2.1 认识一元二次方程（6题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 命题1：一元二次方程的定义…………………………………………1 命题2：一元二次方程的一般形式……………………………………3命题3：利用一元二次方程的定义求参数……………………………4 命题4：一元二次方程的根……………………………………………5 命题5：已知方程的根求代数式的值…………………………………7 命题6：估算一元二次方程的根………………………………………9 针对训练………………………………………………………………12 命题1： 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B．是一元二次方程，故符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．是多项式，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、是分式方程，故本选项错误； D、当时是一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 4．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 5．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【解析】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 命题2：一元二次方程的一般形式 6．一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B． 7．一元二次方程的一次项是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将原方程写成一般式为， ∴该方程的一次项系数为． 故选：C． 8．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【解析】解：∵一元二次方程化为一般形式后，常数项为， ∴一般形式为， ∴一次项系数是， 故选：A． 9．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 10．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，9 【答案】C 【解析】解：原方程即为：， 所以其二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，， ， 故选：C． 11．一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 【解析】解：， ， 一元二次方程 化为一般形式为：，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，3，，． 命题3：利用一元二次方程的定义求参数 12．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 13．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 【答案】B 【解析】解：由题意得， ∴； 故选B． 14．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 15．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【解析】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 题目中方程的二次项系数为，因此需满足，解得， 故选：B． 16．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 命题4：一元二次方程的根 17．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 18．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 19．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 20．请写出一个以为其中一个根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：根据一元二次方程的基本形式：； 设 将代入得， ； 所以该方程为 故答案为： ． 命题5：已知方程的根求代数式的值 21．已知关于的一元二次方程一个根是2，则的值（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】解：关于的一元二次方的程一个根是2， ， ， 故选：C． 22．若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故选：A． 23．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵于的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以，得， ∴； 故选：A ． 24．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解析】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【解析】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 26．若a是方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2023 【解析】若a是方程的解， 则， ∴， ∴， 故答案为：2023． 27．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 28．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【解析】解：是方程的根， ， ， ． 命题6：估算一元二次方程的根 29．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 30．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 31．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 32．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 33．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【解析】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 针对训练： 1．有下列方程：；；；；；．其中，是一元二次方程的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②⑥ D．①④⑥ 【答案】D 【解析】解：符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； 展开后为，整理得，最高次数为4，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 化简后为，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 整理为，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； ，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 合并同类项得，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； ∴一元二次方程有． 故选：D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，2，1 D．0，，1 【答案】B 【解析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 3．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得：． 故选：D 4．在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 5．若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】解：由题意，得， ∴， ∴； 故选D． 6．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是 【答案】（不唯一） 【解析】解：关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是： ， ， 故答案为：（不唯一）． 7．一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 8．已知关于x的方程的一个根是，则 ． 【答案】 【解析】解： ∵一元二次方程有一个根为， ∴， 解得，， 故答案为：． 9．已知是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【解析】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：0； 11．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【解析】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 12．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】解： ， 是方程的一个根， ， ， 原式              ． 13．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 14．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【解析】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 命题1：一元二次方程的定义…………………………………………1 命题2：一元二次方程的一般形式……………………………………2命题3：利用一元二次方程的定义求参数……………………………2 命题4：一元二次方程的根……………………………………………2 命题5：已知方程的根求代数式的值…………………………………3 命题6：估算一元二次方程的根………………………………………4 针对训练…………………………………………………………………5 命题1： 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 命题2：一元二次方程的一般形式 6．一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 7．一元二次方程的一次项是（    ） A．2 B． C． D． 8．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 9．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 10．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，9 11．一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 命题3：利用一元二次方程的定义求参数 12．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 13．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 14．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 15．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 16．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 命题4：一元二次方程的根 17．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 18．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 19．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 20．请写出一个以为其中一个根的一元二次方程： ． 命题5：已知方程的根求代数式的值 21．已知关于的一元二次方程一个根是2，则的值（   ） A． B． C． D．6 22．若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 24．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 25．已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 26．若a是方程的解，则式子的值为 ． 27．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 28． 已知m是方程的根，求代数式的值． 命题6：估算一元二次方程的根 29．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 30．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 31．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 32．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 33．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 针对训练： 1．有下列方程：；；；；；．其中，是一元二次方程的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②⑥ D．①④⑥ 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，2，1 D．0，，1 3．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 4．在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 5．若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 6．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是 7．一元二次方程化为一般形式是 ． 8．已知关于x的方程的一个根是，则 ． 9．已知是一元二次方程，则的值为 ． 10．已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 11．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 12．已知是方程的一个根，求代数式的值． 13．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 14．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $