第二十六章 二次函数-题型过关专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册考点解惑

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过思维导图、表格对比、分层题型构建二次函数完整认知体系，突出数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与形式|3类定义辨析题|三形式互化（待定系数法）|从整式函数定义出发，通过系数特征区分三种表达式适用场景| |图象与性质|6类图象分析题|平移规律“左加右减”，系数几何意义“左同右异”|以抛物线对称性为核心，构建a/b/c与开口/对称轴/最值的关联| |方程与不等式|3类综合题|Δ符号判定交点个数，图象法解不等式|建立函数图象与方程根、不等式解集的几何直观联系| |实际应用|4类情境题|四步建模法（设变量-列解析式-求最值-验证）|将利润/面积/运动问题抽象为二次函数最值模型，培养应用意识|

第二十六章 二次函数 思维导图 26.1 二次函数的概念 1. 二次函数的定义 一般地，形如y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2. 定义的注意要点 · 二次项系数a ≠ 0是定义的核心条件，如果a = 0，函数退化为一次函数y = bx + c或常数函数，不再是二次函数； · 二次函数中自变量x的最高次数为 2，必须包含二次项，一次项和常数项可以省略，即b和c可以为 0，例如y = ax²、y = ax² + bx都属于二次函数； · 二次函数是整式函数，等式右边必须是整式，如果分母中含有自变量或根号下含有自变量，都不属于二次函数。 3. 二次函数的常见形式 · 一般式：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，是二次函数的标准表达形式，可以直接读出各项系数； · 顶点式：y = a(x - h)² + k (a ≠ 0)，可以直接读出二次函数图象的顶点坐标为(h, k)； · 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂) (a ≠ 0)，其中x₁、x₂是二次函数图象与x轴交点的横坐标，仅当二次函数图象与x轴有交点时可以使用该形式。 26.2 二次函数的图象与性质 1. 二次函数图象的基本特征 二次函数的图象是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，任意二次函数都有且仅有一条对称轴。抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。 2. 特殊二次函数的图象与性质 函数形式 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y = ax² (a>0) 向上 (0, 0) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 当x=0时，y有最小值0 y = ax² (a<0) 向下 (0, 0) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 当x=0时，y有最大值0 y = ax² + k (a>0) 向上 (0, k) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 当x=0时，y有最小值k y = ax² + k (a<0) 向下 (0, k) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 当x=0时，y有最大值k y = a(x-h)² (a>0) 向上 (h, 0) 直线x=h x<h时，y随x增大而减小；x>h时，y随x增大而增大 当x=h时，y有最小值0 y = a(x-h)² (a<0) 向下 (h, 0) 直线x=h x<h时，y随x增大而增大；x>h时，y随x增大而减小 当x=h时，y有最大值0 3. 顶点式y = a(x - h)² + k的性质 · 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下； · |a|的大小决定抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽； · 顶点坐标：(h, k)，对称轴：直线x = h； · 增减性：a > 0时，对称轴左侧（x < h）y随x增大而减小，对称轴右侧（x > h）y随x增大而增大；a < 0时，对称轴左侧（x < h）y随x增大而增大，对称轴右侧（x > h）y随x增大而减小； · 最值：a > 0时，当x = h，y有最小值k；a < 0时，当x = h，y有最大值k。 4. 一般式y = ax² + bx + c (a ≠ 0)的性质 · 开口方向、开口宽窄、增减性规律与顶点式一致，由二次项系数a决定； · 顶点坐标：（）； · 对称轴：直线x =； · 最值：a > 0时，当x = ，y有最小值；a < 0时，当x = ，y有最大值。 5. 抛物线的平移规律 抛物线的平移本质是顶点位置的平移，平移前后二次项系数a保持不变，因此平移问题一般先将一般式化为顶点式，再根据顶点位置变化得到平移后的解析式，平移规律可总结为： 左加右减自变量，上加下减常数项 · 左右平移：将抛物线y = a(x - h)² + k向左平移m（m>0）个单位，所得解析式为y = a(x - h + m)² + k；向右平移m个单位，所得解析式为y = a(x - h - m)² + k； · 上下平移：将抛物线y = a(x - h)² + k向上平移n（n>0）个单位，所得解析式为y = a(x - h)² + k + n；向下平移n个单位，所得解析式为y = a(x - h)² + k - n。 6. 二次函数解析式的求法（待定系数法） · 已知任意三个点的坐标，或任意三组x、y对应值，选择一般式，代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解得到系数即可； · 已知顶点坐标（或对称轴、最值），再任意给一个点的坐标，选择顶点式，代入顶点坐标后，仅需解关于a的一元一次方程即可得到解析式，最后可化为一般式； · 已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标（x₁, 0）、（x₂, 0），再任意给一个点的坐标，选择交点式，代入交点坐标后，仅需解关于a的一元一次方程即可得到解析式，最后可化为一般式。 7. 系数a、b、c的几何意义 · a：决定开口方向和开口大小，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越窄； · a、b共同决定对称轴位置：对称轴公式为x = ，根据对称轴位置与y轴（x=0）的关系，可以得到a、b的符号关系： · 对称轴在y轴左侧 ⇨< 0 ⇨ ab > 0，即a、b同号； · 对称轴在y轴右侧 ⇨> 0 ⇨ ab < 0，即a、b异号，可总结为“左同右异”； · 对称轴是y轴 ⇨b = 0。 · c：决定抛物线与y轴交点的位置，抛物线与y轴交点坐标为（0, c）： · c>0，抛物线与y轴交于正半轴； · c=0，抛物线过原点； · c<0，抛物线与y轴交于负半轴。 · b² - 4ac：决定抛物线与x轴交点的个数，对应关系见下一节内容。 · 特殊点的函数值：当x=1时，y=a+b+c；当x=-1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=-2时，y=4a-2b+c，可以根据这些特殊点的函数符号判断代数式的正负。 26.3 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，当函数值y=0时，x满足的方程就是一元二次方程ax² + bx + c = 0；从图象上看，一元二次方程ax² + bx + c = 0的根就是二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交点的横坐标。 2. 抛物线与x轴交点个数和一元二次方程根的关系 设一元二次方程ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)的根的判别式为Δ = b² - 4ac，对应关系如下： 判别式Δ 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点个数 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ = 0 两个相等的实数根 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 没有实数根 没有交点 3. 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象可以直接得到一元二次不等式的解集，规则如下： · 若抛物线开口向上（a>0），且与x轴有两个交点，交点横坐标为x₁<x₂，则： · ax² + bx + c > 0的解集为x < x₁或x > x₂； · ax² + bx + c < 0的解集为x₁ < x < x₂。 · 若抛物线开口向下（a<0），且与x轴有两个交点，交点横坐标为x₁<x₂，则： · ax² + bx + c > 0的解集为x₁ < x < x₂； · ax² + bx + c < 0的解集为x < x₁或x > x₂。 4. 抛物线与直线的交点 求抛物线y = ax² + bx + c (a ≠ 0)与直线y = mx + n (m ≠ 0)的交点坐标，联立两个解析式得到方程组：，消去y得到一元二次方程ax² + (b - m)x + (c - n) = 0，该方程的解就是交点的横坐标，代入直线方程即可得到纵坐标，交点个数由该方程的判别式决定：判别式大于0时有两个交点，等于0时有一个交点，小于0时没有交点。 26.4 实际问题与二次函数 1. 利用二次函数解决最值问题的基本思路 二次函数的图象顶点是抛物线的最高点或最低点，因此可以利用二次函数的顶点性质求解实际问题中的最大（小）值，基本步骤为： 1. 设变量：设定问题中的自变量和因变量，明确变量之间的关系； 2. 列解析式：根据问题中的等量关系，列出二次函数解析式，同时确定自变量的取值范围（需要满足实际意义）； 3. 求最值：利用二次函数的顶点性质，求出函数的最大（小）值，需要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内： · 如果顶点横坐标在取值范围内，顶点的纵坐标就是对应的最值； · 如果顶点横坐标不在取值范围内，需要根据二次函数在取值范围内的增减性判断端点的函数值，得到最值。 4. 答：结合实际问题作答，验证结果是否符合实际要求。 2. 常见的实际问题类型 (1) 利润最值问题 基本等量关系：总利润 = （单价 - 成本）× 销售量 = 总销售额 - 总成本 解题时一般设涨价或降价的金额为自变量x，总利润为因变量y，根据题目给出的销售量随价格变化的规律，列出y关于x的二次函数，再求顶点的函数值得到最大利润。 (2) 图形面积最值问题 利用几何图形的面积公式，结合给定的周长、边长限制等条件，将面积表示为某一边长的二次函数，确定自变量的取值范围后求面积的最值，常见的有矩形面积最大、围城图形面积最大等问题。 (3) 抛球问题/抛物线型实际问题 抛射物体的运动轨迹、抛物线型拱桥、抛物线型隧道、抛物线型喷泉等问题都可以建立平面直角坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出抛物线解析式，再利用二次函数性质求解高度、水平宽度、最大高度等问题。 (4) 动点问题 图形中有动点运动时，某一图形的面积、线段长度等随动点位置变化，将变化的量表示为动点位置坐标的二次函数，再求解最值或特定位置的参数。 【类型一】二次函数的定义 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【类型二】列二次函数关系式 1．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【类型三】抛物线与坐标轴的交点问题 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 3．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【类型四】y=ax²的图象与性质 1．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 3．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【类型五】y=ax²+k的图象与性质 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 3．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【类型六】y=a(x-h)²的图象与性质 1．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 3．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【类型七】y=a(x-h)²+k的图象与性质 1．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 2．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 3．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【类型八】y=ax²+bx+c的图象与性质 1．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 2．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 3．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【类型九】二次函数与一元二次方程 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 2．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 3．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【类型十】画二次函数图象 1．在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 3．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． 【类型十一】二次函数的应用一投球问题 1．体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名米的运动员，从A点跳离地面高度米时，球在头顶米处B点出手，当篮球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式； (2)在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为，请通过计算判断运动员此次投篮的得分． 2．高尔夫球是一项具有特殊魅力的运动，它能让人们在优美的环境中锻炼身体、陶冶情操、修身养性、交流技巧，同时也被誉为“时尚优雅的运动”．如图，以的速度将高尔夫球沿与地面成角的方向击出时，高尔夫球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，高尔夫球飞行时离地面的高度（单位：）与飞行的时间（单位：）之间具有函数关系：．    该二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表； 0 1 2 3 4 0 20 15 0    (1)写出的值________，并画出函数图象； (2)当飞行时间________时，高尔夫球高度达到最高； (3)求高尔夫球飞行高度为时所用的时间． 3．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的相关数据信息，如下所示： 信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 10 竖直距离 1.87 2.95 3.31 2.95 0.07 建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下： 信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同； 信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为时达到了竖直高度的最大值． 根据以上信息，回答问题： (1)直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值_________ (2)求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系； (3)记甲实心球成绩为，乙实心球成绩为，则_________（填“”、“”或“”）． 【类型十二】二次函数的应用一图形问题 1．如图，在边长为的正方形各边上取点（可与重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为． (1)关于的函数表达式是___________，自变量的取值范围是___________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，正方形面积有最小值___________． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽，相框内的面积为． (1)写出与的函数关系式； (2)画出这个函数的图象； (3)当，，时，分别可以放入多大的相片？ 3．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． (1)若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； (2)求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； (5)结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 【类型一】二次函数的增减性求参 1．已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 2．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【类型二】二次函数的对称性求参 1．若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 2．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【类型三】一次函数与二次函数的图象 1．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【类型四】二次函数图象与各项系数符号 1．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【类型五】二次函数的应用—喷池与拱桥问题 1．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 2．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 3．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【类型六】二次函数的应用—销售问题 1．党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出 件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 2．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100千克．生产该产品每盒需要A原料2千克和B原料4千克，每盒还需其他成本9元． (1)求A，B两种原料的单价分别是每千克多少元？并直接写出每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； (2)市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元． ①求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； ②求每天的利润的最大值． 3．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【类型七】二次函数的应用—周长与面积问题 1．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 3．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【类型八】二次函数的应用一几何动点问题 1．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 2．如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 3．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【类型一】二次函数的配方最值 1．若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 【类型二】二次函数的增减性最值 1．抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 2．已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 3．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【类型三】二次函数的几何最值 1．如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） 当时，；；有最小值，最小值为；有最小值，最小值为． A． B． C． D． 2．如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 3．如图，E是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点P，F分别是的中点．若，则下列结论正确的序号为___________。 ①的最小值为  ②的最小值为       ③周长的最小值为6      ④四边形面积的最小值为 【类型四】二次函数的铅垂高最值 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 2．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型五】二次函数中的特殊三角形 1．如图，二次函数与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线下方的抛物线上有一动点P，直线上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标． (4)点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）已知点在该抛物线上，点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作轴交该抛物线于点Q，连接BQ、BF、FQ，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标． 【类型六】二次函数中的特殊四边形 1．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且． （1）求的值； （2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 3．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【类型七】二次函数中的等角与倍角 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 2．如图1，抛物线的顶点B的在x轴上．点A为抛物线与y轴交点． (1)求m的值； (2)点C在y轴上，，连接，抛物线上存在点一点D，连接交于点E，使得，求点D的坐标； (3)如图2，若直线l恒过点，且与抛物线交于M，N两点，点M在点N的左侧，请问的值是否是一个定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【类型八】二次函数中的定值与比值 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． (1)求该二次函数的表达式； (2)若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； (3)如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 3．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【类型九】二次函数的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 2．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 3．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 1．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 3．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 4．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的顶点坐标为________． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 7．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 8．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 9．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 10．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）我们规定：为二次函数（，，，为实数）的“概念数”，如：的“概念数”为，若“概念数”是，且开口向上的二次函数图象与轴只有一个交点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点，则这个二次函数解析式可以是________． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 7．（25-26九年级下·广东河源·期中）已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x的增大而减小； ③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1； ④若，则关于x的方程的正数根只有1个． 其中正确的是________．（填序号）． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知抛物线． (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，则关于 x 的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 3．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 6．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 7．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 思维导图 26.1 二次函数的概念 1. 二次函数的定义 一般地，形如y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2. 定义的注意要点 · 二次项系数a ≠ 0是定义的核心条件，如果a = 0，函数退化为一次函数y = bx + c或常数函数，不再是二次函数； · 二次函数中自变量x的最高次数为 2，必须包含二次项，一次项和常数项可以省略，即b和c可以为 0，例如y = ax²、y = ax² + bx都属于二次函数； · 二次函数是整式函数，等式右边必须是整式，如果分母中含有自变量或根号下含有自变量，都不属于二次函数。 3. 二次函数的常见形式 · 一般式：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，是二次函数的标准表达形式，可以直接读出各项系数； · 顶点式：y = a(x - h)² + k (a ≠ 0)，可以直接读出二次函数图象的顶点坐标为(h, k)； · 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂) (a ≠ 0)，其中x₁、x₂是二次函数图象与x轴交点的横坐标，仅当二次函数图象与x轴有交点时可以使用该形式。 26.2 二次函数的图象与性质 1. 二次函数图象的基本特征 二次函数的图象是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，任意二次函数都有且仅有一条对称轴。抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。 2. 特殊二次函数的图象与性质 函数形式 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y = ax² (a>0) 向上 (0, 0) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 当x=0时，y有最小值0 y = ax² (a<0) 向下 (0, 0) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 当x=0时，y有最大值0 y = ax² + k (a>0) 向上 (0, k) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 当x=0时，y有最小值k y = ax² + k (a<0) 向下 (0, k) y轴（直线x=0） x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 当x=0时，y有最大值k y = a(x-h)² (a>0) 向上 (h, 0) 直线x=h x<h时，y随x增大而减小；x>h时，y随x增大而增大 当x=h时，y有最小值0 y = a(x-h)² (a<0) 向下 (h, 0) 直线x=h x<h时，y随x增大而增大；x>h时，y随x增大而减小 当x=h时，y有最大值0 3. 顶点式y = a(x - h)² + k的性质 · 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下； · |a|的大小决定抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽； · 顶点坐标：(h, k)，对称轴：直线x = h； · 增减性：a > 0时，对称轴左侧（x < h）y随x增大而减小，对称轴右侧（x > h）y随x增大而增大；a < 0时，对称轴左侧（x < h）y随x增大而增大，对称轴右侧（x > h）y随x增大而减小； · 最值：a > 0时，当x = h，y有最小值k；a < 0时，当x = h，y有最大值k。 4. 一般式y = ax² + bx + c (a ≠ 0)的性质 · 开口方向、开口宽窄、增减性规律与顶点式一致，由二次项系数a决定； · 顶点坐标：（）； · 对称轴：直线x =； · 最值：a > 0时，当x = ，y有最小值；a < 0时，当x = ，y有最大值。 5. 抛物线的平移规律 抛物线的平移本质是顶点位置的平移，平移前后二次项系数a保持不变，因此平移问题一般先将一般式化为顶点式，再根据顶点位置变化得到平移后的解析式，平移规律可总结为： 左加右减自变量，上加下减常数项 · 左右平移：将抛物线y = a(x - h)² + k向左平移m（m>0）个单位，所得解析式为y = a(x - h + m)² + k；向右平移m个单位，所得解析式为y = a(x - h - m)² + k； · 上下平移：将抛物线y = a(x - h)² + k向上平移n（n>0）个单位，所得解析式为y = a(x - h)² + k + n；向下平移n个单位，所得解析式为y = a(x - h)² + k - n。 6. 二次函数解析式的求法（待定系数法） · 已知任意三个点的坐标，或任意三组x、y对应值，选择一般式，代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解得到系数即可； · 已知顶点坐标（或对称轴、最值），再任意给一个点的坐标，选择顶点式，代入顶点坐标后，仅需解关于a的一元一次方程即可得到解析式，最后可化为一般式； · 已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标（x₁, 0）、（x₂, 0），再任意给一个点的坐标，选择交点式，代入交点坐标后，仅需解关于a的一元一次方程即可得到解析式，最后可化为一般式。 7. 系数a、b、c的几何意义 · a：决定开口方向和开口大小，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越窄； · a、b共同决定对称轴位置：对称轴公式为x = ，根据对称轴位置与y轴（x=0）的关系，可以得到a、b的符号关系： · 对称轴在y轴左侧 ⇨< 0 ⇨ ab > 0，即a、b同号； · 对称轴在y轴右侧 ⇨> 0 ⇨ ab < 0，即a、b异号，可总结为“左同右异”； · 对称轴是y轴 ⇨b = 0。 · c：决定抛物线与y轴交点的位置，抛物线与y轴交点坐标为（0, c）： · c>0，抛物线与y轴交于正半轴； · c=0，抛物线过原点； · c<0，抛物线与y轴交于负半轴。 · b² - 4ac：决定抛物线与x轴交点的个数，对应关系见下一节内容。 · 特殊点的函数值：当x=1时，y=a+b+c；当x=-1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=-2时，y=4a-2b+c，可以根据这些特殊点的函数符号判断代数式的正负。 26.3 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，当函数值y=0时，x满足的方程就是一元二次方程ax² + bx + c = 0；从图象上看，一元二次方程ax² + bx + c = 0的根就是二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交点的横坐标。 2. 抛物线与x轴交点个数和一元二次方程根的关系 设一元二次方程ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)的根的判别式为Δ = b² - 4ac，对应关系如下： 判别式Δ 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点个数 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ = 0 两个相等的实数根 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 没有实数根 没有交点 3. 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象可以直接得到一元二次不等式的解集，规则如下： · 若抛物线开口向上（a>0），且与x轴有两个交点，交点横坐标为x₁<x₂，则： · ax² + bx + c > 0的解集为x < x₁或x > x₂； · ax² + bx + c < 0的解集为x₁ < x < x₂。 · 若抛物线开口向下（a<0），且与x轴有两个交点，交点横坐标为x₁<x₂，则： · ax² + bx + c > 0的解集为x₁ < x < x₂； · ax² + bx + c < 0的解集为x < x₁或x > x₂。 4. 抛物线与直线的交点 求抛物线y = ax² + bx + c (a ≠ 0)与直线y = mx + n (m ≠ 0)的交点坐标，联立两个解析式得到方程组：，消去y得到一元二次方程ax² + (b - m)x + (c - n) = 0，该方程的解就是交点的横坐标，代入直线方程即可得到纵坐标，交点个数由该方程的判别式决定：判别式大于0时有两个交点，等于0时有一个交点，小于0时没有交点。 26.4 实际问题与二次函数 1. 利用二次函数解决最值问题的基本思路 二次函数的图象顶点是抛物线的最高点或最低点，因此可以利用二次函数的顶点性质求解实际问题中的最大（小）值，基本步骤为： 1. 设变量：设定问题中的自变量和因变量，明确变量之间的关系； 2. 列解析式：根据问题中的等量关系，列出二次函数解析式，同时确定自变量的取值范围（需要满足实际意义）； 3. 求最值：利用二次函数的顶点性质，求出函数的最大（小）值，需要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内： · 如果顶点横坐标在取值范围内，顶点的纵坐标就是对应的最值； · 如果顶点横坐标不在取值范围内，需要根据二次函数在取值范围内的增减性判断端点的函数值，得到最值。 4. 答：结合实际问题作答，验证结果是否符合实际要求。 2. 常见的实际问题类型 (1) 利润最值问题 基本等量关系：总利润 = （单价 - 成本）× 销售量 = 总销售额 - 总成本 解题时一般设涨价或降价的金额为自变量x，总利润为因变量y，根据题目给出的销售量随价格变化的规律，列出y关于x的二次函数，再求顶点的函数值得到最大利润。 (2) 图形面积最值问题 利用几何图形的面积公式，结合给定的周长、边长限制等条件，将面积表示为某一边长的二次函数，确定自变量的取值范围后求面积的最值，常见的有矩形面积最大、围城图形面积最大等问题。 (3) 抛球问题/抛物线型实际问题 抛射物体的运动轨迹、抛物线型拱桥、抛物线型隧道、抛物线型喷泉等问题都可以建立平面直角坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出抛物线解析式，再利用二次函数性质求解高度、水平宽度、最大高度等问题。 (4) 动点问题 图形中有动点运动时，某一图形的面积、线段长度等随动点位置变化，将变化的量表示为动点位置坐标的二次函数，再求解最值或特定位置的参数。 【类型一】二次函数的定义 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 3．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【类型二】列二次函数关系式 1．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 【类型三】抛物线与坐标轴的交点问题 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 3．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 【类型四】y=ax²的图象与性质 1．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 2．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 3．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 【类型五】y=ax²+k的图象与性质 1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 3．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)表见解析，图见解析； (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【类型六】y=a(x-h)²的图象与性质 1．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 2．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 3．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 【类型七】y=a(x-h)²+k的图象与性质 1．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 2．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 3．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【类型八】y=ax²+bx+c的图象与性质 1．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 2．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 3．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 【类型九】二次函数与一元二次方程 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 2．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 3．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 【类型十】画二次函数图象 1．在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 3．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把二次函数转化为顶点式，得到顶点坐标，再描点作图即可； （3）根据二次函数的性质，结合最值可得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：由表格可知二次函数过点， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）解：， 则顶点坐标为， 作图见答案； （3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为， 时，二次函数取得最小值， 又时，函数的最小值为， ，解得． 【类型十一】二次函数的应用一投球问题 1．体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名米的运动员，从A点跳离地面高度米时，球在头顶米处B点出手，当篮球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式； (2)在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为，请通过计算判断运动员此次投篮的得分． 【答案】(1) 以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图 (2)2分 【分析】（1）以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点设该抛物线的解析式为，将代入求出得，即可解答； （2）将代入抛物线表达式，求出（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为，再与比较，即可解答． 【详解】（1）解：如图， ∴（米），米， ∴ ∵当篮球运行的水平距离为米时，且达到最大高度米， ∴设该抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入抛物线表达式，得 ， ， 解得（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为， ∵三分线与篮筐中心的水平距离为，， ∴此次投篮在三分线内，得分为2分． 2．高尔夫球是一项具有特殊魅力的运动，它能让人们在优美的环境中锻炼身体、陶冶情操、修身养性、交流技巧，同时也被誉为“时尚优雅的运动”．如图，以的速度将高尔夫球沿与地面成角的方向击出时，高尔夫球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，高尔夫球飞行时离地面的高度（单位：）与飞行的时间（单位：）之间具有函数关系：．    该二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表； 0 1 2 3 4 0 20 15 0    (1)写出的值________，并画出函数图象； (2)当飞行时间________时，高尔夫球高度达到最高； (3)求高尔夫球飞行高度为时所用的时间． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)高尔夫球飞行高度为时所用的时间是1秒或3秒 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）把代入函数解析式，即可解答；利用描点法画出抛物线的图象即可； （2）利用二次函数的性质，求得抛物线的对称轴，即可解答； （3）把代入函数解析式，解方程即可，熟知抛物线在顶点时，取到最大值，且顶点横坐标为是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； 图象如图所示： （2）解：， 时，高尔夫球高度达到最高， 故答案为：2． （3）解：当时，可得 ， 答：高尔夫球飞行高度为时所用的时间是1秒或3秒．    3．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的相关数据信息，如下所示： 信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 10 竖直距离 1.87 2.95 3.31 2.95 0.07 建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下： 信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同； 信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为时达到了竖直高度的最大值． 根据以上信息，回答问题： (1)直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值_________ (2)求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系； (3)记甲实心球成绩为，乙实心球成绩为，则_________（填“”、“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出的值，从而得到答案； （2）设甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为：，将代入关系式求出的值即可得到答案； （3）利用待定系数法求出乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为：，再分别求出、，进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， ，， 甲投掷的实心球竖直高度的最大值为， 故答案为：； （2）解：设甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为：， 将代入关系式得：， 解得：， 甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为； （3）解：乙投掷后，实心球的水平距离为时达到了竖直高度的最大值， 设乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为：， 甲、乙两人投掷时，出手高度相同， 将代入关系式得：， 解得：， 乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为：， 在中，令，则， 解得：（负值舍去）， ， 在中，令，则， 解得：（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【类型十二】二次函数的应用一图形问题 1．如图，在边长为的正方形各边上取点（可与重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为． (1)关于的函数表达式是___________，自变量的取值范围是___________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，正方形面积有最小值___________． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定，求出函数解析式是解决本题的关键． （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形，四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解；如下图所示，函数图象即为所求； （3）解：， 当时，最小，最小值为8， 当时，正方形面积有最小值， 故答案为：，． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽，相框内的面积为． (1)写出与的函数关系式； (2)画出这个函数的图象； (3)当，，时，分别可以放入多大的相片？ 【答案】(1) (2)函数图象如图所示； (3)分别可以放入面积为，，的相片 【分析】（1）由四周相框边的宽度相同，进一步求出相框内部的长和宽，从而能求出内部的面积； （2）通过列表、描点、连线的方法确定其函数图象； （3）把的值分别代入函数解析式求得对应的值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ． （2）解：列表： 图略； （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 分别可以放入面积为，，的相片． 3．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． (1)若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； (2)求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； (5)结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 【答案】(1) (2)自变量x的取值范围是 (3) (4)见解析 (5)2 【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），矩形的面积长宽，即可列出函数表达式； （2）根据矩形的边长为正数，列出不等式，即可得出答案； （3）把代入解析式计算即可； （4）根据表格中的坐标描点画图即可； （5）结合图象可得时，y有最大值． 【详解】（1）解：∵矩形的周长为8，面积为y，矩形的一边长为x， ∴； （2）解：根据题意，且， ∴且， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：把代入得： ， ∴； （4）解：函数图象如图所示： ； （5）解：根据函数图象，当时，y有最大值，即时，矩形的面积最大． 【类型一】二次函数的增减性求参 1．已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 2．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 3．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【类型二】二次函数的对称性求参 1．若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】先根据二次函数过和求出对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时点到对称轴的距离越远，函数值越大，再比较、两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：在二次函数，当时，， ∴二次函数过点， 又∵图象过，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，到对称轴的距离为，计算得， ∴， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵点横坐标为，到对称轴的距离为， ∴，解不等式得，观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 2．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 3．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 【类型三】一次函数与二次函数的图象 1．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 2．如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象得到，，，进而得到，，根据一次函数图象的性质即可． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限． 3．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 【类型四】二次函数图象与各项系数符号 1．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由抛物线的对称轴得到，即可判断③；由当和当时的函数值即可判定②；由抛物线的最大值即可判断④；由，得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象的开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与 轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，则， ∴， 故③正确； 当时，抛物线有最大值为，则， 当时，，则； 综上可知，，故②正确； 当时，抛物线有最大值为； 当时，抛物线， ，则，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个． 2．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 3．如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 【类型五】二次函数的应用—喷池与拱桥问题 1．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 2．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 3．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 【类型六】二次函数的应用—销售问题 1．党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出 件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据“单价每降低元，每天可多售出件”可知数量是原来的数量加上新增的数量，直接套用“新增数量降低的价格”即可； （2）根据“单件利润售价进价”，“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的顶点式求出当售价为多少时，日利润最大； （3）利用“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，因为为正整数，且当时取得最大值，所以二次函数的对称轴在和之间，将对称轴代入求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，降低了元， 卖出件； （2）解：设这批商品的日利润为元， 由题意得； ∴当时，取得最大值元， 即当售价为元时，这批商品的日利润最大为元； （3）解：由题意知， ∵二次函数开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 又∵在售价为元时可获得最大日利润， ∴， 解得． 2．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100千克．生产该产品每盒需要A原料2千克和B原料4千克，每盒还需其他成本9元． (1)求A，B两种原料的单价分别是每千克多少元？并直接写出每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； (2)市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元． ①求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； ②求每天的利润的最大值． 【答案】(1)A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元．每盒产品的成本为30元． (2)①；②最大利润为16000元 【分析】（1）设B原料的单价为每千克m元，则A原料的单价为每千克元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）①根据“该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．”即可列出函数关系式； ②利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设B原料的单价为每千克m元，则A原料的单价为每千克元， 依题意，得． 解得，． 经检验是原方程的根，符合题意． 答：A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元． 每盒产品的成本为：（元）， （2）解：① ； ②，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为16000． 3．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】(1) ； (2)80或76 (3)当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【详解】（1）解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； （2）解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； （3）解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． 【类型七】二次函数的应用—周长与面积问题 1．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】(1) (2)5 (3)或． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或． 3．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）设点，直线与轴交于点，根据解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 顶点横坐标为，此时， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，，即， 设点，直线与轴交于点，如图， 设直线的解析式为，则， 代入，，有 ， 解得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得或， ∴或． 【类型八】二次函数的应用一几何动点问题 1．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 2．如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)点落在边上时，的值为2； (3)． 【分析】（）先得出，又四边形是矩形，则， ，从而有 ，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则 ， ，，所以 ，即，然后求出的值即可； （）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当点落在边上时，如图， 同（）理可得、、都是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴点落在边上时，的值为； （3）解：当点与点重合时，，， 当时， 重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：． 3．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 【类型一】二次函数的配方最值 1．若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由得，代入，得到关于x的一元二次函数，化为顶点式，求出最值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的值可能是2． 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 3．已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，由根的判别式求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积. 将所求代数式整理为关于的二次函数，根据二次函数的性质结合的范围求出最小值． 【详解】解：关于的方程有两个实根， 根的判别式，即 ， 解得， 由根与系数的关系可得，， ， 设，对称轴为， 二次项系数， 抛物线开口向上， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值是． 【类型二】二次函数的增减性最值 1．抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 【答案】D 【分析】根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定y的最大值和最小值的位置，结合二者差为求出的值，再逐一判断选项即可． 【详解】解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向上，故A选项错误； 抛物线对称轴为直线， 开口向上时，仅当时，随的增大而增大，故B选项错误； ，开口向上， 时，取得最小值， 分别计算端点的函数值： 当时，； 当时，； ， ， ∴， 由题意，最大值与最小值的差为， ，解得，故C选项错误； 当时，代入解析式得，故D选项正确． 2．已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到与的关系，再求出抛物线对称轴，最后分和两种情况，结合在中取得的最大值为计算的值． 【详解】解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 3．当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 【类型三】二次函数的几何最值 1．如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） 当时，；；有最小值，最小值为；有最小值，最小值为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，列出关于的函数式，结合图，列方程求出的值，即可判断；继而代值检验；利用二次函数的图象性质，即可得到的最小值，即可判断；最后通过建系，将转化为，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值． 【详解】解：设，则，，， 所以， 由图知，函数经过点， 整理得， 解得：或（舍去）， ，故正确； 由知，， 当时，，即，故错误； 对于，由题意易得：， 由可得，当时，， 即有最小值，最小值为，故错误； 对于D，如图，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系， 则，，，， 为中点， ， ，结合此式特点，设，，， 则，作出图形如下： 作出点关于直线的对称点， 连接交直线于点， 则点即为使取得最小值的点， 此时， 即的最小值为，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，根据自变量求函数值，求二次函数的最小值，建立平面直角坐标系，两点间的距离公式，点的对称等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 3．如图，E是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点P，F分别是的中点．若，则下列结论正确的序号为___________。 ①的最小值为  ②的最小值为       ③周长的最小值为6      ④四边形面积的最小值为 【答案】①②③④ 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即，P，B共线时，最小，即可得最小值，判断选项A正确；由，即可得当M，P，F共线时，最小，最小值为的长度，此时的最小值为，判断选项B正确；过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，故周长的最小值为6，判断选项C正确；设，可得，即知四边形面积的最小值为，判断选项D正确． 【详解】解：延长交于M，过P作直线，如图： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵P为中点， ∴P为中点， ∵E在线段上运动， ∴P在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， ∴M到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即，P，B共线时，最小， 此时，最小值，故①正确； ∵， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为的长度， ∵F为的中点， ∴， ∴为等边三角形的高， ∴的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为6，故③正确； 设，则， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴当时，四边形面积的最小值为，故④正确； 所以，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 【类型四】二次函数的铅垂高最值 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标是，面积的最大值是8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，把，两点代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是； 2．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）由，得，，分别表示出，，由，建立方程，，解方程即可得到答案； （3）如图所示，连接，设点N到的距离为d，设，同理得到，利用勾股定理求出，根据，最大值为8，得，推出，即d的最大值为 【详解】（1）解：直线中，时，；时，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∵抛物线经过点A，B， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵设点（），则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或4（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：点N到直线的距离为d， 求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如下图所示， ∵点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（）当时，面积的最大值为8，此时点E的坐标为；（）存在，点P的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）（）设，先求出，得到，可求得的面积为，再根据二次函数的性质求最大值即可； （）当时，证明，即可列方程求解；当时， 过点C作于点H，证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：把，的坐标代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：（）设， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， 的面积为， ， 当时，的面积有最大值，最大值为8， 此时， 点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或．理由如下： 由（）知，， 在中，， ， ， 当时，如图， ， ， ， 解得或3， ； 当时， 过点C作于点H， 则， ， ， ， ， 解得或2， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形的综合问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识，分类讨论两种情况是解题的关键． 【类型五】二次函数中的特殊三角形 1．如图，二次函数与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点P的坐标为或或或时，为等腰三角形 【分析】（1）将代入，即可求得二次函数解析式； （2）根据等腰三角形的性质，有两边相等，分或或三种情况，分别分析即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 二次函数的表达式为． （2）解：存在．设点的坐标为． 由题意知，． ①当时，， 或． ②当时，如图，过点作轴于点 ， ∴，即． ③当时，如图，过点作轴于点，作的垂直平分线，在的垂直平分线上 则有， 即 ∵， ∴ ． 综上，当点的坐标为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，理解相关性质是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线下方的抛物线上有一动点P，直线上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标． (4)点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，对称轴为：直线，顶点坐标为： (2)存在，点M坐标为 (3)点Q坐标为或或 (4)点P的坐标或 【分析】（1）先根据题意得出，，运用待定系数法求出函数解析式，再配方即可求解． （2）设M点坐标为，则，，，分为①当为斜边时；②当为斜边时；③当为斜边时；分别列方程求解即可． （3）分为①当时，②当时，③当时，分别画图求解即可． （4）分为①点P在y轴右侧的抛物线上时，②点P在y轴左侧的抛物线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：． （2）解：如图，设M点坐标为， ∵点A坐标为，点D坐标为， 则：， ， ， ①若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：，， 故当M坐标时，是等腰直角三角形； ②若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：， 故不存在M坐标使是以为斜边的等腰直角三角形； ③若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：， 故不存在M坐标使是以为斜边的等腰直角三角形； 综上所述：点M坐标为． （3）解：∵点A坐标为，点C坐标为， 设直线解析式为：，则，解得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， 以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况， ①当时，则， 如图： ∴， ∴轴， ∴时，， 解得：，， ∴P点为， ∴， ∴点Q坐标为． ②当时，则，， 如图： ∴轴， 由I可知，P点为， ∴， 过Q点作垂直， ∴， ∴点Q坐标为． ③当时， 如图：当点Q在第三象限时，则， ∴轴，， 过点作， ∵， 则， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 如图：当点Q在第四象限时，， ∴轴，点Q和点P关于轴对称， 设，则， 将代入得， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述：点Q坐标为或或． （4）解：①点P在y轴右侧的抛物线上时，如图： 以等腰构造K字形，过P点作轴，垂足为H，过Q点作，垂足为G， 则， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则P点坐标为， ∵P在抛物线上，即， 解得：，(不合题意舍去)， 此时点P坐标为． ②点P在y轴左侧的抛物线上时，如图： 以等腰构造K字形，过P点作轴，垂足为H，过Q点作，垂足为G， 则， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，其中，则P点坐标为， ∵P在抛物线上，即， 解得：(不合题意舍去)，， 故此时P坐标为， 综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、解一元二次方程、矩形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）已知点在该抛物线上，点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作轴交该抛物线于点Q，连接BQ、BF、FQ，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；（3）存在，点P坐标为（2，5）或（－1，－4）；（4）点Q坐标为（－1，－4）或或 【详解】答案：（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：如图，设点N坐标为（－1，y）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，2）； II、若是直角三角形，当AN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，－4）； III、若是直角三角形，当AC为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为或；． 综上所述：点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；． （3）解：如图，设点P坐标为（x，）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（2，5）； II、若是直角三角形，当AP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（－1，4）； 综上所述：点P坐标为（2，5）或（－1，－4）． （4）解：如图，设点Q坐标为（x，），其中， ∵点B坐标为（1，0），点F坐标为（－2，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，； 当时，，即点Q坐标为（－1，－4） II、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：（不合题意，舍去），；此时Q点不存在 III、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得：， 解得：，，， 当时，， 当时，，即点Q为或； 综上所述：点Q坐标为（－1，－4）或或． 【类型六】二次函数中的特殊四边形 1．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的横坐标为或1 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意，证明，然后即可求解； （3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把和代入可得． 解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）直线中，令可得，解，得， ∴． 直线中，令，可得． ①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图： ∵轴，轴， ∴和为直角三角形． 在和中，， ∴． ∴． 设，则， ∴，． 从而，． ∴．解，得（舍去）或． ②如图：同理可得． 解，得（舍去）或． ∴点E的横坐标为或1； （3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 理由：∵点M是的中点，，． ∴． ∵点N在抛物线上，轴． ∴． ∴． 在（2）中，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴． 解，得（舍去）或． ∴，． 分两种情况： ①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． ②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． 在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且． （1）求的值； （2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形． 【分析】（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； （3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形． 【详解】解:（1）抛物线经过点 又由题意可知，是方程的两个根， ， 由已知得 又 解得， 当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去． ； （2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上， 又 拋物线的顶点即为所求的点； （3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为 根据菱形的性质， 点必是直线与抛物线的交点， 当时， 在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形． 四边形不能成为正方形， 因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上. 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法． 3．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【类型七】二次函数中的等角与倍角 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为1，或 【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可． （3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可． 【详解】（1）解：把，点分别代入解析式，得 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：取点，作直线交抛物线于点Ｄ， ∵抛物线， ∴， ∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时，， 故． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴，，， 设， 则点Q到直线的距离为， ∵与的面积相等，， ∴ 解得； 故点Q到直线的距离为1； ∴， ∴或， 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 综上所述：线段长度的最小值为1，或 2．如图1，抛物线的顶点B的在x轴上．点A为抛物线与y轴交点． (1)求m的值； (2)点C在y轴上，，连接，抛物线上存在点一点D，连接交于点E，使得，求点D的坐标； (3)如图2，若直线l恒过点，且与抛物线交于M，N两点，点M在点N的左侧，请问的值是否是一个定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)1； (2)； (3)4． 【分析】（1）将解析式化为顶点式得出抛物线的顶点坐标为：，然后建立方程求解即可； （2）过点C作交x轴于点F，得出，确定，利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，然后联立两个函数求解即可； （3）设直线l为，联立直线与抛物线解析式，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线的顶点B的在x轴上， ∴， 解得：； （2）过点C作交x轴于点F ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， ； （3）∵直线l恒过点， ∴设直线l为． 联立直线与抛物线，整理得， 则，， ，， ． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【详解】（1） 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3） 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【类型八】二次函数中的定值与比值 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． (1)求该二次函数的表达式； (2)若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为4 【分析】本题主要考查了待定系数法，对称的性质，几何图形面积的计算方法，等腰三角形的判定及性质，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当时，可求出点，再由的面积为6，可得，即可求解； （2）先过点作轴，作点关于的对称点，连接，由对称和等腰三角形的性质可得，从而判定，，三点共线，再利用待定系数法依次求出直线，直线和直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入得， ， 即， ， 当时，即， 解得，，， ， ． 当时，， ， ． 的面积为6， ， 即， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ， 该二次函数的表达式为． （2）解：是定值． 如图，过点作轴，作点关于的对称点，连接，即垂直平分， ，，， ． ， ， ，，三点共线． 点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ． ， ， 解得，， ． 设直线的解析式为，， 则， 解得， 直线的解析式为， 故联立得， 解得或， 即． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 是定值，该定值为4． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； (3)如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在第三象限的点，使为直角三角形； (3)是4，是定值，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）点，，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，据此解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数的关系，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：不存在第三象限的点，使为直角三角形；理由如下， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，，， ①当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ②当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得，， ∵点D在第三象限内的一点， ∴， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ③当，由勾股定理得， 即， 整理得，即， 解得或， ∴不存在点，使； 综上，不存在第三象限的点，使为直角三角形； （3）解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，勾股定理，根与系数的关系是解题的关键． 3．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3) 解：①是定值，理由如下， 已知抛物线的解析式为，，， 令时，， 解得，，， ∴， ∵点是抛物线对称轴与轴的交点， ∴， ∵点为轴上方抛物线上一动点， ∴设， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴，， ∴，， ∴是定值； 第二种情况，当时，如图所示， 同理，，， ∴，， ∴是定值； 综上所述，①是定值． 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可； （3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，如图所示， 设，且， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； （3）略 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【类型九】二次函数的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4）或或． 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组或即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论： 第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点； 第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点， ， 解得：， 点的坐标为， 代入， 可得，； （2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点， 即完美点在直线或直线上， 或 解得：，或，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； （3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， 有且只有一个完美点， ， 把点代入， 得， 解得：，， ； （4）或或； 解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 即完美点在直线或直线上， 或 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， 或； 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， ， 综上所述，或或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 2．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 (3)该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 (4) 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【详解】（1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 3．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 1．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 3．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 4．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 7．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 【答案】①②/②① 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①符合题意； ∵当时，函数值小于0， ∴，故②符合题意； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， 故③不符合题意； ∵抛物线与轴交于两点，即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故④不符合题意； 综上可知，代数式的值为负数的是①②． 8．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 9．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 10．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由如下： 解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； (3)能通过，理由如下： 由（2）可知， ∴货车可以通过． 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴． （2）略 （3）略 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ． 分别计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又， ∴ ． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）我们规定：为二次函数（，，，为实数）的“概念数”，如：的“概念数”为，若“概念数”是，且开口向上的二次函数图象与轴只有一个交点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据定义写出二次函数解析式，再利用二次函数性质：开口向上可得二次项系数大于0，图象与轴只有一个交点可得判别式等于0，列方程求解后舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：“概念数”是， 二次函数解析式为 ， 二次函数开口向上， ， 二次函数图象与轴只有一个交点， 判别式， 代入系数得： ， 整理得：， 解得或， 又， ． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②过原点，则这个二次函数解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的图象与性质，只需二次函数满足二次项系数小于0，常数项为0即可符合要求． 【详解】解：设二次函数的解析式为，其中， 二次函数图象开口向下， ， 二次函数图象过原点， ， 取，时，二次函数的解析式为． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 7．（25-26九年级下·广东河源·期中）已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x的增大而减小； ③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1； ④若，则关于x的方程的正数根只有1个． 其中正确的是________．（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、含绝对值方程的根的个数分别验证四个结论即可． 【详解】解：当时，， 该函数图象经过点，故①正确； 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 当时，随的增大而减小，故②正确； 对于关于的方程，由①可知是方程的一个根，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得： ，解得， ， ，即方程有一个根大于且小于，故③正确； 方程可化为两个方程： 当时，， 由根与系数的关系，两根之积为， 该方程有两个不相等的实数根，且为一正一负； 当时，， ∴， 解得或， ， ，即此方程没有正根； 综上所述，原方程只有个正数根，故④正确． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知抛物线． (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)① ②或 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质， 对于（1），先列表，再描点，连线可得抛物线； 对于（2），根据抛物线的性质可知当时，函数值y随着x的增大而减小，再比较x的值可得答案； 对于（3），①根据图象的性质可知当时，；当时，，即可得出答案；②根据图象的性质求出函数值小于等于3时自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： （2）解：观察二次函数的图象可知抛物线开口向下，对称轴是， 当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，， ∴时，； ②当或时，． 故答案为：①；②或． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出最低点和的坐标，代入解析式即可； （2）将的纵坐标代入即可求出与主塔的水平距离． 【详解】（1）解：钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． ∴点的坐标为，即的顶点为， 又∵，在轴上， ∴，在上， 设的抛物线解析式为顶点式：， 将代入得：， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解： ∵与关于轴对称， ∴的顶点，的解析式为：，即为； ∵垂直桥面（轴），长度为， ∴点纵坐标，代入解析式得： ； 解得， 在右侧，即， ∴加劲梁与主塔的水平距离为． 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 2．（25-26九年级下·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，则关于 x 的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题先根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置判断出、的符号，再计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴ ∵二次函数图象的对称轴在轴右侧，对称轴公式为， ∴ 又∵， ∴ 对于方程， 判别式 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点在上运动三种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，当时，点P在上，，为一段上升的线段； 当时，点P在上， ∴， ∴，其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段； 当时，点P在上， ∴，为一段下降的线段； 故符合题意的只有选项A. 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围． 【详解】解：已知二次函数，， 根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数， ∴对称轴为：， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大； ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标与图象上一点坐标，可设出顶点式并代入求解得到抛物线解析式，再令函数值为，进而求出实心球落地点的水平距离，即该男生本次扔实心球的成绩． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过点与地面的垂线作为轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，， 设抛物线解析式为， 在抛物线上， 代入得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，（舍去）， ． 则该男生本次扔实心球的成绩是米． 7．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 【详解】解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $