山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试预测卷

**基本信息** 本试卷为高二数学期末预测卷，以田墘红楼等红色景点、双休政策调查为情境，覆盖函数与导数、概率统计等核心知识，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、随机变量分布|基础巩固，如第3题用分步乘法原理解决景点选择问题| |多选题|3/18|组合数性质、正态分布|综合辨析，如第10题结合超几何分布与期望考查推理能力| |填空题|3/15|信号接收概率、函数极值|情境应用，第12题用全概率公式解决通信误差问题| |解答题|5/77|统计案例、函数零点证明|分层提升，18题结合双休调查考独立性检验与分布列，19题函数零点证明体现逻辑推理|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试预测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点（景点人数不限），则这3名学生的旅游安排方式共有（    ）． A．6种 B．24种 C．64种 D．81种 4．（本题5分）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 7．（本题5分）设 ，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列说法正确的是（     ） A．设随机变量，则 B．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 11．（本题6分）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（   ） A． B． C．单调递增 D．在处取得极小值 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 13．（本题5分）若，则______. 14．（本题5分）已知函数，则下列结论中所有正确结论的序号是 ________ ． ①当时，恒成立； ②，使得函数有两个零点； ③，函数总有一个极值点； ④若函数在区间上单调递增，则． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．（本题15分）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 17．（本题15分）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____________，求： (1)求n和展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中含的项的系数． 18．（本题17分）近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 19．（本题17分）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试预测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D C D B A ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为， 所以 2．D 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 3．C 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点， 则这3名学生的旅游安排方式共有种. 故选：C. 4．D 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 5．C 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 6．D 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 7．B 【分析】用对立事件概率公式和全概率公式求解. 【详解】由题意，，，，， 由全概率公式， 因为，则， ，解得. 8．A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 9．ABD 【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到. 【详解】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 10．ACD 【分析】选项 A，二项分布概率公式求解；选项 B，服从超几何分布求解；选项 C，正态曲线求解；选项 D利用期望的线性性质求解. 【详解】选项 A，因为，则， ，故，A 正确； 选项 B，服从超几何分布，总球数 8 个，取 2 个，则， ，，即，B 错误； 选项 C，，正态曲线关于对称，因此， ，C 正确； 选项 D，集合为，共 6 个元素，任取 3 个的总组合数为， 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为，因此 ，D 正确. 11．ACD 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； 因为在上单调递增，C选项正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，， B选项错误，D选项正确； 故选：ACD. 12．0.55 【分析】由条件概率和全概率公式计算. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ． 故选：0.55. 13． 【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 14．①③④ 【分析】 对于①：当时，，求导分析单调性，最值，即可判断①是否正确；对于②：令，得，分析根的个数，即可判断②是否正确；对于③：求导分析单调性，极值，即可判断③是否正确；对于④：根据题意可得，在上，，即在上，恒成立，进而可判断④是否正确． 【详解】 对于①：当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值， 故对恒成立，故①正确； 对于②：令，得，即， 因，则得，解得， 又因在上单调递增，值域为， 故方程有唯一解，即函数只有一个零点， 不存在，使得函数有两个零点，故②错误； 对于③：，令，得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值，即函数总有一个极值点，故③正确； 对于④：若函数在区间上单调递增，则在上，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 当时，函数为增函数，则有， ，即a的取值范围为，故④正确． 15．(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，根据并集的定义求解即可. （2）根据是的充分不必要条件，得B是C的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【详解】（1）集合， ， 所以. （2）， 由是的充分不必要条件，得集合B是C的真子集， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．(1)或. (2). 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 17．(1)，和 (2) 【分析】（1）根据二项式系数的性质，判断的值和二项式系数最大的项，根据二项式展开式，求出该项即可. （2）根据二项式的展开式，求出指定项即可. 【详解】（1）条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意， 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得； 当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项， 根据二项式展开式可知，第项为， 当时，，当时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项. （2）已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数为. 18．(1) 没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关 (2) ， (3) 答案见解析 【详解】（1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关. （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，. （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为 . 19．(1)极大值为，无极小值； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $