精品解析：福建龙岩市长汀县2025-2026学年第二学期期末质量监测八年级数学试题

2025-2026年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 2，2，5 D. 12，5，13 4. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 5. 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石(新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是( ) A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（ ） A. 该组数据的个数和方差 B. 该组数据的个数和平均数 C. 该组数据的方差和个数 D. 该组数据的平均数和个数 9. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 10. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 实数x在______范围内取值时，表示二次根式． 12. 一组数据的平均数是4，则__________． 13. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 14. 已知：如图，在方格图中_____________． 15. 的对角线相交于点，，若，，则的周长是________． 16. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 19. 如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 20. 已知与x成正比例，且时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 21. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 22. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 23. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB． （1）求证：AD＝CF； （2）当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由） 24. 阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：、、、，以上这四个点中________不是线段的“等距点”，________是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围__________． 25. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、除法以及减法，求一个数的立方根，根据知识点一一判断即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； 由二次根式的陈除法可知：，故选项B正确，符合题意； 无法化成有理数，故选项C错误，不符合题意； 由二次根式的加减可知：，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 2，2，5 D. 12，5，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理以及构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 4. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 5. 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石(新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式，直接代入正六边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：依题意，该正六边形内角和为． 6. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 7. 如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角、多边形的内角和公式等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 由正多边形的性质可得，则，再求出六边形的内角和为，最后根据等于六边形的内角和减去即可解答． 【详解】解：∵五边形是正五边形，， ∴， ∵六边形的内角和为：， ， 故选：D． 8. 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（ ） A. 该组数据的个数和方差 B. 该组数据的个数和平均数 C. 该组数据的方差和个数 D. 该组数据的平均数和个数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的定义对比判断即可． 【详解】解：方差的标准计算公式为 ， ∵公式中表示该组数据的个数，表示该组数据的平均数， ∴对比题目给出的方差公式，可得对应公式中的，是该组数据的个数，对应公式中的，是该组数据的平均数， 故选B符合题意． 9. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两车开始充电时电量都是，故A正确； B、当时，甲车的图象在乙车的上方， ∴甲车的电量比乙车的电量高，故B正确； C、∵甲车的图象是曲线，乙车的图象是直线， ∴由图象得，只有从到时，两车的电量增加所需的时间才相等，故C错误； D、当时，乙车的图象在甲车的上方， ∴按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到，故D正确． 10. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 实数x在______范围内取值时，表示二次根式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，准确分析计算是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】根据二次根式的定义，被开方数必须满足大于或等于零，即，解得． 故答案为． 12. 一组数据的平均数是4，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平均数的定义，根据平均数的定义，所有数据之和除以数据的个数等于平均数，据此构建方程求解． 【详解】∵一组数据的平均数是4， ∴ ∴． 故答案为：3． 13. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 【答案】时间 【解析】 【分析】根据定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断求解． 【详解】解：由题意可知，气温随时间的变化而变化，其中时间是主动变化的量，气温是随时间变化的量，因此自变量是时间． 14. 已知：如图，在方格图中_____________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出是等腰直角三角形． 15. 的对角线相交于点，，若，，则的周长是________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行线的对角线相互平分是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长是， 故答案为： ． 16. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，由含30度直角三角形的性质得出，，由勾股定理得出，设正方形的边长为x，则，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步即可求出答案． 【详解】解：如下图， 根据题意可知，，， ∵， ∴，， ∴， 设正方形的边长为x， 则，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先得出，再证出四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 20. 已知与x成正比例，且时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键． （1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解； （2）求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可； （3）根据图象可得结论． 【小问1详解】 解：∵与x成正比例， ∴设， 把，代入，得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，，解得， ∴函数图象经过点，， 函数图象如图： 【小问3详解】 解：由图象得：当时，自变量x的取值范围是． 21. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由图1知：增加一个碗，总高度增加，由图2知：当时，，且与是一次函数，据此求解即可； （2）把，分别代入（1）所求函数解析式，即可判断. 【小问1详解】 解：由图1知：增加4个碗，总高度增加， ∴每增加一个碗，总高度增加， 由图2知：当时，，且与是一次函数， ∴； 【小问2详解】 解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 当时，， 当时，， ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层. 22. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；补图见解析 （3）乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： 【小问3详解】 解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 23. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB． （1）求证：AD＝CF； （2）当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形 【解析】 【分析】（1）由已知可得 ，AD∥BC，通过证明四边形ACFD是平行四边形即可得到结论； （2）先证明，再结合已知即可证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可得到结论； （3）先判断△BDF是等腰直角三角形，再由等边对等角得到，根据菱形的性质可得，即可得到结论． 【小问1详解】 AC⊥BD，DF⊥DB AD∥BC 四边形ACFD是平行四边形 AD＝CF 【小问2详解】 点C为BF中点 AD＝CF AD∥BC 四边形ABCD是平行四边形 对角线AC⊥BD 四边形ABCD是菱形 【小问3详解】 当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形；理由如下 DF⊥DB 由（2）得，四边形ABCD是菱形 四边形ABCD是正方形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：、、、，以上这四个点中________不是线段的“等距点”，________是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围__________． 【答案】（1）D，B （2） （3） 【解析】 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，作出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系，根据数形结合可得． 【小问1详解】 解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上，， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是线段的等距点，D不是线段的等距点； “完美等距点”还需要满足 ， 点： ，， ∴，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； 【小问2详解】 解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理得 ， 解得， ∴坐标为； 【小问3详解】 解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴． 25. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）的长为，或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，进而得出，根据矩形的性质，即可求解； （2）由（1）可知，，，进而证明得出四边形是平行四边形，根据折叠的性质可得，即可得证； （3）设，分类讨论，分别画出图形，当时，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是菱形 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． 【小问3详解】 解：设， 如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 如图，当重合时，，解得：，即 如图，当是等腰梯形时，如图 ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $