精品解析：山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题

高二年级第二学期期末模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，下列说法正确的为（ ） A. 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1 B. 在处的导数为3 C. 的图象在点处的切线的斜率为6 D. 的极小值点为 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义、导数的运算法则，结合导数的几何意义、极值的定义逐一判断即可. 【详解】A：当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为，所以本选项说法正确； B：，因此本选项说法不正确； C：由上可知，所以有，因此本选项说法不正确； D：由上可知，显然， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以的极小值点为，因此本选项说法不正确， 故选：A 2. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数变小 C. 相关指数变小 D. 解释变量与响应变量的线性相关程度变弱 【答案】A 【解析】 【分析】结合散点图、残差、相关系数、相关指数、回归直线方程等知识确定正确选项. 【详解】从散点图分析可知，只有点偏离较大，去掉点，解释变量与响应变量的线性相关程度变强，相关系数变大，相关指数变大，残差平方和变小.A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 3. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，作出列联表，计算的值，依题意，须使的值不小于小概率对应的，求解不等式即得. 【详解】依题意，作出列联表： 男生 女生 合计 喜爱乒乓球运动 不喜爱乒乓球运动 合计 则， 因本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得， 解得，因，故的最小值为23. 故选：D. 4. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【详解】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 5. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式，，利用是唯一最大值可得，代入可求出，再利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】因为，，若是唯一最大值， 则，所以， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 因为，所以，得， 因为为正整数，所以， 所以， 故选：A 6. 若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，得到，令，得到或，再根据条件及极值的定义，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 令，得到或， 又因为函数在处取得极值，所以，得到， 故选：C. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的公式，结合对立事件概率公式逐一判断即可. 【详解】根据条件概率公式由， 同理由， 由， 由， 解得，显然选项A错误， 因为题中没有说A，B是两个事件是独立事件，所以选项B不正确； 因为题中没有说A，B是两个事件是互斥事件，所以选项C不正确； 由， 解得，所以，所以选项D正确， 故选：D 8. 已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，则 B. 若随机变量X服从正态分布，则 C. 当事件A，B，C两两独立时， D. 当事件A，B，C两两互斥时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A；根据正态分布得对称性，从而可判断B；根据独立事件乘积公式结合具体事件说明即可判断C；根据互斥事件和概率公式计算，即可判断D． 【详解】对于A，由随机变量X服从二项分布， 得，故A错误； 对于B，因为随机变量X服从正态分布，则对称轴为，，所以，故B正确； 对于C，三个事件A，B，C两两独立能推出，且，且，但是推不出， 比如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，事件A：取出的数字为1或2．事件B：取出的数字为1或3，事件C：取出的数字为1或4， 则为取出数字1， 所以， 满足．且，且， 但是推不出，故选项C错误； 当事件A，B，C两两互斥时，则互斥 则,D选项正确； 故选：BD. 10. 关于函数的图象的切线，下列说法正确的是（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 经过点的切线方程为 C. 切线与的图象必有两个公共点 D. 在点处的切线过点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A、C、D，设切点为，表示出切线方程，求出，即可判断B. 【详解】由得， 对于A：由，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：设切点为，所以，所以切线方程为， 又切线过点，所以，解得或， 所以过点的切线方程为或，故B错误； 对于C、D：，则在点的切线方程为， 则，即， 因为，则，即， 即，所以， 又，当时， 又点在函数上，且与点相异， 即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点）， 对于切线，则切点不是坐标原点， 所以切线与的图象必有两个公共点，故C、D正确. 故选：ACD 11. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】二项式系数和为，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二项式定理可得，所以，它是的展开，得到C；，， 化简即可得D. 【详解】， 展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到， ，所以B对； 由二项式定理可得：，， 所以，， ， ，故C对； ， ， ， ，，故D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数确定项即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 因此含的项为第3项，即， 所以的系数是. 故答案为：40 13. 某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正态分布，根据题意，求出的概率，再由独立重复试验的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】因为高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数均服从正态分布，， 所以， 因此三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查正态分布以及独立重复试验，属于基础题型. 14. 定义区间，其中，则满足的m的最大值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，依次求出，即可求出m的最大值. 【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用根式的性质比较大小. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程； （Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I）利用导数求得函数图像在处切线的斜率，根据两条直线垂直斜率的关系列方程，解方程求得的值，求得切点坐标后求出切线方程.（II）设切点坐标，利用导数求得切线方程，将代入切线方程并化简，构造函数，将条切线问题转化为直线与有三个不同交点问题来解决，利用导数求得的极大值和极小值，由此求得的取值范围. 【详解】（Ⅰ）由得，于是在处的切线的斜率为. 由于切线与直线垂直，所以. 故实数的值为. 当时，切点为，切线为; 当时，切点为，切线为. （Ⅱ）设切点坐标，切线斜率为，则有，所以切线方程为： 因为切线过，所以将代入直线方程可得： , 所以问题等价于方程，令, 即直线与有三个不同交点. 由，令解得, 所以在单调递减，在单调递增.的极大值为，极小值为,所以若有三个交点，则, 所以当时，过点存在条直线与曲线相切 . 【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线的问题，考查两直线垂直时斜率的关系，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 16. 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码 1 2 3 4 5 6 销售额 （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 （1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果，求出销售额关于时间的回归方程.（注：数据保留整数）； （3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，即可选择类型； （2）根据已知数据求的值，可得销售额关于时间的回归方程； （3）随机变量的所有可能取值为1，2，3，计算每个可能取值的概率，并写出分布列及数学期望即可. 【小问1详解】 根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型， 所以更适合作为销售额关于时间的回归方程类型； 【小问2详解】 ，， ， ， 所以，销售额关于时间的回归方程为； 【小问3详解】 的所有可能取值为1，2，3， 则， ， . 所以，的分布列为 1 2 3 ， 即的数学期望为2. 17. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 【答案】（1），，，， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，，，，； 【小问2详解】 因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： 【小问3详解】 ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，时，证明：； （3）证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论的值，得到的单调性； （2）当时，结合(1)得到，可将问题转化为为证明，令，结合导数研究单调性即可证明； （3）由（2）知：，令，有，，……，，利用累加法即可证明. 【小问1详解】 由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. 【小问3详解】 由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是由单调性得到以及，令，结合累加法证明. 19. Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. （1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 【答案】（1）分布列见解析，0 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望， （2）（i）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解（i）， （ii）设事件A：粒子在第2n秒末第一次回到原点，事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位， 根据，结合的定义，即可求解． 【小问1详解】 依题可知，的可能取值为， ，， ，， 的分布列如下： -3 -1 1 3 . 【小问2详解】 （i），， （ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点， 事件：粒子第1秒末向右移动一个单位. ， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为， 以下仅考虑事件. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设， 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知 数列的前项中有个1和个. ，， 粒子在余下秒中运动的位置满足， 即， 粒子在余下秒中运动方式的总数为， ，又， . 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期期末模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，下列说法正确的为（ ） A. 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1 B. 在处的导数为3 C. 的图象在点处的切线的斜率为6 D. 的极小值点为 2. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数变小 C. 相关指数变小 D. 解释变量与响应变量的线性相关程度变弱 3. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 4. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 7 B. 7.7 C. 8.4 D. 9.1 6. 若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，则 B. 若随机变量X服从正态分布，则 C. 当事件A，B，C两两独立时， D. 当事件A，B，C两两互斥时， 10. 关于函数的图象的切线，下列说法正确的是（ ） A. 在点处的切线方程为 B. 经过点的切线方程为 C. 切线与的图象必有两个公共点 D. 在点处的切线过点，则 11. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________．（用数字作答） 13. 某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为______． 14. 定义区间，其中，则满足的m的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程； （Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 16. 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码 1 2 3 4 5 6 销售额 （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 （1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果，求出销售额关于时间的回归方程.（注：数据保留整数）； （3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 17. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，时，证明：； （3）证明：. 19. Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. （1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $