精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海中学2025学年第二学期期终考试数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 函数，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， . 2. 若函数是偶函数，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数可得，求导可得，结合条件求结论. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 所以， 所以，又， 所以. 3. 已知随机变量的所有可能取值为1，2，3，且（，2，3），则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，. 由， 得， 所以， 所以. 4. 已知函数的导函数，则是的极__________值点．（选填“大”或“小”） 【答案】大 【解析】 【分析】通过判断导函数在左右两侧的符号变化，即可求解. 【详解】导函数的定义域为， 当时，且，因此，故在上单调递增； 当时，且，因此，故在上单调递减， 因此是的极大值点. 5. 若一组成对数据（，2，…，）的相关系数，则数据（，2，…，）的相关系数为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以 . 6. 设随机变量服从正态分布，记，，，则，，的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】已知随机变量服从正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，即. 7. 已知随机变量服从二项分布，服从二项分布．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由随机变量服从二项分布及，求出，再由随机变量服从二项分布，进而求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以，解得或（舍去）， 而服从二项分布，即， 则. 8. 若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，得对于恒成立， 当时，对于恒成立，满足题意； 当时，函数在上是严格增函数， 则，即，解得（舍去）或. 综上所述，的取值范围是. 9. 若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，再利用导数的几何意义求出切线方程，然后将原点坐标代入可求出，再将代入导函数中可求出切线的斜率. 【详解】因为，所以， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 所以，所以， 所以切线方程的斜率. 10. 某工厂需设计一种容量为、底面半径为的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制成（材料单价为0.001元），其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费；上、下底面各从一个边长为的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内）．若不计其余成本，当变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为__________元． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱形罐头的高为，制造单个罐头外壳的材料费为，由题意可得，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】设圆柱形罐头的高为，制造单个罐头外壳的材料费为元， 由题意可得，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，因为，则, 故当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 即当时，制造单个罐头外壳的材料费用最小，最小为元. 11. 已知函数有两个零点．分别作在与处的切线，若这两条切线与轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设两个切点为，利用导数得到两条切线的方程，联立方程组求得交点的坐标，由为等边三角形，求出边长得面积. 【详解】是方程的两个实数根，则有，， 设两个切点为，两条切线交点为，由， 切线的方程为， 切线的方程为， 两方程联立解得，， ， 由为等边三角形，则，即， 而，即，解得，则， 则. 12. 设，．若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式，并构造函数，利用函数值域的包含关系列式求解. 【详解】函数的定义域均为，求导得， 由对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直， 得对任意，存在，，即， 令函数，函数在上的值域为， 函数在其定义域上单调递增，令其值域为，因此， 当时，，此时，即与矛盾； 当时，，此时，无解； 当时，，此时或，则， 所以的取值范围是. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 若随机变量的方差，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差的线性运算性质，代入已知的方差数值计算即可得到结果. 【详解】，. 14. 某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（ ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相关系数接近1时样本点极接近回归直线的性质即可求解. 【详解】由相关系数可知变量线性相关性极强，样本点应极接近回归直线： 当时，预测值，则9.4更接近预测值； 当时，预测值，10.2更接近预测值. 故模糊的数据可能是. 15. 将、、、分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数、，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】设数的取值构成的集合为，数构成的集合为，列举出满足的数组，找出满足取最大值和最小值对应的集合、，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】设数的取值构成的集合为，数构成的集合为， 满足的数组有：、、、、、、 、、、、、、、、 、、、、，共对， 当，时， 或，时， 满足的样本点有个，此时取最大值，且最大值为； 考虑，若，且集合中的元素个数为， 根据题意可知，任取，则满足的元素， 由此可知，于是得出， 但是，不符合题意，故， 且此时满足的样本点只有个，且为， 此时取最小值，且最小值为. 综上所述，的最大值为，最小值为. 16. 函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为，的极值点个数为．对于以下命题：①，必为奇数；②．判断正确的是（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】分别对函数，进行求导，结合函数的单调性及极值点的定义分析判断即可. 【详解】由， 得， 令，得或， 而， 所以，则的图象关于点对称， 则在附近的导数值异号，即为函数的一个极值点， 由于只有有限个零点，不妨设的零点为， 由，得， 当时，方程无解；当时，解得； 而当时，解得， 而函数在上单调递减，在上单调递增，且， 且附近的导数值必定异号，即这两个解均为极值点. 综上所述，. 由，得， 令，得或， 设，则， 令，得；令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而函数在上单调递增，且时，， 由于只有有限个零点，不妨设的零点为， 由，得， 当时，方程无解，此时函数在附近的导数值异号； 当时，解得； 而当时，方程一定有2个不相等的实数解，满足， 在附近的导数值异号，即这两个解均为极值点， 而，即函数在附近的导数值异号， 为的极值点， 综上所述，，故①②都是真命题. 三、解答题（本大题共5题，解答各题须写出必要的步骤） 17. 一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）．每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作．定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差． 【答案】 3 期望；方差。 【解析】 【分析】分别求得所有可能取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得结果. 【详解】由题意知：所有可能的取值为，则， 故的分布为 ，， ，； 所以的分布列为： 3 ； . 18. 设． （1）当时，证明：是上的严格增函数． （2）当时，求在上的所有极值点． 【答案】（1）当时，， 则， 时，，，，， 对于，，当且仅当时，， 根据导数与函数单调性的关系，若导数在区间内非负且仅在有限个点处为零， 则该函数在该区间上严格单调递增，故是上的严格增函数． （2）和 【解析】 【分析】（1）将代入，求的导函数，再证明导函数在上恒大于0； （2）先将代入，求导后令导函数等于0，求解方程在内的根，再逐一验证每个根两侧导数的符号是否发生变化. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 则， 令，寻找驻点： 即， 在范围内，解得，， 时，，则， 故的符号由分子决定， 分别讨论在两个驻点附近的符号： 在附近： 当时，，此时， ，即； 当时，，此时， ，即，故是一个极大值点. 在附近： 当时，，此时， ，即； 当时，，此时， ，即，故是一个极小值点. 综上所述，在上的所有极值点为和. 19. 为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 （1）补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． （2）为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 16 76 少于12小时 40 64 104 总计 100 80 180 有99.5%的把握认为高中生数学成绩与每周自主学习时间有关联. （2）的分布列为 X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）由题意补充完整列联表，并求得卡方值，与7.879进行比较，即可判断相关性； （2）确定的可能取值0，1，2，3，求得相应的概率得的分布列，再根据期望公式求得期望. 【小问1详解】 列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 16 76 少于12小时 40 64 104 总计 100 80 180 设原假设 ：数学成绩与每周自主学习时间无关.. ∴有的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； 【小问2详解】 数学成绩高于120分的学生共有人， 其中，每周自主学习时间大于12小时：60人；每周自主学习时间不足12小时：40人. 按比例分层抽取10人，则 不少于12小时：人；少于12小时：人. 又因为这10人中恰有1人每周自主学习时间大于16小时，所以10人可看作三类： 大于16小时：1人；少于12小时：4人；其他：5人. 从10人中任取3人，总取法数为. 的可能取值0，1，2，3， ，， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 20. 设函数． （1）当时，解不等式：． （2）若对任意，在处的切线与轴交点纵坐标小于0，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，不等式即，通过导数研究函数单调性，分类讨论解不等式； （2）求出切线方程，可得切线与轴交点纵坐标，由纵坐标小于0，结合导数讨论不等式恒成立问题. 【小问1详解】 当时，， 不等式，即，即， ①若，则，令，则， 由，，即在上单调递增， 而，故无解，不合要求； ②若，则，令，则， 令，则， 故，，单调递减；，，单调递增， ， 故时，恒成立. 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 函数，， 在处的切线方程为， 令，得切线与轴交点的纵坐标为， 代入和的表达式并化简： ， 该纵坐标对任意恒小于0，即对恒成立， 分情况讨论： 若，左边为，右边为0，不等式不成立，故， 若，令，由得， 则不等式化为：对恒成立， 定义函数，求其最大值， 求导得，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 故在处取得最大值， 因此，不等式对所有成立当且仅当，解得或， 所以的取值范围为． 21. 已知随机变量服从如下分布：其中，对应概率、、、且．此时我们定义了的方差． （1）证明，并进一步证明． （2）方差也被称为的阶中心矩，记作．仿照该定义，可以再定义的4阶中心矩． 记，完成以下问题． ①给出一组常数、（用含的式子表示），使得对任意成立，且等号成立当且仅当或．并证明该不等式． ②求的最大值． 【答案】（1）因为，对应概率、、、且， 所以，，，， 所以， 所以 . （2）①因为，所以， 令，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以要满足，且等号成立当且仅当或， 只需直线过点和即可， 所以，， 下面证明不等式，其中， 构造函数，其中， ，令，则， 所以函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故对任意的，， 故当，时，对任意成立， 且等号成立当且仅当或. ② 【解析】 【分析】（1）利用不等式的基本性质得出，，，，利用不等式的基本性质结合期望公式可证得，再利用结合二次函数的基本性质可证得； （2）①利用导数分析函数的单调性，分析可知直线过点和即可，据此可求出、的表达式，再构造函数，其中，结合导数法证明即可； ②由①结合期望的性质得出，构造函数，其中，利用导数求出该函数的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知 ， 令，其中， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，， 故函数在上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2025学年第二学期期终考试数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 函数，则__________． 2. 若函数是偶函数，，则__________． 3. 已知随机变量的所有可能取值为1，2，3，且（，2，3），则__________． 4. 已知函数的导函数，则是的极__________值点．（选填“大”或“小”） 5. 若一组成对数据（，2，…，）的相关系数，则数据（，2，…，）的相关系数为__________． 6. 设随机变量服从正态分布，记，，，则，，的大小关系为__________． 7. 已知随机变量服从二项分布，服从二项分布．若，则__________． 8. 若函数在上是严格增函数，则的取值范围是__________． 9. 若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 10. 某工厂需设计一种容量为、底面半径为的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制成（材料单价为0.001元），其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费；上、下底面各从一个边长为的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内）．若不计其余成本，当变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为__________元． 11. 已知函数有两个零点．分别作在与处的切线，若这两条切线与轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为__________． 12. 设，．若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是__________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 若随机变量的方差，则（ ）． A. B. C. D. 14. 某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（ ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A. B. C. D. 15. 将、、、分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数、，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 16. 函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为，的极值点个数为．对于以下命题：①，必为奇数；②．判断正确的是（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，解答各题须写出必要的步骤） 17. 一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）．每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作．定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差． 18. 设． （1）当时，证明：是上的严格增函数． （2）当时，求在上的所有极值点． 19. 为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 （1）补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． （2）为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 设函数． （1）当时，解不等式：． （2）若对任意，在处的切线与轴交点纵坐标小于0，求的取值范围． 21. 已知随机变量服从如下分布：其中，对应概率、、、且．此时我们定义了的方差． （1）证明，并进一步证明． （2）方差也被称为的阶中心矩，记作．仿照该定义，可以再定义的4阶中心矩． 记，完成以下问题． ①给出一组常数、（用含的式子表示），使得对任意成立，且等号成立当且仅当或．并证明该不等式． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $