上海市上海中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海中学2025学年第二学期期终考试 数学试题 高二 班学号 姓名 成绩 一、填空题（每题3分，共36分） 1.函数f(x)=x5+1,则f'(x)= 2.若函数f(x)是偶函数，'(1)=2，则f'(-1)=_ 3.已知随机变量X的所有可能取值为1,2,3，且P(X=k)=ka(k=1,2,3),则a=_ 4.已知函数f(x)的导函数f'(x)=如x,则x=π是f(x)的极一_值点.（选填“大”或 “小”) 5.若一组成对数据(y1)(1=1,2,…,n)的相关系数r=0.9,则数据(x2y)(L=1,2,,n)的 相关系数为 6.设随机变量x服从正态分布N(2,o2),记P1=P(0<X<1),P2=P(1<X<2), 3=P(2<X<3),则P1,P2,Pg的大小关系为 7.己知随机变量X服从二项分布B(2,p),Y服从二项分布B(4,p).若P(X≥1)=。则 P(Y21)=-— 8.若函数f(x)=x3-ax在(a,+o)上是严格增函数，则a的取值范围是 9.若直线过原点，且与f(x)=lnx+x相切，则的斜率为_ 10.某工厂需设计一种容量为l000mL、底面半径为rcm的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制 成（材料单价为0.001元/cm),其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费上、下底面各从一 个边长为2rcm的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内），若不计 其余成本，当r变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为元 11.已知函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1<x2.分别作f(x)在x=为与x=x2处的切线， 若这两条切线与x轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为_ 12.设f(x)=slnx+Qx,g(x)=ex一ax.若对任意u∈R,存在v∈R,使得f(x)在x=u处的 切线与g(x)在x=v处的切线垂直，则a的取值范围是 二、选择题（每题4分，共16分) 13.若随机变量X的方差D[灯=1，则D[-2X幻=( (A)-2 B)-4 (C)2 D)4 14.某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认.已知其线性回归方程为 )=1.8437?+7.7875,相关系数r≈0.999，则模糊的数据可能是（ 数据x 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据y 9.1 10.4 10.9 (A)9.1,10.5 B)9.3,10.2 (C)9.4,10.2 (①)9.4,10.3 15.将1,2，，20分为没有公共元素的两组，每组各10个数.现从这两组中独立且随机地各选择一 个数u,,定义随机变量X=u一l.在所有分组方式中，P(X=1)的最大值与最小值分别为 ( (A)0.2,0 B)0.2,0.01 (C)0.19,0 ①)0.19,0.01 16.函数f(x)与其导函数f'(x)都是定义在R上的连续函数，且f'(x)只有有限个零点 记函数g1(x)=f(x2-2x+1)的极值点个数为M,g2(x)=f(x-x-1)的极值点个数为N. 对于以下命题：①M,N必为奇数：②M=,N.判断正确的是（ ). (A)①是真命题，②是假命题 B)①是假命题，②是真命题 (C)①②都是真命题( (D)①②都是假命题 1 二、解答题（本大题共5题，解答各题须写出必要的步骤） 17.(本题8分)一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）.每次操作中，从 袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作， 定义随机变量X为这三次操作中摸出的黑球总数.求X的分布、期望与方差 18.（本题8分)设f(x)=tanx+asinx. (①)当a=一1时，证明：f(x)是(-，)上的严格增函数。 ②)当a=8时，求f(x)在（经，）上的所有极值点. 19.(本题10分)为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名 学生进行调查，根据调查结果得到如下2×2列联表： 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 每周自主 大于12小时 60 76 学习时间 不足12小时 64 总计 180 (1)补全上述表格，并取显著性水平α=0.005，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有 关联 (②)为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时 间是否大于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时. 现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量X为其中每周自主学习时间大于 16小时与不足12小时的人数之差的绝对值.求x的分布与期望 (注：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d' 其中n=a+b+c+d) Px2≥ka) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 ka 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20.(本题10分)设函数f(x)=eax+x2-ax. (1)当a=1时，解不等式：f(x)>xex. (2)若对任意a∈R,f(x)在x=xo处的切线与y轴交点纵坐标小于0，求xo的取值范围. 21.（本题12分)已知随机变量X服从如下分布： x1x2·xn-1xn） p1p2…pn-1pn/ 其中0≤x1<x2<…<xn≤1，对应概率p1,p2,pnE(0,1)且p1十p2+…+Pm=1. 此时我们定义了X的方差D[X]=E[(X-E[)]. (1)证明E[x2]≤E[X],并进一步证明D[)≤ (2)方差也被称为X的2阶中心矩，记作2·仿照该定义，可以再定义X的4阶中心矩 4=E[(X-E[X)]. 记μ=E[X灯，完成以下问题. ①给出一组常数A,B(用含u的式子表示)，使得(x一)4≤Ax+B对任意x∈[0,1]成立，且等号 成立当且仅当x=0或1.并证明该不等式. ②求μ4的最大值 2