察函数图象，请写出一条函数的性质：_______． 【答案】(1)见解析； (2)①，；②或； (3)该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象画法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质是解题的关键． （1）先确定二次函数的顶点坐标，再找几个特殊点，然后描点连线画出图象． （2）①方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标，通过观察图象可得． ②当时，的取值范围是二次函数图象在轴上方部分对应的横坐标范围，观察图象可得． （3）从二次函数的顶点、对称轴、单调性、最值等方面观察图象总结性质． 【详解】（1）解：坐标系中画出二次函数的图象如图所示， （2）解：①∵方程的解是二次函数图象与轴交点的横坐标， 观察图象可知，二次函数图象与轴交点的横坐标为和， ∴方程的解为，． ②当时，二次函数图象在轴上方， 观察图象可知，此时或， ∴的取值范围是或． （3）解：该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小；函数的最小值为（任选一条即可）． 12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为、（点在点左边）． (1)直接写出点、、的坐标． (2)在给定的平面直角坐标系中画出这条抛物线． (3)根据图象写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得A的坐标，令，得到关于x的方程，解方程即可求得B、C的坐标； （2）根据顶点坐标以及与x轴的交点坐标画出函数图象即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点， 在中，令，则， 解得， ∴； （2）解：描点、连线，画出函数图象如图： ； （3）解：由图象可知，当时，x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点，画二次函数图象，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 13．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； (2)降价多少元时，每天的销售利润w最大？ (3)为保证销售利润不低于3200元，求降价的取值范围 【答案】(1)每天能售出盒 (2)降价14元时，每天的销售利润w最大 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可； （3）求出时的的值，利用二次函数的性质，求出自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：每天能售出盒； 答：每天能售出盒； （2）由题意，得：， ∴当时，有最大值为：元； 答：降价14元时，每天的销售利润w最大； （3）当时，， 解得：， ∵，且抛物线的开口向下， ∴． 14．综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【详解】（1）解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； （2）设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 15．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 16．汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【答案】超速了 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，再把代入，把求出的与进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入 得 解得 ∴函数关系式为 将代入，则 整理得， 解得 (负值已舍去)， ∵， ∴超速． 17．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题意，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 18．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为元或元 (3)销售单价为元时，利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可，设与之间的函数关系式为，将点，代入，求出，的值，即可解答； （2）由题意，利润，将代入，求解即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵该函数的图象过，， ∴，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，设利润为，则， ∴当时，， 解得，， ∴销售单价为50元或70元． （3）解：由（2）得到， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是元． 19．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数． （1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4． ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】（1）见解析；（2）①y＝x2﹣8x+15；②抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点 【分析】（1）要证明不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，只要证明b2﹣4ac＞0即可，然后代入数据计算即可； （2）①根据该抛物线的对称轴为直线x＝4，可以求得m的值，从而可以得到抛物线的函数解析式； ②将①的函数解析式，化为顶点式，即可得到把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 【详解】（1）证明：∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数， ∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0， ∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）①∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m的对称轴为直线x＝4， ∴＝4， 解得m＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15； ②∵y＝x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1， ∴该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20．如图，已知抛物线y1=a（x-1）（x-5）和直线y2=-ax-a（其中a0）相交于A，B两点．抛物线y1与x轴交于C、D两点．与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交点于E、F两点． （1）若G点的坐标为（0，5），求抛物线y1和直线y2的解析式． （2）求证：直线y2始终经过抛物线y1的顶点． （3）求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1 【分析】（1）把G（0，5）代入抛物线y1=a（x-1）（x-5）求出a值，即可求抛物线y1和直线y2的解析式； （2）求出抛物线y1的顶点坐标，代入直线y2的解析式，即可作出判断； （3）过A.、B两点作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点，利用平行线分线段成比例定理可求解． 【详解】（1）把G（0，5）代入抛物线y1=a（x-1）（x-5）解得a=1， 所以抛物线解析式为y1=x2-6x+5； 直线解析式为y2=-x-1； （2）y1=a（x-1）（x-5）与x轴交点为(1，0)和(5，0)， 所以其对称轴为直线x=3， ∴顶点坐标为(3，-4a)， 把x=3代入直线解析式y2=-ax-a 得y=-4a， 所以直线y2=-ax-a始终经过该抛物线的顶点(3，-4a)， （3）过A.、B两点作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点， 令y2=-ax-a中y=0，解得x=-1， 即E（-1，0）， 再联立两个解析式：a（x-1）（x-5）=-ax-a， 解得x1=2，x2=3， 所以M（2，0）、 N（3，0）， 由OF//AM/BN得EF:FA:AB=EO:OM:MN=1:2:1. 所以 【点睛】本题考查了二次函数几何综合，涉及知识点有用待定系数法求解析式和平行线分线段成比例定理，通过作平行辅助线得到比例线段是难点． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 【答案】(1)A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； (2)见解析 (3)DE+BF的最大值是9． 【分析】（1）由抛物线y=-x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，即可求出A，B，C坐标； （2）求得△ABC三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形即可； （3）由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y=-x+4，设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4），可得DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-（m-2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9． 【详解】（1）解： y=-x2+x+4中， 令x=0得y=4， 令y=0得x1=-2，x2=8， ∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； （2）证明：∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4）， ∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10， ∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80， ∴AC2+BC2=100， 而AB2=102=100， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°； （3）①设直线BC解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得： ， 解得， ∴直线BC解析式为y=-x+4， 设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4）， ∴DE=（−m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，BF=8-m， ∴DE+BF=（-m2+2m）+（8-m） =-m2+m+8 =-（m-2）2+9， ∴当m=2时，DE+BF的最大值是9． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值等，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 22．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求的值； (2)不论取何实数，该函数总经过一个定点． ①求这个定点的坐标； ②证明：这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）把点当代入中，进行计算即可得； （2）①，令，则，即可得； ②，可得顶点为，根据，得当时，纵坐标有最大值6，则此时，，即抛物线的顶点． 【详解】（1）解：把点当代入中，得 ， ， ， ； （2）解：①， 令，则， 故定点为； ②， ∴顶点为， ∵， ∴当时，纵坐标有最大值6， 此时，，即抛物线的顶点， 故定点是所有顶点中纵坐标的最大值的点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数的性质． 23．如图，抛物线与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C， 对称轴与 x 轴交于点 E，点 D为顶点，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)点 P 为线段上一点，若，求点 P 的坐标； (3)点 M 为抛物线上一点，作，交直线于点 N，若，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) (3)点 M 的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法得到抛物线解析式为，由此得到，运用两点之间距离公式得到，运用勾股定理逆定理即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，设，则，则点，由点的纵坐标相等，代入计算即可求解； （3）根据得到当时，，结合点M的位置分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与 x 轴交于和两点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点 P 为线段上一点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 根据题意得到，， ∴， ∴， 当时，， 如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，且， ∴，即是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵点在直线上， ∴设，，则，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵， ∴，把代入得，， 整理得，， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 如图所示， ∵轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，，则，， ∴，，， ∴，， 整理得，，， ∴， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与三角形面积的计算，相似三角形三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正切值的计算等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． 24．已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分①若对称轴在直线左侧时，即，②若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若，求的值； (3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】（1）在中，当时，，解得：，，求得点A、B的坐标，即可求得答案； （2）当时，利用待定系数法可得直线的解析式为，连接，过点D作轴于点E，由，可得，可得直线的解析式为，联立方程求得，再运用正切函数定义即可求得答案； （3）由平移得新抛物线：，再由的最小值为4，且，可知：点在线段上，即抛物线的对称轴左侧与x轴的交点为P，即求得的取值范围． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴； （2）当时，， ∴顶点， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图1，连接，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线， ∴， 令，得， 解得：， ∵的最小值为4，且， ∴点在线段上，即抛物线在对称轴左侧部分与轴的交点为在线段上， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 26．对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1． （1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 　 　（填序号） （2）函数y＝3x2+bx， ①若其不动长度为0，则b的值为 　 　； ②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围； （3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 　 　． 【答案】（1）①③；（2）①；②；（3）2≤m≤5或m＜． 【分析】（1）由题意得：令y，分别代入解析式求解即可 ． （2）由题意得：y＝3x2+bx，解得：或 ；①若其不动长度为0，则，即可求解 ，②由题意得，﹣2≤b≤2，即可求解． （3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，此时m＜5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，由此即可判断，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝−4，构建方程组，利用Δ＝0求出翻折后的抛物线与直线y＝x相切时，m的值即可判断． 【详解】（1）由题意得：yx，解得： ，故存在不动值； y＝x2+1， ，无解，故不存在不动值； y＝x2﹣2x， ， ， 解得：或，故存在不动值； 故答案为：①③ （2）由题意得：y＝3x2+bx， ， ， 解得：或 ； ①若其不动长度为0，则，解得： ， 故答案为：； ②，﹣2≤b≤2，解得： 即． （3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5， ∴m≤5， 如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5， 如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝ −4， 由 ， 消去y得到＋（−4m＋3）x＋4−8m＝0， 当Δ＝0时， −4（4−8m）＝0， 解得m＝ ， 观察图象可知，m＜时，满足条件， 综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 27．在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴交于定点P． (1)直接写出点P的坐标． (2)当函数图象经过点时，求函数的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标． (3)当时，若函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求m的值． (4)矩形的四个顶点的坐标分别为．当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的表达式为，顶点坐标为 (3)或 (4)或或 【分析】（1）令，求解即可； （2）将点代入函数，求出的值，即可得到解析式，再根据函数解析式即可得到顶点坐标； （3）先求出函数与x轴的交点坐标，分两种情况讨论，利用抛物线图象的性质即可解答； （4）先求出矩形也关于对称，再分函数（m为常数）的图象过点D时，同时过点C，函数（m为常数）图象与（除）各一个交点，函数（m为常数）图象与（除）有个交点，三种情况，画出示意图，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴函数（m为常数）的图象与x轴交于定点， ∴； （2）解：根据题意：， 解得：， ∴函数的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）解：令， 解得：， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象关于对称， ∵， ∴函数的图象开口向下， ∵， 当时，则，函数有最大值为， ∵函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1， ∴，即， 解得：或（舍去）或或（舍去）， 当时，则，函数有最大值为， ∵函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1， ∴，即， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，m的值为或； （4）解：由（3）知函数的图象与x轴的交点坐标为，且当，函数有最大值为， ∴函数（m为常数）的图象关于对称， 矩形的四个顶点的坐标分别为， ∵矩形中边的中点横坐标为：， ∴矩形也关于对称， 如图，当函数（m为常数）的图象过点D时，同时过点C，此时矩形有两个交点，    则， 解得：； 如图，当函数（m为常数）图象与（除）各一个交点时，    则，且， ∴，且， 令， 解得：或， ∵， ∴， ∴； 如图，当函数（m为常数）图象与（除）有个交点时，    则，且， ∴，且， 令， 解得：或， ∵， ∴或， ∴； 综上，当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，m的取值范围为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、矩形的性质、解一元二次方程、二次函数与不等式，分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 28．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；方案二是“”形内部支架（由线段构成），点在上运动（在的左边，且均不与重合），，点在抛物线上，均垂直于分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件， ①方案一的内部支架需要材料多少米？ ②方案二的内部支架最多需要材料多少米？并求出此时的长． 【答案】(1) (2)①米；②方案二内部支架最多需要材料20米，此时米 【分析】（1）根据题意先确定抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）①由题意得是顶点到底部的距离为9米，根据可求出，的长度，代入抛物线表达式即可求出，的长度，从而得到方案一的内部支架需要材料多少米； ②设米，可求出米，（米），代入抛物线表达式即可求出，的长度，方案二的内部支架需要材料的长度是关于的二次函数，求出最值和此时的取值即可； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的表达式和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米， ∴顶点为抛物线的顶点，坐标为，点，点， 设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：， 即； （2）解：①∵米，， ∴米，米， ∴当时，， 即米， 当时，， 即米， 方案一内部支架材料长度为（米）； ②设米， ∴（米），（米） ∴当时，， 即米， 当时，， 即米， ∴方案二内部支架材料长度为： ， 当时，方案二内部支架最多需要材料20米，此时米． 29．已知是x的二次函数． (1)当m取何值时，该二次函数的图象开口向下？ (2)在（1）的条件下 ①当时，求y的取值范围： ②当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点， （1）先根据二次函数的定义及性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可； （2）①求出与时y的对应值，进而可得出结论；②求出与时x的对应值，进而可得出结论； 熟练掌握函数图象与性质是解决此题的关键． 【详解】（1）（1）∵是x的二次函数，该二次函数的图象开口向下， ∴， 解得； （2）（2）①由（1）得：， ∵当时，，当时，，而时，y的最大值为0； ∴； ②∵时，，当， ∴． 30．已知二次函数（a为常数，且）， (1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． (3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2)的值为或； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据交点确定不等式的解集，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，即可得的值，从而得二次函数解析式，求出二次函数与轴的交点坐标即可得到结论； （2）由二次函数解析式结合，可求出，代入，可求的值； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得，， ∴， 令，即， 解得，，， 又， ∴抛物线开口向下， ∴时，的取值范围为或； 故答案为：；或； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解：； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解：； 综上，的值为或； （3）解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上， ∴ ∴， ②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点， 将点代入，得， 解得，； 将代入得：， 解得，， 如图，此时抛物线与线段有两个交点， 综上，抛物线与只有一个交点时，或． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $