1.1三角形中的线段和角导学案 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形的线段和角，涵盖定义、三边关系、高/中线/角平分线性质及内角和与外角性质。以港珠澳大桥等生活实例导入，搭建从生活到几何的学习支架，帮助学生衔接已有认知，探究三角形的“线”与“角”规律。 资料通过表格对比三线性质，典例与练习分层设计，易错提醒精准。助力学生分层掌握知识，结合生活实例培养数学眼光，通过逻辑推理与分类讨论发展数学思维，以规范解析提升数学语言表达能力。

1.1三角形中的线段和角导学案 年级：八年级上册 版本：苏科版（新教材） 章节：第 1 章 三角形 第 1 节 一、学习目标 1、理解三角形的定义，掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，会求解第三边的取值范围。 2、掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与性质，能准确绘制这三种线段，理解中线等分三角形面积的核心结论。 3、掌握三角形内角和定理与外角的性质，能完成角度的基础计算，解决简单的几何综合问题。 二、学习重难点 重点：三角形的三边关系，高、中线、角平分线的性质，内角和与外角的性质。 难点：钝角三角形的高的绘制，利用三边关系、角的性质解决综合应用问题。 三、情境引入 同学们，在我们的生活中，三角形的身影无处不在：港珠澳大桥的桥塔结构、自行车的车架、我们日常使用的三角尺…… 三角形之所以被广泛应用，正是因为它独特的稳定性。那么，构成三角形的边和角，还有它内部的那些特殊线段，都藏着哪些不为人知的规律呢？今天，就让我们一起走进三角形的世界，探秘它的 “线” 与 “角” 的秘密。 四、知识点梳理 （一）三角形的边与角 1、三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，包含 3 个顶点、3 条边、3 个内角。 2、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 易错提示：判断三条线段能否构成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，无需验证全部三个不等式。 3、角的关系： 内角和定理：三角形的三个内角的和为。 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任意一个与它不相邻的内角。 （二）三角形的特殊线段：高、中线、角平分线 线段类型 定义 核心性质 位置特点 中线 连接顶点与对边中点的线段 平分对边，等分三角形的面积；三条中线交于重心，重心将中线分为的两段 全部在三角形内部 角平分线 平分内角，连接顶点与对边交点的线段 平分内角；三条角平分线交于内心，内心到三角形三边的距离相等 全部在三角形内部 高 从顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂直于对边 锐角三角形：全部在内部； 直角三角形：两条与直角边重合； 钝角三角形：两条在外部 易错提醒： 1、等腰三角形的边长问题：必须分类讨论，同时验证三边关系，避免出现无法构成三角形的情况。 2、三角形的角平分线是线段，不是射线，不要与角的平分线混淆。 3、钝角三角形的高有两条在三角形外部，不要误以为高都在内部。 五、典例精讲（分层突破） 典例 1 基础过关：三角形的三边关系 例题：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 解析：根据三角形三边关系，只需验证较短两边之和是否大于最长边： A 选项：，不满足； B 选项：，不满足； C 选项：，满足； D 选项：，不满足。 故选：C。 变式训练 变式 1：已知三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边的取值范围是 。 答案： 解析：根据三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即。 变式 2：等腰三角形的两边长为 3 和 7，则它的周长为 。 答案： 解析：分类讨论：若腰长为 3，则，无法构成三角形；若腰长为 7，则，满足条件，周长为。 变式 3：在长为 2、3、4、5 的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ） A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 答案：C 解析：所有组合为：2,3,4（满足）；2,3,5（，不满足）；2,4,5（满足）；3,4,5（满足），共 3 种。 典例 2 能力提升：三角形的三线性质 例题：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 的中点，若 CD＝5，则 AB 的长为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此，故选：B。 变式训练 变式 1：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的面积为 8，则△ABD 的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：中线可以等分三角形的面积，因此△ABD 的面积是△ABC 的一半，即。 变式 2：在△ABC 中，∠BAC=80°，AE 是∠BAC 的角平分线，则∠BAE 的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 答案：B 解析：角平分线平分内角，因此。 变式 3：在△ABC 中，BC 边上的高是（ ） A．AD B．BE C．CF D．以上都不对 答案：A 解析：从顶点 A 向 BC 边作垂线，垂足为 D，因此 BC 边上的高为线段 AD。 典例 3 拓展提优：三角形的角的综合应用 例题：如图，在△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，∠ACF 是△ABC 的外角，已知∠A＝40°，∠ADE＝60°，则∠ACF 的度数为（ ） A．100° B．120° C．140° D．160° 解析：因为，所以，根据外角的性质，，故选：A。 变式训练 变式 1：等腰三角形的一个底角为 70°，则它的顶角为（ ） A．30° B. 40° C. 50° D. 60° 答案：B 解析：根据内角和定理，顶角为。 变式 2：直线 a∥b，Rt△ABC 的直角顶点 C 在直线 b 上，若∠1＝40°，则∠2 的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 答案：B 解析：，因此，因为，所以。 变式 3：在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线 AE，BF 相交于点 O，若∠C=60°，则∠AOB 的度数为（ ） A．100° B．120° C．140° D．150° 答案：B 解析：根据角平分线的性质，。 六、巩固练习（15 题分层训练） 基础过关（5 题） 1.在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C 的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．3，4，8 3.三角形的中线是（ ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对 4.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD 是 AB 边上的中线，若 AB=8，则 CD 的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5.三角形的一个外角是 100°，则与它相邻的内角是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120° 能力提升（5 题） 6.已知三角形的三边长为 2，x，3，则 x 的可能值是（ ） A．1 B．2 C．5 D．7 7. 在△ABC 中，AD 是中线，BE 是△ABD 的中线，若△ABC 的面积为 16，则△ABE 的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8. 如图，DE∥BC，∠A=30°，∠AED=70°，则∠B 的度数为（ ） A．60° B．70° C．80° D．90° 9.等腰三角形的周长为 13，其中一边长为 3，则该等腰三角形的腰长为（ ） A．3 B．5 C．3 或 5 D．7 10.在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边上的高，若∠A=50°，则∠BPC 的度数为（ ） A．100° B．120° C．130° D．150° 拓展提优（5 题） 11.在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，若∠BOC=120°，则∠A 的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 12.在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD 与 BE 交于 F，若 BD=5，CD=12，则 DF 的长为（ ） A．5 B．7 C．12 D．17 13.在△ABC 中，AB=AC，BC=6，点 D 是 BC 的中点，点 P 是 AD 上的动点，则 BP+CP 的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 14.在△ABC 中，点 D 在 BC 上，AD=AC，∠B=30°，∠BAD=20°，则∠C 的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 15.在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°，将△ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 E处，则∠ADE 的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 七、巩固练习答案与解析 基础过关 1、答案：C 解析：根据内角和定理，。 2、答案：B 解析：验证较短两边之和，，满足三边关系，其余选项均不满足。 3、答案：C 解析：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，有固定的长度。 4、答案：B 解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此。 5、答案：B 解析：外角与相邻的内角互补，因此。 能力提升 6、答案：B 解析：根据三边关系，，即，只有 2 符合范围。 7、答案：B 解析：AD 是中线，△ABD 面积为；BE 是中线，△ABE 面积为。 8、答案：C 解析：在△ADE 中，，由得。 9、答案：B 解析：若腰长为 3，则底边长为 7，，无法构成三角形；因此腰长为 5，底边长为 3，满足条件。 10、答案：C 解析：四边形 AEPD 中，，因此，由对顶角相等得。 拓展提优 11、答案：C 解析：根据角平分线的性质，，因此。 12、答案：B 解析：，。 13、答案：A 解析：AD 是 BC 的中垂线，因此，当 P 与 D 重合时，取得最小值 6。 14、答案：A 解析：，由得。 15、答案：D 解析：折叠后，因此，。 学科网（北京）股份有限公司 $