2.3实数（二）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学《2.3实数（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.能准确对实数进行分类，明确实数的两种分类标准。 2.理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单的实数。 3.掌握实数大小比较的方法，能比较有理数与无理数、无理数与无理数的大小。 4.掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质，能熟练求实数的相反数和绝对值。 5.明确有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用，能进行实数的简单运算。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）实数的分类； （2）实数的性质（相反数、绝对值）； （3）实数的大小比较与简单运算。 2.难点： （1）实数与数轴上点的一一对应关系的理解； （2）无理数大小的估算与比较；含无理数的混合运算。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 实数可分为________和________两类，其中________是无限不循环小数。 【 答案 】 ：有理数；无理数；无理数 2. 按性质分，实数可分为________、 _______ 和 _______ 。 【 答案 】 ：正实数；负实数；0 3. 数轴的三要素是________、和，数轴上的点与________是一一对应的关系。 【 答案 】 ：原点；正方向；单位长度；实数 4. 实数a的相反数是________，若a ≠ 0，则它的倒数是________。 【 答案 】 ：-a；1 / a 5. 正数的绝对值是________，负数的绝对值是________，0的绝对值是________。 【 答案 】 ：它本身；它的相反数；0 6. 有理数的运算律在________范围内仍然适用，实数进行开方运算时，正数和0可以开________方，任意实数可以开________方。 【 答案 】 ：实数；偶次；奇次 ) 四．课堂探秘 （一）实数及其分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 （二）实数与数轴 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 【活动】：（1）.如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ 【解析】OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的表示的数为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出。 （2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-. 当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数。 【归纳】任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的任意一个点都对应着一个唯一的实数，这就是实数与数轴的一一对应关系。 （三）实数的大小比较 实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： 1.根据符号比较实数大小：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数； 2.两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 3.根据数轴比较实数大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4.对于无理数，可通过估算其近似值或比较被开方数的大小来判断，如比较和2，因2=，且5>4，故>=2。 （四）实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 （五）实数的运算 1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 3. 运算律： （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 4. 实数混合运算的注意点： （1）要注意运算顺序； （2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； （3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 （六）经典例题 例1．下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【答案】C 【解析】（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选：C． 例2．点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（　　） A．﹣5 B． C． D．﹣3 【答案】C 【解析】根据图中可以看出点A对应的实数是一个正数， 且只有C选项满足，故选：C． 例3．实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．mn＞0 B．m＞﹣n C．|m|＞|n| D．m+1＞n+1 【答案】B 【解析】A．由图可知，﹣1＜m＜0＜2＜n＜3，得mn＜0，那么A错误，故A不符合题意． B．由图可知，﹣1＜m＜0＜2＜n＜3，得m＞﹣n，那么B正确，故B符合题意．C．由图可知，﹣1＜m＜0＜2＜n＜3，得|m|＜|n|，那么C错误，故C不符合题意．D．由图可知，﹣1＜m＜0＜2＜n＜3，得n+1＞m+1，那么D错误，故D不符合题意．故选：B． 例4．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+b＞c+b C．ac＞bc D．ab＞cb 【答案】D 【解析】由数轴可得：a＜b＜0＜c，∴a＜b．∴a＜c．由不等式的性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．∴a+c＜b+c．∴A选项错误．∵a＜c． 由不等式的性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．∴a+b＜c+b．∴B选项错误∵c＞0．由不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．∴ac＜bc∴C选项错误．∵b＜0．由不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．∴ab＞cb∴D选项正确．故选：D． 例5.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 解：（1）原式＝﹣8×4＋（﹣4）×﹣3＝﹣32﹣1﹣3＝﹣36； （2）原式＝﹣3﹣0﹣＋＋＝﹣2。 例6. 已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． 解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64， ∴e2＝(±)2＝2，＝=4. ∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6． 例7. 定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 解：（1） （2） 五．课堂检测 （一）选择题 1.下列说法正确的是（　　） ①﹣是2的一个平方根②（﹣2）2的算术平方根是﹣2③的平方根是±2④0的平方根没有意义． A.①②③ B．①④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【解析】①﹣是2的一个平方根，故①正确；②（﹣2）2的算术平方根是2，故②错误； ③=4，4的平方根是±2，故③正确；④0的平方根是0，故④错误． 2.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 【答案】D 【解析】由于为实数, 2、( +1)2、均为非负数，∴－2≤0，－( +1)2≤0，－≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A、B、C不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(+1)﹤0．故选D 3.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 【答案】A 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a+2＞b+2 B．|a﹣1|＜|b﹣1| C．|a|＞|b| D．a+b＞0 【答案】D 【解析】由数轴得﹣1＜a＜0，1＜b＜2，A、∵a＜b，∴a+2＜b+2，故A选项错误；B、∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴﹣2＜a﹣1＜﹣1，0＜b﹣1＜1，∴|a﹣1|＞|b﹣1|，故B选项错误；C、∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴|a|＜|b|，故C选项错误；D、∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+b＞0，故D选项正确．故选：D． 5．若|3﹣a|+=0，则a+b的值是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9 【答案】 B 【解析】∵|3﹣a|+=0，∴3=a，b=﹣6，则a+b=﹣3．故选：B． 6．如图，a，b两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A．a＝b B．﹣2a＜﹣2b C．a+3＜b+3 D． 【答案】C 【解析】观察数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴﹣2a＞﹣2b，a+3＜b+3，， ∴A、B、D选项的说法错误，C选项的说法正确，故选：C． （二）填空题 7．（3﹣π）0﹣3﹣1＝　　 ． 【答案】 【解析】（3﹣π）0﹣3﹣1＝1-=，故答案为：． 8.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1如2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，计算： π⊕（-2）=________. 【答案】 π+3． 【解析】原式转化为：π⊕（-2）=|π﹣（-2）|+1=π+3 （三）解答题 9.已知m是的整数部分，n是的小数部分。 求：（1）（m＋n）2的值； （2）－m的值。 解：∵m是的整数部分，n是的小数部分，∴m＝﹣4，n＝4； （1）（m＋n）2＝（﹣4＋4）2＝（）2＝19； （2）－m＝＝－＝－。 10.阅读下列材料： 如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即xn＝a，则x叫做a的n次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2. 回答问题： (1)64的6次方根是 ，－243的5次方根是 ，0的10次方根是 ； (2)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】（1）±2，-3，0；（2）当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0. 【解析】（1）（±2）6=64，所以64的6次方根是±2；（－3）5=－243，所以－243的5次方根是－3；010=0，所以0的10次方根是0；（2）当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.实数是由________和________组成的，其中有理数包括________和________。 【答案】：有理数；无理数；整数；分数 2.数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做a的________，记作________。 【答案】：绝对值；|a| 3.若实数a与b互为相反数，则a+b=；若互为倒数，则ab=。 【答案】：0；1 4.比较两个负实数的大小，只需比较它们的________，________大的反而小。 【答案】：绝对值；绝对值 5.实数的运算中，和________运算的结果仍是实数，0不能做。 【答案】：加、减、乘、除（除数不为0）；乘方；除数 （二）强化训练 一．选择题 1.在实数，，﹣，0，，中，分数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】实数=4，，﹣，0，，=﹣2中，分数是，个数是1， 故选A 2.若将﹣，，、四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A． ﹣ B． C． D． 【答案】B 【解析】﹣是负数，在原点的左侧，不符合题意；＜＜6＜，即2＜＜3，符合题意；＞，即＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；＞，即＞4，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；故选：B． 3.若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【答案】B 【解析】∵2＜＜3，∴x=2，y=﹣2，∴（x+）y=（2+）×（﹣2）=7﹣4=3，故选：B． 4.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵2＜＜3，∴n=2，故选：B． 5.在实数范围内下列判断正确的是（ ） A、若|m|=|n|，则m=n B、若a2 >b2,则a>b C、若=，则a=b D、若=（）2，则a=b 【答案】C 【解析】A错误，互为相反数；B错误a<0，b>0时也可能；C正确；D错误，a<0，b>0且互为相反数。 6．下列等式中：①=②=±4 ③=0.001 ④=﹣⑤=﹣⑥﹣（﹣）2=25中正确的有个．（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】①原式=，错误；②原式=|﹣4|=4，错误；③原式=10﹣3=0.001，正确；④原式=﹣，正确；⑤原式=﹣2，正确；⑥原式=﹣5，错误，则正确的有3个，故选：B． 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A． ﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 【答案】D 【解析】根据题意得：点B表示的数为﹣1或+1，故选：D． 8．如图，a，b是数轴上的两个数，则a﹣b可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．0.5 D．1 【答案】A 【解析】由数轴可知：a＜0＜b，∴a﹣b＜0，故选：A． 9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1）ab＜0，（2）a+b＜0，（3）a﹣b＜0，（4）2a＞2b，其中，正确的是（　　） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 【答案】C 【解析】根据已知条件，可得a＜b＜0＜c．∴ab＞0，故结论（1）不正确；∵a＜0，b＜0， ∴a+b＜0，结论（2）正确；∵a＜b，∴a﹣b＜0，结论（3）正确；∵a＜b，∴2a＜2b，结论（4）不正确．故选：C． 10．已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①当x＞2时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为x﹣2+x﹣1+x+1+x+2＝4x＞0，故①错误；②|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|}表示数轴上表示x的点到表示2，1，﹣1，﹣2的点的距离之和，所以当﹣1≤x≤1时，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的值最小，最小值为6，故②正确；③共有15种不同的“防御操作”，依次为：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2，x﹣2+|x﹣1|+x+1+x+2，x﹣2+x﹣1+|x+1|+x+2，x﹣2+x﹣1+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+x+2，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2，|x﹣2|+x﹣1+x+1+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+x+2，x﹣1+|x﹣1|+x+1+|x+2|，x﹣2+x﹣1+|x+1|+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+x+2，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，故③正确．故选：C． 二．填空题 11.点A在数轴上和原点相距3个单位,点B在数轴上和原点相距个单位,则A，B两点之间的距离是________ 【答案】3＋或3－ 【解析】根据题意，点A在数轴上距原点的距离为3个单位，则A表示的实数为±3；点B在数轴上和原点相距个单位，B表示的实数为±，则A、B两点之间的距离为 或3+ . 12. 直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴的负方向滚动2周(不滑动)，圆上的一点由原点到达O′，点O′所对应的实数是___________． 【答案】-2π 【解析】2×2π×=2π，所以点O '所对应的实数是－2π. 13.实数在数轴上的位置如图所示, 化简:= 【答案】1 【解析】由数轴可知:1﹤﹤2,于是所以, =－1+2－=1. 14.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 【答案】－2 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 15.已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为。 【答案】8 【解析】因为（－2）2+=0，所以－2=0，b－3=0。所以=2， b=3；所以b=8 16.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[2.89]＝2，[]＝1，按此规定，[﹣1]＝__________。 【答案】3 【解析】：∵4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴[﹣1]＝3。故答案为：3。 17. 如果是的整数部分，是的小数部分， =________． 【答案】 【解析】根据估算，可知的整数部分为a=3，小数部分为-3. 所以a-b=3-（-3）=6-. 18．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为　 　． 【答案】． 【解析】：两个正方形的边长都是1，两个小正方形的面积都为1，剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，∴此大正方形的边长为，故答案为：． 19．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时．表示非负实数a的整数部分，例如．按此方案，第2025棵树种植在点处，则x2025=_______． 【答案】675 【解析】由题意可得：当，7，10，13时，， 当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，∴， ，，．且2025=675×3，x2025=675，故答案为：675． 20．观察下列等式： ①3－=（－1）2，②5－=（－）2，③7－=（－）2，… 请你根据以上规律，写出第5个等式____． 【答案】 【解析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．因为等式左边第一项依次增加2，所以第5个等式的第一项是11，因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，所以这个数是30，观察其余部分都相同，直接带下来即可，所以第5个等式是．故答案为：． 三．解答题 21．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 解：(1)原式＝4＋＋2＝6. (2)原式＝2－8－2＝－8. (3)原式＝4×5＋π－1－3＝20＋π－1－3＝16＋π.[来源 : (4)原式＝6＋－1＋2＋5＝12＋. (5)原式＝1＋5＋3－3＋＝6＋. 22.阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。 例如计算：（2﹣i）＋（5＋3i）＝（2＋5）＋（﹣1＋3）i＝7＋2i； （1＋i）×（2﹣i）＝1×2﹣i＋2×i﹣i2＝2＋（﹣1＋2）i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝__________，i4＝__________； （2）计算：（1＋i）×（3﹣4i） （3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2025。 解：（1）i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1。故答案为：﹣i，1； （2）（1＋i）×（3﹣4i）＝3﹣4i＋3i﹣4i2＝3﹣i＋4＝7﹣i； （3）i＋i2＋i3＋…＋i2025＝i﹣1﹣i＋1＋…＋i＝i。 23. （1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根； （2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足，求c的取值范围． 解:（1）∵要使有意义∴x-3≥0且3-x≤0,∴x≥3且x≤3 ∴x=3,∴=0+0+8=8,∴5x+13y+6=15+104+6=125∴5x+13y+6的立方根是； （2）∵∴+（b-3）2=0,又∵≥0，（b-3）2≥0，∴a-1=0,b-3=0,∴a=1，b=3,∴b-a<c<b+a∴2<c<4 24.阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b=m2+2n2+2mn，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=　 　，b=　 　 （2）若a+4=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值． 解：(1)∵a+b=(m+n)2，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn； （2）由题意，得∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13 25.课堂上老师讲解了比较﹣和﹣的方法，观察发现11﹣10=15﹣14=1，于是比较这两个数的倒数： == == 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 解：（+）2=8+2×+3=11+2，（+）2=6+2××+5=11+2， ∴11+2＜11+2，∴（+）2＜（+）2，∵+＞0，+＞0，∴+＜+． 26..阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵， 设（0＜k＜1）．∴．∴13=9+6k+k2． ∴13≈9+6k．解得 ．∴． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且m=a2+b，则　　（用含a、b的代数式表示）； （3）请用（2）中的结论估算的近似值为：　　． 解：（1）∵＜＜，设=5+k（0＜k＜1），∴（）2=（5+k）2， ∴31=25+10k+k2，∴31≈25+10k．解得k≈，∴≈5+≈5+0.6=5.6； （2）设=a+k（0＜k＜1），∴m=a2+2ak+k2≈a2+2ak，∵m=a2+b，∴a2+2ak=a2+b， 解得k=，∴≈a+； （3）≈7+≈7.57． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学《2.3实数（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.能准确对实数进行分类，明确实数的两种分类标准。 2.理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单的实数。 3.掌握实数大小比较的方法，能比较有理数与无理数、无理数与无理数的大小。 4.掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质，能熟练求实数的相反数和绝对值。 5.明确有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用，能进行实数的简单运算。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）实数的分类； （2）实数的性质（相反数、绝对值）； （3）实数的大小比较与简单运算。 2.难点： （1）实数与数轴上点的一一对应关系的理解； （2）无理数大小的估算与比较；含无理数的混合运算。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 实数可分为________和________两类，其中________是无限不循环小数。 2. 按性质分，实数可分为________、 _______ 和 _______ 。 3. 数轴的三要素是________、和，数轴上的点与________是一一对应的关系。 4. 实数a的相反数是________，若a ≠ 0，则它的倒数是________。 5. 正数的绝对值是________，负数的绝对值是________，0的绝对值是________。 6. 有理数的运算律在________范围内仍然适用，实数进行开方运算时，正数和0可以开________方，任意实数可以开________方。 ) 四．课堂探秘 （一）实数及其分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 （二）实数与数轴 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 【活动】：（1）.如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ （2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-. 当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数。 【归纳】任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的任意一个点都对应着一个唯一的实数，这就是实数与数轴的一一对应关系。 （三）实数的大小比较 实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： 1.根据符号比较实数大小：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数； 2.两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 3.根据数轴比较实数大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4.对于无理数，可通过估算其近似值或比较被开方数的大小来判断，如比较和2，因2=，且5>4，故>=2。 （四）实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 （五）实数的运算 1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 3. 运算律： （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 4. 实数混合运算的注意点： （1）要注意运算顺序； （2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； （3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 （六）经典例题 例1．下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 例2．点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（　　） A．﹣5 B． C． D．﹣3 例3．实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．mn＞0 B．m＞﹣n C．|m|＞|n| D．m+1＞n+1 例4．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+b＞c+b C．ac＞bc D．ab＞cb 例5.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 例6. 已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． 例7. 定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 五．课堂检测 （一）选择题 1.下列说法正确的是（　　） ①﹣是2的一个平方根②（﹣2）2的算术平方根是﹣2③的平方根是±2④0的平方根没有意义． A.①②③ B．①④ C．②③④ D．①③ 2.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 3.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a+2＞b+2 B．|a﹣1|＜|b﹣1| C．|a|＞|b| D．a+b＞0 5．若|3﹣a|+=0，则a+b的值是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9 6．如图，a，b两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A．a＝b B．﹣2a＜﹣2b C．a+3＜b+3 D． （二）填空题 7.（3﹣π）0﹣3﹣1＝　　 ． 8.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1如2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，计算： π⊕（-2）=________. （三）解答题 9.已知m是的整数部分，n是的小数部分。 求：（1）（m＋n）2的值； （2）－m的值。 10.阅读下列材料： 如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即xn＝a，则x叫做a的n次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2. 回答问题： (1)64的6次方根是 ，－243的5次方根是 ，0的10次方根是 ； (2)归纳一个数的n次方根的情况． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.实数是由________和________组成的，其中有理数包括________和________。 2.数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做a的________，记作________。 3.若实数a与b互为相反数，则a+b=；若互为倒数，则ab=。 4.比较两个负实数的大小，只需比较它们的________，________大的反而小。 5.实数的运算中，和________运算的结果仍是实数，0不能做。 （二）强化训练 一．选择题 1.在实数，，﹣，0，，中，分数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.若将﹣，，、四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A． ﹣ B． C． D． 3.若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 4.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5.在实数范围内下列判断正确的是（ ） A、若|m|=|n|，则m=n B、若a2 >b2,则a>b C、若=，则a=b D、若=（）2，则a=b 6．下列等式中：①=②=±4 ③=0.001 ④=﹣⑤=﹣⑥﹣（﹣）2=25中正确的有个．（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A． ﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 8．如图，a，b是数轴上的两个数，则a﹣b可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．0.5 D．1 9．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1）ab＜0，（2）a+b＜0，（3）a﹣b＜0，（4）2a＞2b，其中，正确的是（　　） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 10．已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 11.点A在数轴上和原点相距3个单位,点B在数轴上和原点相距个单位,则A，B两点之间的距离是________ 12. 直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴的负方向滚动2周(不滑动)，圆上的一点由原点到达O′，点O′所对应的实数是___________． 13.实数在数轴上的位置如图所示, 化简:= 14.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 15.已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为。 16.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[2.89]＝2，[]＝1，按此规定，[﹣1]＝__________。 17. 如果是的整数部分，是的小数部分， =________． 18．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为　 　． 19．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时．表示非负实数a的整数部分，例如．按此方案，第2025棵树种植在点处，则x2025=_______． 20．观察下列等式： ①3－=（－1）2，②5－=（－）2，③7－=（－）2，… 请你根据以上规律，写出第5个等式____． 三．解答题 21．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 22.阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。 例如计算：（2﹣i）＋（5＋3i）＝（2＋5）＋（﹣1＋3）i＝7＋2i； （1＋i）×（2﹣i）＝1×2﹣i＋2×i﹣i2＝2＋（﹣1＋2）i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝__________，i4＝__________； （2）计算：（1＋i）×（3﹣4i） （3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2025。 23. （1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根； （2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足，求c的取值范围． 24.阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b=m2+2n2+2mn，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=　 　，b=　 　 （2）若a+4=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值． 25.课堂上老师讲解了比较﹣和﹣的方法，观察发现11﹣10=15﹣14=1，于是比较这两个数的倒数： == == 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 26..阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵， 设（0＜k＜1）．∴．∴13=9+6k+k2． ∴13≈9+6k．解得 ．∴． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且m=a2+b，则　　（用含a、b的代数式表示）； （3）请用（2）中的结论估算的近似值为：　　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $