第12讲 圆锥曲线综合应用的常见题型（1大知识点+7大题型）讲义-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

第12讲 圆锥曲线综合应用的常见题型 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：弦长计算 4 题型二：直径问题 5 题型三：数量积问题 7 题型四：定点问题 8 题型五：定值问题 10 题型六：三角形与四边形面积 11 题型七：点差法解中点弦 13 04 过关测试 16 知识点一：圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法 1、定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义直接求解，如焦点三角形、离心率问题。 2、韦达定理法：通过联立直线与曲线方程，结合判别式及根与系数关系，简化弦长、中点等计算。 3、点差法：针对中点弦问题，设而不求，快速建立斜率与中点坐标的关系。 4、弦长公式法：利用弦长公式直接计算交点距离，结合判别式优化运算。 5、数形结合法：通过图形几何性质（如对称性、垂直关系）简化代数推导。 6、参数法：引入点参数、斜率参数或角参数，将几何问题转化为代数方程。 7、曲线系方程法：利用曲线系方程快速求解共焦点、共渐近线等问题。 8、代入法：合理选择变量顺序，避免复杂运算。 题型一：弦长计算 例1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆C：（）的离心率为，且点在上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 例2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 变式1．（2026·高二·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 变式2．（2026·高二·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 题型二：直径问题 例4．（2026·高二·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，圆心为. (1)求椭圆的方程； (2)若圆与轴相切，求圆心的坐标； (3)已知点，求椭圆上的点到点距离的最小值. 例5．（2026·高二·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. (1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (2)若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 例6．（2026·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 变式3．（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 变式4．（2026·高二·上海·期末）已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 题型三：数量积问题 例7．（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 例8．（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 例9．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 变式5．（2026·高二·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 变式6．（2026·高二·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型四：定点问题 例10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． (1)求的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 例11．（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 例12．（2026·高二·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式7．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 题型五：定值问题 例13．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点． (1)求的方程； (2)若，求的面积； (3)设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值． 例14．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 例15．（2026·高二·上海·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式8．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 题型六：三角形与四边形面积 例16．（2026·福建厦门·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 例17．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 例18．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 变式9．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 变式10．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 变式11．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 题型七：点差法解中点弦 例19．（2026·高三·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 例20．（2026·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 例21．（2026·高二·宁夏吴忠·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 变式12．（2026·高二·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 变式13．（2026·高二·河北·阶段检测）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 变式14．（2026·高二·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 1．（2026·高二·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 2．（2026·高二·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 3．（2026·高二·湖北武汉·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，且最小值为4. (1)求抛物线的方程； (2)若点，满足，求直线的斜率； (3)点在抛物线的准线上，过点的直线分别与抛物线交于点和，且分别为的中点，若直线与准线交于点，求的最小值. 4．（2026·高二·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 5．（2026·高二·河南·阶段检测）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线； (2)已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 6．（2026·高二·广东揭阳·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 7．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 8．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 9．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 10．（2026·高二·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 11．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知椭圆的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程． (2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴于点，连结并延长，交于点． （i）证明：是直角三角形． （ii）求面积的最大值． 12．（2026·高二·云南昆明·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 13．（2026·高二·江西·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)若点，且，求点的坐标； (2)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 14．（2026·高二·广西南宁·期中）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求点的坐标； (3)求面积的取值范围. 15．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 16．（2026·高三·甘肃金昌·阶段检测）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：恒为定值； （ii）求四边形的面积的最大值. 17．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 18．（2026·高二·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，是抛物线上的点，且（F为抛物线的焦点）． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交C于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，求直线l的方程． 19．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与点的轨迹交于两点，弦的中点为点，求直线的方程； (3)求点到直线距离的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆锥曲线综合应用的常见题型 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：弦长计算 4 题型二：直径问题 10 题型三：数量积问题 16 题型四：定点问题 21 题型五：定值问题 29 题型六：三角形与四边形面积 38 题型七：点差法解中点弦 46 04 过关测试 53 知识点一：圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法 1、定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义直接求解，如焦点三角形、离心率问题。 2、韦达定理法：通过联立直线与曲线方程，结合判别式及根与系数关系，简化弦长、中点等计算。 3、点差法：针对中点弦问题，设而不求，快速建立斜率与中点坐标的关系。 4、弦长公式法：利用弦长公式直接计算交点距离，结合判别式优化运算。 5、数形结合法：通过图形几何性质（如对称性、垂直关系）简化代数推导。 6、参数法：引入点参数、斜率参数或角参数，将几何问题转化为代数方程。 7、曲线系方程法：利用曲线系方程快速求解共焦点、共渐近线等问题。 8、代入法：合理选择变量顺序，避免复杂运算。 题型一：弦长计算 例1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆C：（）的离心率为，且点在上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【解析】（1）根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为． （2）（ⅰ）如图，当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此，的倾斜角互补，因此． （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． 例2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 【解析】（1）由题可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）由（1）可知，若直线斜率不存在，则的方程为， 此时点为的中点，即重合，线段AB的垂直平分线即为x轴，不符合题意； 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，， 联立，化简得：， 所以， 所以，线段AB的垂直平分线为， 令，解得，所以， 所以， 又， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即或； （3）由（2）可知， 令，则当，， 当，， 因为，所以，; 所以的取值范围为. 例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【解析】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1：， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式：代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终. 变式1．（2026·高二·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【解析】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 变式2．（2026·高二·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【解析】（1）由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. （2）由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 题型二：直径问题 例4．（2026·高二·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，圆心为. (1)求椭圆的方程； (2)若圆与轴相切，求圆心的坐标； (3)已知点，求椭圆上的点到点距离的最小值. 【解析】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，所以， 又离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为：； （2）设分别位于轴的左右两侧， 若，则，由，解得，此时圆心； 若，则，由，解得，此时圆心， 所以圆心的坐标为或. （3）设为椭圆上任意一点，则， ， 当时，. 例5．（2026·高二·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. (1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (2)若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 【解析】（1） 依题意，设，，， 则， 两式相减可得，即，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （2）因为圆，所以， 所以， 又双曲线的离心率为，即，所以， 则双曲线，又，所以， 因为是圆的一条直径， 所以直线的方程为，即， 由，解得或，即，， 又点在双曲线上，所以， 解得， 所以双曲线的方程为. 例6．（2026·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 【解析】（1）设双曲线的方程为，， 因为的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为，， 所以，即双曲线的方程为 （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点 设直线的方程为，， 联立方程，得， 所以，， 因为直线与双曲线交于，两点，得， 因为以为直径的圆过原点，所以 所以，即， 所以， 整理得，所以直线的方程，即. 变式3．（2026·高二·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 变式4．（2026·高二·上海·期末）已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 【解析】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； （2）若以为直径的圆经过原点， 设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 题型三：数量积问题 例7．（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，① 因为过点的直线垂直于轴时截得弦长， 所以椭圆经过点. 所以，② 由①②解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可知，设直线的方程为， 联立，可得， 可得， 直线的斜率分别为， ， 所以， 因为在直线：上，所以， 所以 ， 代入式子可得； （3）由（2）知，可得，所以， 直线的方程为，直线的方程为， 两条直线联立可得 则， 解得，所以设点的坐标为， 因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上， 则， 故该直线的方程为， 点在上，则， 故直线的方程为. 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以. 例8．（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【解析】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 例9．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 【解析】（1）可得. 故椭圆方程为：． （2）①由条件知， 设，，则满足，， 两式作差得：，化简得， 当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意； 当时，因为被平分，故， 所以，即直线的斜率． 设直线为，代入椭圆方程可得， 所以，， ， ， 故 ， 由得：即，解得 又因为方程①中，所以. 故所求直线方程为，即 变式5．（2026·高二·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意； 当时，有，解得，符合题意； 所以的值有共4个. （2）联立，消去并整理得， 显然，且，解得且， 设，， 则， 显然直线不过原点，即与不共线， 由为钝角，可得， 即，解得， 又且，于是得，解得， 所以的取值范围． 变式6．（2026·高二·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意可得，则， 又因，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）联立，消去整理可得， 因为直线与双曲线有两个交点， 所以解得且， 设，，则，， 所以 ， 解得，不满足且，不符合题意， 所以不存在满足. 题型四：定点问题 例10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． (1)求的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 【解析】（1）由题意， 又，代入解得：， 故椭圆方程为： （2） 法一、因为直线和直线关于直线对称，且直线的斜率为，所以， 设直线：，， 则， 整理得， 即． 因为，化简得， 由韦达定理得，，， 所以，代入直线：，得， 所以． 因为点是直线与直线的交点，且直线和直线关于直线对称， 所以点到直线和直线的距离相等， 所以 ， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以， 即点的坐标是． 法二、设：，联立得，整理得， 由韦达定理得，， 因为直线和直线关于直线对称，所以， 即，整理得， 解得， 所以，：， 联立椭圆方程得， 整理得，即， 由韦达定理得，所以， 代入设直线：，得，所以，． 因为到的距离即为到直线的距离， 所以， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以 即点的坐标是． （3）设，，：， 联立得，整理得， 由韦达定理得，， 由（2）知，， 则，所以， 变形得，所以． 因为，所以， 所以，整理得， 代入韦达定理，整理得， 即， 所以或， 当时，直线：，过定点（舍去）； 当时，直线：，过定点． 所以，直线过定点． 例11．（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【解析】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此，，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以， 即， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 例12．（2026·高二·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由抛物线定义可得，则； （2）（i）设，、、， 联立，消去可得， ，即， ，， 由，则，故， 由点在线段上，则与异号， 故， 即有， 整理得， 即有，解得， 则， 有， 故总在定直线上； （ii）存在，且点坐标为，理由如下： 设，则， 由，则，即有， 即， ， 设，，，， 即有 ， ， 则可化为， 整理得， 由，故， 又， , 故， 即， 要使得恒成立，则，则有，即， 则，解得或（舍），则， 即，，即； 即存在，使得恒成立. 变式7．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【解析】（1）双曲线：的一条渐近线为：， ，即， 右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 双曲线的方程为． （2）证明：由题得，设，， 设的方程为， 联立消去并化简得， ，即， 且，， ， ，即 ， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点， 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 题型五：定值问题 例13．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点． (1)求的方程； (2)若，求的面积； (3)设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值． 【解析】（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，且经过点， 则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，椭圆，， 又在直线：上，且轴，则， 由对称性得关于原点对称，则， 设，则，， 由，化简得， 又，解得，，即点， 又， 点到直线的距离， 所以的面积为． （3）设，， 当直线斜率存在时，设其方程为， 联立，消去，整理得， 则， ，， 结合（2）有，则，， 又， 则 ， 化简整理得， 又直线：不过点，得， 所以，即， 所以直线方程为，过定点； 当直线斜率不存在时，设其方程为，（）， 则，，则，， 所以， 又，则联立得，解得，（舍去）， 所以直线方程为，过定点， 因此直线过定点， 又，则点在以线段为直径的圆上，所以圆心坐标为， 令点，则， 所以存在定点，使得为定值． 例14．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 【解析】（1）由题意可知， 由，解得， ∴椭圆的方程：. 离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线， 联立方程组，得： 所以 焦点弦长， 点到直线的距离， ∴， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 即面积的最大值为 （ii）， 当轴时，交点，关于轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为 ∵，∴，则，∴， 又∵，∴圆与轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设， 联立方程组，整理得， 则，， ， 直线，令，则， 直线，令，则..， 则，， 则 即 即，同理可证， 即点在以MN为直径的圆上，又∵在轴上， ∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，， 综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 例15．（2026·高二·上海·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 变式8．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 【解析】（1）已知椭圆的离心率为，焦距为，故， 由，得，， 椭圆的标准方程为：． （2） 由（1）知椭圆的标准方程为：， 当斜率不存在时，设直线：，则，代入椭圆方程得， 解得，则， 由，则，解得，， 则面积为， 当直线斜率存在时，设方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，可得①， 且，则 ， 化简得，即，经检验满足①式. ， 令，，则，， ， 令，则，则， 二次函数，开口向下，对称轴，最大值为， 区间端点或时，，即，故， ， 综上可得，面积的范围为． （3） 由（1）得，则蒙日圆为， 设椭圆的切线方程为，由椭圆切线条件， 设切线与蒙日圆的交点， 联立切线与圆方程，得， 由韦达定理得，因， 则 ． 题型六：三角形与四边形面积 例16．（2026·福建厦门·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 【解析】（1）由题意得，，所以， 又因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为． （2）设，所以，将代入椭圆方程， 所以，所以． （3）当直线的斜率不为0时，设， 联立椭圆方程，得到， 则， 设，，则，由韦达定理可得，， 因为，原点到的距离为， 所以， 又因为点到的距离为，， 所以， 所以， 由，，得到， 所以； 当直线的斜率为0时，，，，四点共线无法构成三角形，故舍去； 综上，为定值． 例17．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 【解析】（1）由题意可知：解得因此椭圆的方程为 （2）命题①正确， 证明如下：当斜率不存在或斜率不为时， 设过的直线方程为，， 将直线方程代入椭圆方程得：， 整理得， 由韦达定理得：， ， 化简得, 当斜率为时，设，显然，故命题①成立. 例18．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【解析】（1）设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； （2）设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得. （3）设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 变式9．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 【解析】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则， 在双曲线中有，又因为等轴双曲线中，所以代入得， 所以双曲线C标准方程为. （2）定点，证明过程如下： 设点，则双曲线C在点P处的切线方程为， 已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且， 所以有，即， 又因为中点在切线上，所以，化简得， 因为在双曲线C上，所以，代入式化简得， 因为，所以，则，所以点； 则直线斜率， 根据点点斜式方程可得直线的方程为, 则直线过定点. （3）由题，，设点，则， 由（2）可知，，则，因为， 令，因为，所以，代入得 ， 则当时，面积最大值为 变式10．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 因为焦点到抛物线准线的距离是，所以， 所以抛物线的方程为． （2） 由题意直线过焦点， 设的方程为，，， 由，得， ， ，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 抛物线的准线方程为，代入得，即， 又，所以点的纵坐标， 所以，即与的纵坐标相等， 所以直线平行于轴，从而轴． （3）由（2）知的方程为，即， 点，点， 因为的面积与的面积相等， 所以到直线的距离相等，即，解得， 所以直线的方程为． 变式11．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 【解析】（1）椭圆经过点，， 设椭圆的半焦距为，则，，， 椭圆的方程为：. （2）（i）（i）证明：连接，由椭圆方程知：，，设，， ，， ， 又，，即，； （ii） （ii）易知直线斜率不为，可设直线方程为：， 由得：，则， ，， ，， 即， ， 又，， 整理可得：，解得：， ，，，， 当时，与轴重合，即，此时； 当时，， ，则直线，即， 由得：，， 则点到直线的距离分别为，，且与异号； ， ， ， ，且，即； 综上所述：的取值范围为. 题型七：点差法解中点弦 例19．（2026·高三·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【解析】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 例20．（2026·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 例21．（2026·高二·宁夏吴忠·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 【解析】（1）依题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点， 设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，， 两式作差得， 由于是的中点，故， 代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到. 故以为中点的弦所在直线方程为. 变式12．（2026·高二·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【解析】（1）由题意可知，，， 且， 则，则，得； （2）由（1）可知，椭圆C：， 设直线，， 联立，得， 则， 则， 因为为线段AB的中点，所以，，解得. 变式13．（2026·高二·河北·阶段检测）在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【解析】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 变式14．（2026·高二·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【解析】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 1．（2026·高二·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【解析】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 2．（2026·高二·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 3．（2026·高二·湖北武汉·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，且最小值为4. (1)求抛物线的方程； (2)若点，满足，求直线的斜率； (3)点在抛物线的准线上，过点的直线分别与抛物线交于点和，且分别为的中点，若直线与准线交于点，求的最小值. 【解析】（1）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由消去得，则， ，， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以所求抛物线的方程为. （2）点，直线斜率都存在，分别为， 则 ， 于是轴为的平分线，， 则，由（1）知直线方程为，， 而，解得，因此，解得， 所以直线的斜率为. （3）设， 由点都在抛物线上，得，即， 则为方程的两个实数根，， 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得，即，令，得， 则，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6. 4．（2026·高二·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 5．（2026·高二·河南·阶段检测）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线； (2)已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以由题意得. 两边平方并化简，得，所以. 所以曲线的方程为，曲线是椭圆. （2）由圆的方程知，圆的圆心为，半径为2. 设，则，所以. 因为是圆的直径，所以， 所以 . 因为， 所以. 因为，所以，即的取值范围是. 6．（2026·高二·广东揭阳·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， 所以，故，， 抛物线方程为 （2）以为直径的圆与直线是相切的位置关系. 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以， 因为，所以中点坐标为， 该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切. 7．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【解析】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 8．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【解析】（1）由焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 ， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. 9．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以 因为，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 因为直线不经过点，所以. 由方程组消去整理得， 则，. 因为直线与直线的斜率之和为-1， 所以 ， 整理得， 所以， 化简得. 因为，所以， 代入直线的方程得，所以直线恒过定点（4，1）. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得， 由，解得，但是直线与椭圆没有交点，所以斜率不存在时无符合条件的直线. 综上所述，直线过定点（4，1）. 10．（2026·高二·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为，是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 11．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知椭圆的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程． (2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴于点，连结并延长，交于点． （i）证明：是直角三角形． （ii）求面积的最大值． 【解析】（1）（1）由题意得：焦距得，离心率得， 所以得，椭圆方程为：； （2）（2）（ⅰ）（i）设直线的斜率为，则其方程为， 由得． 记，则，，， 于是直线的斜率为，方程为． 由得．① 设，则和是方程①的解，故，由此得， 从而直线的斜率为，． ，即是直角三角形． （ii） （ⅱ）由（ⅰ）得，， 的面积， 设，则，由，得，当且仅当时取等号， ，在上单调递减， ∴当，即时，取得最大值，最大值为． 因此面积的最大值为. 12．（2026·高二·云南昆明·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，所以① 长轴长为，则，又， 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：． （2）（i）当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 有，可得或． 又有， 如图，由题，， 所以，， 整理得， 解得，故点的坐标为； 当直线l的斜率为0时，也满足题意， 故点的坐标为； （ii）要求的面积的最大值，则直线l的斜率不为0， 令，有， 此时，． 当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率为． 13．（2026·高二·江西·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)若点，且，求点的坐标； (2)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【解析】（1） 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，整理得，解得，，即， 则，所以点的坐标为. （2）设直线，，，， 联立，整理得， 依题意，，， 则，， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而， 因点在轴上方，则可得， 因点为的重心，易得， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 14．（2026·高二·广西南宁·期中）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求点的坐标； (3)求面积的取值范围. 【解析】（1）由题意得，，则，，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 法一：由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，则， 联立得， ，， ，则直线： 所以直线恒过定点. 法二：设，，则. 由，，三点共线，得，即， 把点平移到原点，得椭圆方程， 化简，得①，设平移后的直线：②， 由①②，得， 整理，得 所以，得， 故：经过定点，平移回去得定点为，所以直线恒过定点. （3）由题意知，， ，令，，， 化简得，， 令，当，，因此，在上单调递增， 所以，所以面积的取值范围为. 15．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【解析】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 16．（2026·高三·甘肃金昌·阶段检测）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：恒为定值； （ii）求四边形的面积的最大值. 【解析】（1）由题意知，解得，， 故的方程为. （2）（i）设，， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时直线的方程为，此时； 同理，若直线的斜率不存在，则. 若直线，的斜率都存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由得， 因为直线与椭圆相切， 则， 化简得， 又，所以，代入上式得， 所以，即， 所以，解得（）， 所以直线的方程为，整理得， 设直线的斜率为，直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设，其中， 则有，，所以直线的方程为， 若,则，直线的方程为，可得， 不妨设，，此时， 故即. 若，由整理得， 所以，， 故 ， 整理得，又， 所以，则，即. 综上可知，恒为定值. （ii）由上可知，直线的方程为， 又，则，， 则点M到直线的距离为， 原点O到直线的距离为， 由上可知，， 则 ， 所以四边形的面积为 ， 所以当时，四边形的面积取得最大值6. 17．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【解析】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 18．（2026·高二·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，是抛物线上的点，且（F为抛物线的焦点）． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交C于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，求直线l的方程． 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线为． 根据抛物线定义，，解得． 故抛物线方程为 （2）设，，在抛物线上，故，． 两式相减： 因为的中点为，所以． 代入得 直线过点，方程为 19．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与点的轨迹交于两点，弦的中点为点，求直线的方程； (3)求点到直线距离的最小值． 【解析】（1） 点到点的距离等于点到直线的距离， 故所求动点的轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹方程为． （2）设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即； （3）设点， 则点到直线的距离为， 当时，， 所以点到直线距离的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $