山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期末考前检测数学试题

高二数学期末考前检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的前n项和，则（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 2．已知随机变量，随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．从A，B，C，D这4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A读物，则不同的分法种数为（ ） A．24 B．18 C．6 D．4 4．中心极限定理在概率论中应用广泛．根据该定理，若随机变量，当n充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值、方差分别与随机变量的均值、方差近似相等．某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率为（ ） 附：若，则，， ． A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5 5．若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的最大值为1，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知某两个变量x，y具有线性相关关系，由样本数据（，2，…，10）确定的样本经验回归方程为，且．若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（ ） A．变量x，y的样本相关系数为正数 B．经验回归直线恒过 C．x每增加1个单位，y平均减少1.6个单位 D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2 10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则（ ） A．他第2天去餐厅的概率为 B．他连续两天都去餐厅的概率为 C．他连续两天都不去餐厅的概率为 D．若他第2天去餐厅，则他第1天去餐厅的概率为 11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，，记是数列的前n项和，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，，则________． 13．在的二项展开式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 14．若曲线与总存在关于原点对称的点，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）当时，求过点且与图象相切的直线的方程； （2）讨论函数的单调性． 16．（15分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖．为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 6 10 24 7 3 选修阅读课程人数 0 3 9 4 4 （1）根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联； 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 （2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力．根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元．同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等． （1）设第n年（本年度为第一年）投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式； （2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入？ 18．（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球．现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为X，求随机变量X的分布列； （3）记恰好在第n次取出第二个白球的概率为，求． 19．（17分）已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）已知，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考前检测参考答案 1-8．DABCBDCA 9．BCD 10．AD 11．ABD 12． 13．252 14． 15．解：（1）当时，，所以． 设切点为，则，， 所以，切线方程为．将代入得， 解得或．故过的切线方程为或． （2）． 当时，，恒有，函数单调递增． 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 综上，当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 16．解：（1）根据条件得 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程 2 28 30 合计 10 40 50 零假设为：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到， ． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）X的可能取值为1，2，3，则，，，所以，随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 所以． 17．解：（1）由题意得，当投入的专项资金不低于20万元时， 即时，，（且）， 所以数列是首项为800，公比为的等比数列，数列是首项为40，公差为80的等差数列， 所以，， 令，得，解得， 所以，． （2）由（1）知，当时，总利润 ， 因为，，设， 则为单调递增函数，，，，所以，， 又，，所以当时，，即前6年未盈利， 当时，， 令，得，故至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入． 18．解：（1）记事件A=“第2次取出的小球为黑球”；事件B=“第1次取出的小球为白球”， 则，，所以． （2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，则， ， ，， 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P （3）由题意可知，前次取了一个白球，第n次取了第二个白球，则： （，），所以（，）． 19．解：（1）依题意， 当时，，在R上单调递增；当时，令得，，即； 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 综上，当时，在R上单增，当时，在上单减，在上单增； （2）（ⅰ）由（1）知，当时，时取得最小值． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以，当时取得极小值即最小值， 由题意可知，，即， 令，则， 令，则，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以取得最小值， 所以在上恒成立，所以在上单增，又，所以； （ⅱ）证明：因为，所以， 即． 令，则，可知在时取得最大值0，所以， 即，所以，当且仅当时，“=”成立． 令，则，当时，，单调递减． 所以，当时，，，由，得． 当时，显然，综上，，即． 学科网（北京）股份有限公司 $