第二十八章 旋转（解答题30题）热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦旋转性质应用，通过30道解答题构建从基础计算到动态探究的训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|结合正方形、等腰三角形的旋转计算|从旋转定义到对应边/角关系，建立性质应用基础| |性质探究|4-10题|旋转构造全等、中心对称作图|通过类比猜想（如第4题）、网格作图（如第7题），深化旋转不变性理解| |动态综合|11-30题|旋转过程中的最值、路径问题（如第1题第3问）|融合坐标系、函数（如第14题抛物线），构建“静态性质-动态变化-模型应用”逻辑链|

第二十八章 旋转（解答题30题） 1．正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求的长； (2)如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ． 2．如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长． 3．（1）化简：； （2）如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转至处，连接，求的长． 4．提出问题：在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，F，且，连接EF，探究：线段之间的数量关系．并说明理由．    (1)特殊情景：如图（1）若，探究；线段之间的数量关系．我们发现，如下图，将绕点A顺时针旋转，得到， （请完成以下填空）    ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵ ∴_____+____，即， ∴， ∵， ∴___________（）， ∴． 又∵， ∴； (2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况：“”，如图（2），线段之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请你写出结论并说明理由；若不成立，请你写出成立时的取值范围．    (3)解决问题：如图（3），在中，，点D，E均在边BC上，且，若，计算的长度． 5．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 6．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 7．图1、图2均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上． （1）在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为D1、D2） （2）在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为E1、E2） 8．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 9．如图，已知． (1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 10．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点都在网格线的交点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），按要求完成下列任务． (1)以点A为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段AB1，画出线段AB1； (2)以原点O为位似中心，将线段AB在第一象限扩大3倍，得到线段A1B2，画出线段A1B2（点A、B1的对应点分别是A1、B2）． 11．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的端点A、B、C均在小正方形的顶点上，点O在正方形的顶点上．    (1)将△ABC绕着点O逆时针旋转90°得到△DEF（点A、B、C对应点分别是点D、E、F），画出△DEF (2)连接BD，画出△BDG，使点G在线段BD的右侧，∠BGD=90°，且面积为8； (3)连接FG，直接写出FG的长． 12．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是 ，点的坐标是 (2)求的面积． 13．（1）【问题发现】 如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则 ． （2）【问题解决】 如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长． 14．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 15．如图，在中，．点D为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结，将线段绕点D逆时针旋转线段，连结．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到的距离 (2)当点E落在内部（不包括边界）时，求t的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出t的值． 16．如图，的方格分为三层，第一层有一个灰色方块甲，可在方格中移动；第二层有两个固定不动的灰色方块；第三层有一个灰色方块乙，可在方格中移动．四个灰色方块可以构成各种拼图． (1)若乙固定在处，移动甲后，四个灰色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是________； (2)若甲、乙均可在所在层移动． ①用画树状图或列表的方法求出四个灰色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率； ②四个灰色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率是________． 17．西西发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2），每个果冻高为，底面直径为，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中以A为坐标原点建立平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，西西设计了一种新的包装方案，将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①西西发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心B的坐标． ②按照西西的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 18．小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 19．简答题 (1)【问题探究】如图1，点、在直线上，且，点在直线外，连接、，的面积为3．若是直线上任意一点，则、两点之间距离的最小值为___________； (2)如图2，在正方形中，点为边上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试说明：； (3)【问题解决】为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图3，菱形是扩建前的平面示意图（菱形外部区域可利用），，，点是对角线的中点，校方计划在边上取一点，在下方取一点，连接、、，将区域规划为机器人体验区，并从点向点修建一条笔直的通道，根据规划要求，，，为了节约成本，要求通道的长度尽可能的短，请你求出通道长度的最小值，即求、两点之间距离的最小值．（通道的宽度忽略不计） 20．如图，在锐角中，，，的角平分线、交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，使得．连接，点为的中点，连接．求证：； (3)如图3，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转（即）得到线段，点、分别是线段、上的动点，且，若，当线段取最小值时，直接写出的面积． ∵点为的中点， ∴， 21．在中，，线段绕点B逆时针旋转得到线段，点G为上任意一点，连接交于点E，过点A作于点H，交于点F，连接． (1)如图1，①______；（填“＞”、“＜”或“＝”） ②求证：； (2)如图2，当时，写出的长（直接写结果）． 22．正方形的边绕点A逆时针旋转得到，连接． 【知识技能】 (1)如图1，连接，若，求证：； 【数学理解】 (2)如图2，的平分线交的延长线于点F，求证：； 【拓展探索】 (3)如图3，延长交于点F，过点F作的平行线交于点G，猜想，，的数量关系，并说明理由． 23．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． (1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） (2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； (3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 24．在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、． （1）若边恰好经过点，如图1，求的大小； （2）当时，如图2，设与交于点，求证：是中点． 25．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值． 26．如图，四边形和四边形均为菱形，且． (1)将图①中的菱形绕点顺时针旋转得到图②，连接并延长交的延长线交于点，试探究与之间的数量关系，并求出的度数； (2)将图①中的菱形绕点逆时针旋转得到图③，连接，，当，，求的长． 27．综合与实践 【问题情境】综合实践课上，老师让同学们探究的图形变化，如图，在中，小明将绕点顺时针旋转得到，线段的延长线与线段的延长线交于点    【猜想证明】 (1)探究四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 (2)如图，在（1）的基础上，小华又将沿着折叠得到，点的对应点点在上，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图，在（2）的基础上，小刚又将绕着点顺时针旋转得到（），直线与直线交于点．若，，连接、，当是直角三角形时，请直接写出的长度． 28．问题提出； （1）如图1，长方形，，，点为的中点，点为上的动点， 时，的周长最小； （2）如图2，长方形，，，点为的中点，点、点为上的动点，且，当四边形的周长最小时，请确定点的位置；（即求的长） 问题解决； （3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点处修一个凉亭，设计要求长为10米，同时点，分别是水域，边上的动点，连接、、的水上浮桥周长最小时，四边形的面积最大，请你帮忙算算此时四边形面积的最大值是多少？ 29．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 30．如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 由旋转得： ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红： ，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合， 由旋转得： ，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转（解答题30题） 1．正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，求的长； (2)如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，根据正方形的性质可得，，再说明，然后根据勾股定理即可解答； （2）如图2，延长至Q，使，连接，再证明可得，即；然后延长交于点N，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：连接，取的中点O，连接．根据正方形的性质以及相关已知条件可得，进而得到，即点M的运动轨迹是O为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最小；然后说明，在上取一点T，使得，连接，可得；最后根据直角三角形的性质以及线段的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：； 理由如下： 如图2，延长至Q，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：连接，取的中点O，连接． ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴点M的运动轨迹是O为圆心，为半径的圆，当与相切时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、线段的和差、平行线的判定和性质、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定和性质以及求动点问题中线段最小值等知识点，认真审题添加适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．根据旋转得到，勾股定理求出即可，掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴， ∴． 3．（1）化简：； （2）如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转至处，连接，求的长． 【答案】（1）-1；（2） 【分析】（1）先把分式的分子因式分解后，进行约分后，再合并同类项即可； （2）在中，利用勾股定理先求出BC的长，再利用旋转的性质证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：在中， ∵，， ∴， 由旋转得，， ∴BC=BF， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】此题考查了分式的运算、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握分式的运算法则和旋转的性质是解题的关键． 4．提出问题：在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，F，且，连接EF，探究：线段之间的数量关系．并说明理由．    (1)特殊情景：如图（1）若，探究；线段之间的数量关系．我们发现，如下图，将绕点A顺时针旋转，得到， （请完成以下填空）    ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵ ∴_____+____，即， ∴， ∵， ∴___________（）， ∴． 又∵， ∴； (2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况：“”，如图（2），线段之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请你写出结论并说明理由；若不成立，请你写出成立时的取值范围．    (3)解决问题：如图（3），在中，，点D，E均在边BC上，且，若，计算的长度． 【答案】(1)，,, (2)成立，，理由见解析 (3) 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，可得，再证得，最后根据线段的和差和等量代换即可解答； (2)如图：将绕点A顺时针旋转得到，即知可得证 ，最后根据线段的和差和等量代换即可解答； (3)将绕点A逆时针旋转，得到连接，据此知，由知 ，即，从而得，再证明可得，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∵四边形中，， ∵且， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得．    ∵ ∴+，即， ∴， ∵， ∴（）， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，,,． （2）解：成立，，理由如下： 由，则 如图，将绕点A顺时针旋转得到，    ∴， ∵， ∴， ∴.点C，D，H在同一直线上， ∵. ，， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查旋转变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 6．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4． （3）解：，   将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为． 7．图1、图2均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上． （1）在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为D1、D2） （2）在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为E1、E2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行画图； （2）根据中心对称的图形的定义画图． 【详解】（1）如图： （2）如图： 【点睛】本题主要考查了利用轴对称、中心对称设计图案，解题的关键是掌握寻找中心对称的中心、轴对称的对称轴与画图的综合能力． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出； (2)是绕点顺时针旋转得到的，写出、、的坐标． 【答案】(1) 如图所示即为所求： (2)；； 【分析】本题考查了原点对称作图及旋转作图，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）根据原点对称的定义，直接作图即可； （2）根据旋转的性质作出图形，即可得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意作图可得： ∴由图可得：，，． 9．如图，已知． (1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作出的外心点，即可求解； （2）根据圆的半径处处相等，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， （2）解：如图所示，是关于点O的中心对称图形， 证明：∵是关于点O的中心对称图形， 设的半径为， ∴， ∴关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆． 【点睛】本题考查了作三角形的外心，中心对称的性质，掌握基本作图是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点都在网格线的交点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），按要求完成下列任务． (1)以点A为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段AB1，画出线段AB1； (2)以原点O为位似中心，将线段AB在第一象限扩大3倍，得到线段A1B2，画出线段A1B2（点A、B1的对应点分别是A1、B2）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 （1）依据点A为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，即可得到线段AB1； （2）依据原点O为位似中心，将线段AB1在第一象限扩大3倍，即可得到线段A1B2； 【详解】（1） 线段AB1如图所示． （2） 线段A1B2如图所示． 【点睛】 本题主要考查了利用旋转变换以及位似变换作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 11．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的端点A、B、C均在小正方形的顶点上，点O在正方形的顶点上．    (1)将△ABC绕着点O逆时针旋转90°得到△DEF（点A、B、C对应点分别是点D、E、F），画出△DEF (2)连接BD，画出△BDG，使点G在线段BD的右侧，∠BGD=90°，且面积为8； (3)连接FG，直接写出FG的长． 【答案】(1)图形见详解 (2)图形见详解 (3) 【分析】（1）作图时，可连接OA、OB、OC，分别将线段OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°即可得到D、E、F三个点，连接DE、EF、FD，则△DEF即为所得； （2）先求出斜边，即可得，再根据△BDG的面积为8求出，令DG＞BG（DG＜BG同样可行），即可求得，，据此即可找到G点，连接DG、BG，△BDG即为所求； （3）根据网格图，利用勾股定理即可求出FG． 【详解】（1）作图过程：可连接OA、OB、OC，分别将线段OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°即可得到D、E、F三个点，连接DE、EF、FD，如图所示， 结果图如下： （2）∵∠BGD=90°， ∴Rt△BDG中，BD是斜边，DG、BG是直角边，令DG＞BG， ∵根据网格图可知， ∴Rt△BDG中，， ∵Rt△BDG的面积为8， ∴，即， 结合，DG＞BG， 可得，， 据此即可作图如下： （3）连接FG，如图， 利用勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、网格图作图、勾股定理、完全平方公式等知识，利用斜边的长度和面积求出BG、DG的长度是解答本题的关键． 12．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是 ，点的坐标是 (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，， (2)6 【分析】本题考查作图-旋转变换，求直角坐标系中点的坐标，求三角形的面积． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出坐标即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：的面积为． 13．（1）【问题发现】 如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则 ． （2）【问题解决】 如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长． 【答案】（1）（2），理由见详解（3） 【分析】本题考查旋转的思想方法，通过旋转可得手拉手全等（相似），进而可转移边角关系，解决题目，熟练掌握旋转的辅助线思路是解题关键． （1）由旋转可得是等腰直角三角形，即可求出的长． （2）由题意可知，再证明，得即可； （3）由题意可知，将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点落在点，证明，进而可在直角三角形中表示出的长度，等于的长度． 【详解】解：（1）在中， ，． ， 由旋转可得：，， ， 故答案为：． （2），理由如下： 在中，，， ， 将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，得， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），， 垂直平分， ， 将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点落在点，如图： ， ，， ， ，， ， ，， ，， ， 即， ， ， ． 14．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②在安全范围内，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． （2）解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 15．如图，在中，．点D为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结，将线段绕点D逆时针旋转线段，连结．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到的距离 (2)当点E落在内部（不包括边界）时，求t的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或6 (4)或或 【分析】（1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点E在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，过点P作于点F， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动， ∴, 即； 故答案为：； （2）解：当点E在上时，过点D作于点G，如图所示， ∵，点D是的中点， ∴点G是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 当点E在上时，如图所示， 此时，，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当点E落在内部（不包括边界）时，； （3）解：分两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，，如图所示， 此时四边形时矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 当时，过点D作，，如图所示， ∴， ∵是的中点， ∴是的中点， ∴， 当与的一边平行时，线段的长度为或6； （4）解：当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，此时点E在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即， 当点E在中线上时，如图所示，连接，则， 过点D作于点G，过点E作于点F，交于点H， 在，中， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点E经过中线时， 同理可得， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键. 16．如图，的方格分为三层，第一层有一个灰色方块甲，可在方格中移动；第二层有两个固定不动的灰色方块；第三层有一个灰色方块乙，可在方格中移动．四个灰色方块可以构成各种拼图． (1)若乙固定在处，移动甲后，四个灰色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是________； (2)若甲、乙均可在所在层移动． ①用画树状图或列表的方法求出四个灰色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率； ②四个灰色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率是________． 【答案】(1) (2)①见解析，② 【分析】（1）乙固定在处，甲有、、3种移动可能，需判断每种情况下拼图是否为轴对称图形，再用概率公式计算． （2）甲有种移动可能（、、），乙有种移动可能（、、），总共有．种等可能结果。用列表法列举所有组合，判断是否为轴对称图形，再计算概率 ；列举甲、乙的组组合，利用中心对称图形定义进行判断即可． 【详解】（1）解：（1）由题可知乙固定在处，移动甲有三种可能，其中在位置上才能构成轴对称图形，故答案为：. （2）①画树状图如图． 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中四个灰色方块所构成的拼图是轴对称图形的结果共三种， （四个灰色方块所构成的拼图是轴对称图形． （2）由于第二层灰色是固定不动的，无论甲乙如何移动，这9种结果都不能构成中心对称图形， （四个灰色方块所构成的拼图是中心对称图形． 【点睛】本题考查了利用树状图解决轴对称图形的概率问题，掌握求概率方法和识别轴对称图形是解决问题的关键． 17．西西发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2），每个果冻高为，底面直径为，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中以A为坐标原点建立平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，西西设计了一种新的包装方案，将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①西西发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心B的坐标． ②按照西西的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，中心对称图形的性质； （1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意得，待定系数法求解析式即可求解． （2）①根据左侧两条抛物线成中心对称，得到对称中心的纵坐标为，将代入，求出x值即可得到对称中心的坐标； ②计算出原包装盒的长度，及相邻两个果冻对称轴之间的距离，即可得到康康的方案中包装盒的长度，由此得到节省的长度． 【详解】（1）解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴左侧第一条抛物线的函数表达式为． （2）①∵左侧两条抛物线成中心对称， ∴对称中心的纵坐标为， 当时，， 解得或（舍去）， ∴对称中心的坐标为； ②原包装盒的长度为， 如图所示，设果冻礼盒的中心对称点为， 由①可得 ∴， 又关于直线对称， ∴ ∴西西的方案中包装盒的长度为 ∴节省了． 18．小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 19．简答题 (1)【问题探究】如图1，点、在直线上，且，点在直线外，连接、，的面积为3．若是直线上任意一点，则、两点之间距离的最小值为___________； (2)如图2，在正方形中，点为边上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试说明：； (3)【问题解决】为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图3，菱形是扩建前的平面示意图（菱形外部区域可利用），，，点是对角线的中点，校方计划在边上取一点，在下方取一点，连接、、，将区域规划为机器人体验区，并从点向点修建一条笔直的通道，根据规划要求，，，为了节约成本，要求通道的长度尽可能的短，请你求出通道长度的最小值，即求、两点之间距离的最小值．（通道的宽度忽略不计） 【答案】(1)3 (2)详见解析 (3)故O、N两点之间距离的最小值为 【分析】（1）根据的面积为3，借助面积公式，可以推出点A到的距离，依据垂线段最短即可得到的最小值； （2）过点E作的垂线，构造与全等的三角形，根据全等三角形的性质，得到一个等腰直角三角形，从而计算得到； （3）在的右侧，构造与全等的三角形，根据全等三角形的性质，得到点N的运动轨迹为一条直线，依据垂线段最短，过点O作该条直线的垂线，求出垂线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，的面积为3， ∴点A到的距离为， ∴的最小值为3； （2）证明：如图，过点E作， 由旋转的性质，，， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：在菱形中，，，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质，可知，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴点N在与呈夹角的直线上， 又， ∴， 如图，过点O作，交于点G，则，过点A作， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∴，即，两点之间距离的最小值为． 20．如图，在锐角中，，，的角平分线、交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，使得．连接，点为的中点，连接．求证：； (3)如图3，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转（即）得到线段，点、分别是线段、上的动点，且，若，当线段取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（）过作于点，由平分，平分，得出，然后用所对直角边是斜边的一半和勾股定理求解即可； （）延长至，使得，连接，延长至，使得，证明和即可求解； （）过作，过作交于点，连接，延长交于点，过点作，在上截取，易证四边形是平行四边形，，，求出，进而得到，设，则，求出，推出是等腰直角三角形，得到，由旋转性质可得，求出，，即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∴； ∵平分，平分， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 同理：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接，延长至，使得， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（）得， ∴是等边三角形， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过作，过作交于点，连接，延长交于点，过点作，在上截取， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在与成的直线上运动， ∴当时，最小，即最小， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴的面积为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，用所对直角边是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 21．在中，，线段绕点B逆时针旋转得到线段，点G为上任意一点，连接交于点E，过点A作于点H，交于点F，连接． (1)如图1，①______；（填“＞”、“＜”或“＝”） ②求证：； (2)如图2，当时，写出的长（直接写结果）． 【答案】(1)；②见解析 (2) 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，由余角的性质可求解； ②先证明，可得，再证明，可得，可得结论； （2）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）①解：∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②证明：如图1过点B作，交于N， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，过点D作，交的延长线于M， 由（1）可知：， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 22．正方形的边绕点A逆时针旋转得到，连接． 【知识技能】 (1)如图1，连接，若，求证：； 【数学理解】 (2)如图2，的平分线交的延长线于点F，求证：； 【拓展探索】 (3)如图3，延长交于点F，过点F作的平行线交于点G，猜想，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，过点A作，垂足为点M． 由旋转得， ． 四边形是正方形， ，． ． ，， ． ， ． ， ． ． (2)证明：如图，连接，． 由旋转得，． ，． 平分， ． ． 四边形是正方形， ，． ，． ， ． ，． ． ． ． (3)．理由： 如图，延长至H，使，连接，，交于点O． 由（2）知，，， ，，． ，， ，． ． ，，， ． ，，． ，． ． ． ． ，． ，． ． 【分析】（1）如图，过点A作，垂足为点M．先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到 ．再证明得到，即可证得结论； （2）证明：如图，连接，．先由旋转性质和等腰三角形的性质得，．结合角平分线的定义得到．由正方形的性质得到，．证明得到，，则．利用勾股定理及等量代换可证得结论； （3）如图，延长至H，使，连接，，交于点O．证明得到．，，．利用等腰三角形的判定和性质，结合角度之间的运算得到，，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． (1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） (2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； (3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 【答案】(1) 证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （2）（1）的结论仍然成立， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （3）如图，当点E在点A下方时， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴AC=CF， ∵△ABE≌△CBF， ∴CF=AE， ∴AC=AE=AB， ∴∠ABE=， ∴∠EBC=， 如图，当点E在点A上方时， 同理可得： ∴ ∴∠EBC=． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24．在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、． （1）若边恰好经过点，如图1，求的大小； （2）当时，如图2，设与交于点，求证：是中点． 【答案】（1）18°；（2）见解析． 【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余，CB=CE构成的等腰三角形，用其性质求解即可； （2）运用等腰三角形的性质和判定求解即可． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：设与交于点，连接（如图2）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即是中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值． 【答案】25 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：， ． 26．如图，四边形和四边形均为菱形，且． (1)将图①中的菱形绕点顺时针旋转得到图②，连接并延长交的延长线交于点，试探究与之间的数量关系，并求出的度数； (2)将图①中的菱形绕点逆时针旋转得到图③，连接，，当，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）如图②中，连接，，设交于．证明，推出，，可得结论； （2）如图③中，连接，，过点作于．利用勾股定理求出，证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图②中，连接，，，设交于，交于． ∵四边形和四边形均为菱形，， ∴，，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理，， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：如图③中，连接，，过点作于, 在中，，，， ∴ ，由勾股定理得：， ， ， 同理（1）可证，， ， ， 故答案为：． 27．综合与实践 【问题情境】综合实践课上，老师让同学们探究的图形变化，如图，在中，小明将绕点顺时针旋转得到，线段的延长线与线段的延长线交于点    【猜想证明】 (1)探究四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 (2)如图，在（1）的基础上，小华又将沿着折叠得到，点的对应点点在上，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图，在（2）的基础上，小刚又将绕着点顺时针旋转得到（），直线与直线交于点．若，，连接、，当是直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； (2)，理由如下： 由旋转的性质得：，， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）知，四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (3)3或 【分析】（1）根据旋转的性质得，，，则，再根据正方形的判定即可得出结论； （2）根据旋转的性质得，，根据折叠的性质得，，再证明，即可得出结论； （3）根据旋转和折叠的性质证明，得到，，，由是直角三角形，分、、三种情况讨论，再利用（特殊）平行四边形的性质和勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，，， ∴， ∵是直角三角形， ∴分下面情况讨论： ①当时，如图，连接、， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∵将沿着折叠得到， ∴，，， ∵将绕着点顺时针旋转得到（）， ∴，，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②当时，如图，作于点，延长交延长线于点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 此时旋转角，不满足，舍去； 综上，的长度为3或． 28．问题提出； （1）如图1，长方形，，，点为的中点，点为上的动点， 时，的周长最小； （2）如图2，长方形，，，点为的中点，点、点为上的动点，且，当四边形的周长最小时，请确定点的位置；（即求的长） 问题解决； （3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点处修一个凉亭，设计要求长为10米，同时点，分别是水域，边上的动点，连接、、的水上浮桥周长最小时，四边形的面积最大，请你帮忙算算此时四边形面积的最大值是多少？ 【答案】（1）2；（2）；（3）平方米 【分析】（1）如图所示，延长到M，使得，连接，先证明，得到，则的周长，故当P、E、M三点共线时，最小，即此时的周长最小，如图所示，延长交延长线于F，取中点H，连接，证明，得到，证明是的中位线，得到，由平行线的唯一性可知在同一直线上，即点P与点H重合，则，由此可得，故当时，的周长最小； （2）如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接，延长到F，使得，连接，由平移的性质可得，同理可证明，则四边形的周长，故当M、Q、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长，如图所示，取中点G，过点G作于H，过点M作于N，则（平行线间间距相等），同理，同理可证明是的中位线，点H为的中点，则，证明，得到，由此求出，则； （3）如图，作点P关于的对称点G，作点P关于的对称点H，连接．由轴对称的性质可得，故当G、M、N、H四点共线时最小，即此时的周长最小，由轴对称的性质可得米，，，先求出，得到，如图所示，过点A作于O，则米，米，进而得到米，则平方米，根据图形之间的关系可得当的值最小时，的值最大；如图所示，将绕点A逆时针旋转120度得到，过点E作于H，连接，由旋转的性质可得，，证明，得到，设，求出，得到，则，在中，由勾股定理得，则，再由，得到，推出，得到，进而得到，，再由，推出，则，推出，即米，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，延长到M，使得，连接， 由题意得，，，， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴的长是固定的，， ∵的周长， ∴当P、E、M三点共线时，最小，即此时的周长最小， 如图所示，延长交延长线于F，取中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B、H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴由平行线的唯一性可知在同一直线上，即点P与点H重合， ∴， ∴，即， ∴， ∴时，的周长最小， 故答案为：2； （2）如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接，延长到F，使得，连接， ∵， ∴线段相当于线段沿着射线的方向平移2个单位得到的， ∴， 同理可证明， ∴四边形的周长， ∴当M、Q、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长， 如图所示，取中点G，过点G作于H，过点M作于N， ∵， ∴（平行线间间距相等）， 同理， 同理可证明是的中位线，点H为的中点， ∴， ∵的的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作点P关于的对称点G，作点P关于的对称点H，连接． 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时最小，即此时的周长最小， 由轴对称的性质可得米，， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点A作于O， ∴米，米 ∴米， ∴平方米， ∵ ， ∴当的值最小时，的值最大； 如图所示，将绕点A逆时针旋转120度得到，过点E作于H，连接， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵两个数的乘法计算中，同号为正，异号为负，且， ∴， ∴， ∴米， ∴的最小值为平方米， ∴的最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，因式分解的应用等等，通过作出辅助线把求图形的周长的最值问题转换成求线段和的最值问题是解题的关键． 29．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 30．如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：， 理由如下：连接，如图（2） 由旋转得： ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红： ，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合， 由旋转得： ，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，，   ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $