精品解析：福建省龙岩市长汀县2024—2025学年下学期八年级数学期末质量检查试题

2024-2025年第二学期期末质量检查 八年级 数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二次根式中，字母 的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，求出x的取值范围，进而判断出二次根式中字母x的取值可以是哪个即可； 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵，，，， ∴字母x的取值可以是5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 2. 下列函数的图象是由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位长度，平移后的函数解析式为原函数值加上2，即． 选项中符合该解析式的为B选项， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若的三边长为 ， ，，则下列条件不能判定为直角三角形的是(　　) A. ，， B. C. ：：： ： D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可． 【详解】解：A、因为，所以不为直角三角形，说法符合题意； B、因为，,所以，为直角三角形，说法不符合题意； C、因为：：： ： ，,所以，为直角三角形，说法不符合题意； D、因为，所以，为直角三角形，说法不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 5. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形 进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在 边上的点 处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图之角平分线，尺规作图之垂直平分线，三角形内角和，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知平分， 被垂直平分，那么，，接着利用三角形内角和求得，由，求得． 【详解】解：根据题意，可知平分， 被垂直平分， 在 的垂直平分线上， 四边形 为矩形， ， 平分， ， ， 被垂直平分， 在 的垂直平分线上， ， ， ， ， 故选：D． 6. 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件“点为第四象限内的点”推知 、 的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， ∴， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 、 的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与 、 的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与 轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与 轴负半轴相交． 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵ ，， ∴四边形 是平行四边形， 但不能说明四边形 是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是矩形，故该选项不符合题意； D、∵ ，， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴ 是直角三角形，且， ∴四边形 是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 8. 在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形 是平行四边形，则，如图，作于于 ，利用面积法证明 ，得到四边形 是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形 的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形 是平行四边形， ， 如图，作于于 ，连接，     则， ∵四边形 是平行四边形， ， 即， ， ∴四边形 是菱形， ， ， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形 的面积为：， 故选：D． 10. 四边形 是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕 ，展开后再沿折叠，使点A正好落在 上．下列说法： ① ② ③是等边三角形 ④ 正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、含度角的直角三角形性质、等边三角形的判定，折叠可知，，在中，，，可得，即②正确，可得到，故①不正确，可证明，故是等边三角形，即③正确，由，可得到故④正确. 【详解】解：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ， ，， 沿折叠，使点 落在 上的点处， ，， ， 在中，， ∴， ；故②正确 在中 ∵, ∴, ∴故①不正确 ∵ ∴, ∴ ∴是等边三角形，故③正确； ∴ 而 ∴ 故④正确 故选：C 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，根据算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 12. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 【答案】-6 【解析】 【详解】解：把点代入得， 解得 ． 故答案为: ． 13. 某校在校园十佳歌手评比活动中规定：唱功、表情、动作三项成绩分别按的比例计入总成绩．小红在本次活动中唱功、表情、动作的成绩依次为9分、9分、8分，则小红的总成绩为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解本题的关键． 小红的总成绩等于唱功、表情、动作的成绩乘以它们对应的权，据此求解即可． 【详解】解：（分）， 故答案为：． 14. 如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点 和 对应的数分别为0和1，再将三角尺绕顶点 逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点 在数轴上对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和用数轴上的点表示有理数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出的长，再确定顶点 在数轴上对应的数． 【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，直角边， ∴斜边， ∵点 对应的数是0，旋转后， 在点 的左侧，且， ∴顶点 在数轴上对应的数是． 故答案为：． 15. 如图，函数和图象交于点，则关于 的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 16. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源 为的中点．点 、点 为 的三等分点，是一个感光元件．若从点 发出的光线照向平面镜 ，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时 的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．取点 关于 轴的对称点，根据点 的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将 用含 的代数式表示出来；再分别将点 、 的坐标代入得到对应 的值，从而得到 的取值范围． 【详解】解：如图，取点 关于 轴的对称点． ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点 、点 为 的三等分点， ∴，， ∵点关于 轴的对称点， ∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得， ∴， ∴， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据题意，先算算术平方根，再算除法，最后算减法即可． 【详解】解：原式= ． 18. 如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度． 【答案】该船的行驶速度为7.5海里/小时 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】依题意，AB=10海里，海里， 由勾股定理，得（海里）， 15÷2=7.5（海里/小时）． 答：该船的行驶速度为7.5海里/小时． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解． 19. 如图，在四边形ABCD中，， ，． （1）在线段 上，求作点 ，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 ， ．若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作线段，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相关性质，并灵活运用． （1）以 为圆心，的长为半径，画弧，交 于点 ，点 即为所求； （2）平行线的性质，角的和差关系推出，进而得到，证明，得到即可． 【小问1详解】 解：如图，点E就是所求作的点； 由作图可知：， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ， ∴ 由（1）得， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在 和，， ∴， ∴． 20. 有一个底面长宽比为，高为的长方体包装硬纸箱（如图①），其底面积为． （1）求这个纸箱的长与宽分别为多少？ （2）有一种圆柱状饮料罐，其高为，容量为（），现将6罐这种饮料按如图②所示连体包装后放入图①的纸箱中，请通过计算判断该纸箱能否装下这6罐连体包装饮料？（饮料罐外壁及包装膜厚度忽略不计，圆柱的容积 底面积 高， 取3） 【答案】（1）这个纸箱的长为，宽为 （2）该纸箱无法装下这6罐连体包装饮料 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的应用及方程，理解题意列出方程是解题关键． （1）设纸箱的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； （2）设圆柱形饮料罐的底面半径为，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设纸箱的长为，宽为，则 ， 解得， ∵ ， ∴ ， ，． 因此，这个纸箱的长为，宽为 【小问2详解】 设圆柱形饮料罐的底面半径为，根据题意，得 ， 即， ∵， ∴． 则6罐连体的宽， 因此，该纸箱无法装下这6罐连体包装饮料． 21. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款机器人的评分数据中 等级的数据为： 90，90，88，88，88，87，86，85； 抽取的对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 88 69.8 乙 86 85 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________， ________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，请估计此次测验中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为 等级的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）甲款机器人的满意度更好，见解析 （3）190人 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法求出的值，求出 类所占的比例，根据百分比之和为1，求出 的值即可； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：对甲款机器人的评分数据中两组的人数之和为， 组的人数所占的比例为：， 将甲组的数据排序后，第10个数据和第11个数据分别为：， ∴， 乙组数据出现次数最多的数据为85， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 甲、乙两款机器人的评分数据的平均数都是86，甲款机器人的评分数据的众数和中位数88大于乙款机器人的评分数据的众数和中位数85，甲款机器人的评分数据的方差为，小于乙款机器人的评分数据的方差，所以甲款机器人的评分数据的波动比乙款机器人的评分数据的波动小，所以甲款机器人的满意度更好． 【小问3详解】 有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分， 甲、乙两款人形机器人的满意度评分为 等级的共有 （人）． 22. 如图，在中，对角线相交于点O，点E是 的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形 是菱形． （2）若，求证：四边形 是正方形． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，即O是 的中点， 是的中线， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴是菱形，即四边形 是菱形； （2） ∵是等边三角形， ∴ 由（1）知， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴菱形 是正方形，即四边形 是正方形． 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的判定、正方形的判定，要灵活应用判定定理． （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．进而利用菱形的判定证明即可； （2）根据有一个角是 的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “一盘白斩人间味，舌上余香魂梦留”反映了百姓对肉质鲜美、色香味齐全的河田鸡的喜爱．长汀河田鸡是世界五大名鸡，是长汀的支柱产业之一．某代理商计划销售两种真空包装的河田鸡阉鸡 型和 型，经调查，用16000元采购 型的件数是用7500元采购 型的件数的2倍，一件 型的进价比一件 型的进价多10元． （1）求一件河田鸡阉鸡 型， 型的进价分别为多少元？ （2）该代理商购进 型， 型共200件进行试销，其中 型的件数不大于 型的件数，且不小于80件，已知 型的售价为240元/件， 型的售价为220元/件，且全部售出．设购进 型 件，求代理商销售这批商品的利润 与 之间的函数解析式，并写出 的取值范围； （3）在（2）的条件下，代理商决定在试销活动中每售出一件 型，就从一件 型商品的利润中捐献慈善资金 元，该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为13840元，求 的值． 【答案】（1）一件河田鸡阉鸡 型的进价为160元，则一件 型的进价为150元 （2） （3） 的值为12 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的实际应用，正确的列出分式方程，求出函数解析式，是解题的关键： （1）设一件河田鸡阉鸡 型的进价为元，则一件 型的进价为元，根据用16000元采购 型的件数是用7500元采购 型的件数的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）根据 型的件数不大于 型的件数，且不小于80件，列出不等式组求出 的范围，根据总利润等于两种河田鸡阉鸡的利润之和，列出函数关系式即可； （3）根据题意，列出新的函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设一件河田鸡阉鸡 型的进价为元，则一件 型的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：一件河田鸡阉鸡 型的进价为160元，则一件 型的进价为150元； 【小问2详解】 型的件数不大于 型的件数，且不小于80件， ， 解得， ， 与 之间的函数解析式为； 【小问3详解】 设该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的收益是元， 根据题意得：， 当时，随 的增大而增大， 时，最大， ， 解得（舍去）； 当时，元，不符合题意； 当时，随 的增大而减小， 时，最大， ， 解得； 综上所述， 的值为12． 24. 根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 素材 定义：在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，过点 作于点 ，过点 作于点 ，连接，称线段的长为线段关于直线和的“美好距离”． 图形 问题解决 任务1 已知点，，利用图1探索以下问题： ①直线的解析式是________________________________； ②求线段关于 轴和 轴的“美好距离”； ③求线段关于直线 和直线 的“美好距离”． 任务2 如图2，线段 在直线上运动（点 的横坐标大于点 的横坐标），且，直接写出线段 关于 轴和 轴的“美好距离”的最小值． 【答案】任务1：①；②；③；任务2：线段 关于 轴和 轴的“美好距离”的最小值是 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据新定义，求出的坐标，勾股定理进行求解即可；③设直线与 轴交于点 ，直线 与直线交于点 ， 过点 作直线 于点 ，连接，，求出 点， 点坐标，推出四边形是矩形，得到，勾股定理求出的长，即可； （2）延长，交于点 ，易得四边形是矩形，得到，设，求出，勾股定理结合完全平方的非负性，求出最值即可． 【详解】任务1：①设直线的解析式为：， ∴，解得：； ∴； 故答案为：； ②作轴，作轴，则：，， ∴， ∴线段关于 轴和 轴的“美好距离”为； ③解：如图，设直线与 轴交于点 ，直线 与直线交于点 ， 过点 作直线 于点 ，连接，， 当时， ， ∴； 由，得， ， ，，， ， ； 直线 与直线平行， ， ， 又， 四边形是矩形， ，直线 ， 则线段关于直线 和直线 的“美好距离”是的长，即 ； 线段关于直线 和直线 的“美好距离”是． 任务2：线段 关于 轴和 轴的“美好距离”的最小值是． 如图2，延长，交于点 ，直线 交轴分别于点， ∵， ∴时， ； 时，， ∴， ∴， 轴，轴， ， ， 四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ， 设，则， ， 当 时，， 的最小值为． 25. 如图，在四边形 中，点 、 分别在边 、 上．连接 、 ． （1）如图1，四边形 为正方形时，连结，且 ， ①已知，，则的长是______； ②已知，，求 的值； （2）如图2，四边形 为矩形，，点 为 的中点，，，求 的长． 【答案】（1）①10；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）①根据勾股定理进行计算即可； ②延长至点 ，使 ，连接 ，结合正方形的性质证出，得到，再证出，得到 ，设，则，，结合勾股定理计算即可； （2）延长 、交于点 ，证出，得到，，求出，，设，得到，解出 ，再结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：（1）①∵四边形 为正方形， ∴ ， ∵，， 中，， 故答案为：10． ②延长至点 ，使 ，连接 ，如图， 四边形 是正方形， ，， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得 ， 的值为． 【小问2详解】 解：如图，延长 、交于点 ． ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 即， 解得： ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年第二学期期末质量检查 八年级 数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二次根式中，字母 的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 2. 下列函数的图象是由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若的三边长为 ， ，，则下列条件不能判定为直角三角形的是(　　) A. ，， B. C. ：：： ： D. 5. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形 进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在 边上的点 处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 6. 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（ ） A. B. C. D. 不确定 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 10. 四边形 是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕 ，展开后再沿折叠，使点A正好落在 上．下列说法： ① ② ③是等边三角形 ④ 正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 化简：________． 12. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 13. 某校在校园十佳歌手评比活动中规定：唱功、表情、动作三项成绩分别按的比例计入总成绩．小红在本次活动中唱功、表情、动作的成绩依次为9分、9分、8分，则小红的总成绩为______． 14. 如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点 和 对应的数分别为0和1，再将三角尺绕顶点 逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点 在数轴上对应的数是______． 15. 如图，函数和图象交于点，则关于 的不等式的解集为______． 16. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源 为的中点．点 、点 为 的三等分点，是一个感光元件．若从点 发出的光线照向平面镜 ，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时 的取值范围为________________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度． 19. 如图，在四边形ABCD中，， ，． （1）在线段上，求作点 ，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 ， ．若，求证：． 20. 有一个底面长宽比为，高为的长方体包装硬纸箱（如图①），其底面积为． （1）求这个纸箱的长与宽分别为多少？ （2）有一种圆柱状饮料罐，其高为，容量为（），现将6罐这种饮料按如图②所示连体包装后放入图①的纸箱中，请通过计算判断该纸箱能否装下这6罐连体包装饮料？（饮料罐外壁及包装膜厚度忽略不计，圆柱的容积 底面积 高， 取3） 21. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款机器人的评分数据中 等级的数据为： 90，90，88，88，88，87，86，85； 抽取的对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 88 69.8 乙 86 85 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________， ________， ________． （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，请估计此次测验中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为 等级的共有多少人？ 22. 如图，在中，对角线相交于点O，点E是 的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形 是菱形． （2）若，求证：四边形 是正方形． 23. “一盘白斩人间味，舌上余香魂梦留”反映了百姓对肉质鲜美、色香味齐全的河田鸡的喜爱．长汀河田鸡是世界五大名鸡，是长汀的支柱产业之一．某代理商计划销售两种真空包装的河田鸡阉鸡 型和 型，经调查，用16000元采购 型的件数是用7500元采购 型的件数的2倍，一件 型的进价比一件 型的进价多10元． （1）求一件河田鸡阉鸡 型， 型的进价分别为多少元？ （2）该代理商购进 型， 型共200件进行试销，其中 型的件数不大于 型的件数，且不小于80件，已知 型的售价为240元/件， 型的售价为220元/件，且全部售出．设购进 型 件，求代理商销售这批商品的利润 与 之间的函数解析式，并写出 的取值范围； （3）在（2）的条件下，代理商决定在试销活动中每售出一件 型，就从一件 型商品的利润中捐献慈善资金 元，该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为13840元，求 的值． 24. 根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 素材 定义：在平面直角坐标系中，已知线段 和直线，，过点 作于点 ，过点 作于点 ，连接，称线段的长为线段 关于直线和的“美好距离”． 图形 问题解决 任务1 已知点，，利用图1探索以下问题： ①直线 的解析式是________________________________； ②求线段 关于 轴和 轴的“美好距离”； ③求线段 关于直线和直线 的“美好距离”． 任务2 如图2，线段 在直线上运动（点 的横坐标大于点 的横坐标），且，直接写出线段 关于 轴和 轴的“美好距离”的最小值． 25. 如图，在四边形 中，点 、 分别在边 、上．连接 、 ． （1）如图1，四边形 为正方形时，连结，且 ， ①已知，，则的长是______； ②已知，，求 的值； （2）如图2，四边形 为矩形，，点 为的中点，，，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $