第06讲 圆的方程（3大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第06讲 圆的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆的标准方程 3 知识点二：点和圆的位置关系 3 知识点三：圆的一般方程 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：圆标准方程求解 5 题型二：圆一般方程求解 6 题型三：点圆位置关系判定 6 题型四：直译法求轨迹方程 7 题型五：相关点法求轨迹方程 8 题型六：圆与二元二次方程的曲线关系 10 题型七：圆过定点判定 10 题型八：圆对称性应用 11 04 过关测试 13 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 题型一：圆标准方程求解 例1．（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高二·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型二：圆一般方程求解 例4．（2026·高二·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·安徽铜陵·期中）经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·吉林白城·阶段检测）当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高二·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 题型三：点圆位置关系判定 例7．（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例8．（2026·高二·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例9．（2026·高二·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 变式8．（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 题型四：直译法求轨迹方程 例10．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，写出满足下列条件的方程： (1)已知点，，动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知直线经过点，直线过点和点，，求直线的方程. 例11．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 例12．设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 变式9．由动点P向圆引两条切线，，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程. 变式10．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）平面直角坐标系中有一个，已知，，且． (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求的面积的最大值． 变式11．（2026·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 题型五：相关点法求轨迹方程 例13．（2026·高二·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 例14．（2026·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 例15．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 变式12．（2026·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 变式13．（2026·高二·内蒙古包头·期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 题型六：圆与二元二次方程的曲线关系 例16．（2026·高二·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例17．（2026·高二·河南郑州·期中）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式15．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：圆过定点判定 例19．（2026·高二·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 例20．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 例21．已知方程表示的曲线恒过第三象限的一个定点，若点又在直线上，则当正数、的乘积取得最大值时直线的方程是_________． 变式16．（2026·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 变式17．（2026·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是______. 题型八：圆对称性应用 例22．（2026·高三·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 例23．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 例24．（2026·高二·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式18．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高二·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 变式20．（2026·高二·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·山东济南·期末）已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（2026·高二·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 5．（2026·高二·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 8．（多选题）（2026·高二·河北石家庄·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 9．（多选题）（2026·高二·安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．圆的圆心为，半径为 C．“”是“直线与直线平行”的充要条件 D．经过点的直线与以、为端点的线段总有公共点，则该直线斜率的取值范围为 10．（多选题）（2026·高二·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 11．（2026·高二·湖北荆州·阶段检测）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形内切圆半径为__________，内切圆标准方程为__________. 12．（2026·高二·北京·期中）已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________． 13．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 14．（2026·高二·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 15．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 16．（2026·高二·江苏南通·期中）如图，已知的边所在直线的方程为，为中点，点在边所在直线上且满足． (1)求边所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 17．（2026·高二·北京通州·期中）已知点，，直线. (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程； (3)若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程. 18．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 19．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆的标准方程 3 知识点二：点和圆的位置关系 3 知识点三：圆的一般方程 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：圆标准方程求解 5 题型二：圆一般方程求解 7 题型三：点圆位置关系判定 9 题型四：直译法求轨迹方程 11 题型五：相关点法求轨迹方程 14 题型六：圆与二元二次方程的曲线关系 17 题型七：圆过定点判定 18 题型八：圆对称性应用 21 04 过关测试 24 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 题型一：圆标准方程求解 例1．（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 例2．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 例3．（2026·高二·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 变式1．（2026·高二·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 变式2．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 变式3．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 题型二：圆一般方程求解 例4．（2026·高二·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为圆心，3为半径的标准方程为：， 展开整理的一般方程为：. 故选：B 例5．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 例6．（2026·高二·安徽铜陵·期中）经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：A. 变式4．（2026·高二·吉林白城·阶段检测）当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，当时，，故直线恒过点， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为， 化简得圆的一般方程为：. 故选：C. 变式5．（2026·高二·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或， 故选：D. 变式6．（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设圆的一般方程为： 解得： 故圆的一般方程为： 故圆的半径，圆的面积 故选：A 题型三：点圆位置关系判定 例7．（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 例8．（2026·高二·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 例9．（2026·高二·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，解得， 故选：A． 变式7．（2026·高二·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 变式8．（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 题型四：直译法求轨迹方程 例10．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，写出满足下列条件的方程： (1)已知点，，动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知直线经过点，直线过点和点，，求直线的方程. 【解析】（1）设，则有. 将上式两边同时平方，整理可得， 化简整理可得. （2）由和，可求出. 因为，所以，即. 又因为直线经过点， 所以的方程为. 例11．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 【解析】如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，设， 则由，得， 整理得，即， 所以点P的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆． 例12．设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【解析】（1）如图取中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有、． 设点到、两点的距离的平方差为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程为，其轨迹是两条垂直于轴的直线． （2）设点到、两点的距离的平方和为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程，其轨迹是以为直径的圆． 变式9．由动点P向圆引两条切线，，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程. 【解析】设点的坐标为，则， ， ，即. 所以动点P的轨迹方程为. 变式10．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）平面直角坐标系中有一个，已知，，且． (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求的面积的最大值． 【解析】（1）设，又，，且， ∴，整理得， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉x轴上交点， ∴顶点A的轨迹方程为； （2）可化为，即圆的半径为 ∴A到x轴的最大距离为，故的面积的最大值为. 变式11．（2026·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【解析】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 题型五：相关点法求轨迹方程 例13．（2026·高二·山东青岛·阶段检测）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【解析】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 例14．（2026·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 例15．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【解析】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 变式12．（2026·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 变式13．（2026·高二·内蒙古包头·期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心， 由题意得，解得， 所以圆的C的一般方程为. （2）依题意，设，， 因为M为线段OP的中点，，所以， 又因为点P在圆C上运动，所以， 故， 整理得：， 所以点M的轨迹方程为. 题型六：圆与二元二次方程的曲线关系 例16．（2026·高二·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 例17．（2026·高二·河南郑州·期中）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 解得. 故选：D. 例18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 变式14．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由方程表示圆，得， 即，解得， 因为，所以或， 则方程能表示的不同圆的个数是2. 故选：A. 变式15．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 题型七：圆过定点判定 例19．（2026·高二·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【解析】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 例20．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 例21．已知方程表示的曲线恒过第三象限的一个定点，若点又在直线上，则当正数、的乘积取得最大值时直线的方程是_________． 【答案】 【解析】方程可化为恒成立， 所以 ，则， 因为点A在第三象限，所以A（-1，-1）; 又因为点A又在直线上, 所以，即， 因为是正数， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以直线的方程是，即， 故答案为：. 变式16．（2026·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 变式17．（2026·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是______. 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 题型八：圆对称性应用 例22．（2026·高三·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 例23．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 例24．（2026·高二·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 表示一个圆，因此需满足圆的判别条件： 和 的系数相等且不为零， 即，得方程 ， 解得 或 ， 当 时，方程为 ， 配方得 ，不表示实圆， 当 时，方程为 ， 配方得 ，表示圆心为 ，半径为 5 的圆. 因此 是唯一有效解，原圆方程为 . 两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变， 圆心 关于原点对称点为 ，半径不变为 5， 故所求方程为 . 故选：C 变式18．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 变式19．（2026·高二·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 变式20．（2026·高二·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 1．（2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为． 2．（2026·高二·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 3．（2026·高二·山东济南·期末）已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】圆的方程：，圆心 ，半径 ， 直线方程为 。 圆心到直线的距离公式为： ， 圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即： 当时，最小，取得最大值， 此时：， 因此，圆上的点到直线 的距离的最大值为5. 故选：C 4．（2026·高二·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【解析】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 5．（2026·高二·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 6．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 7．（2026·高二·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为． 因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径. 故选：A. 8．（多选题）（2026·高二·河北石家庄·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【解析】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 9．（多选题）（2026·高二·安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．圆的圆心为，半径为 C．“”是“直线与直线平行”的充要条件 D．经过点的直线与以、为端点的线段总有公共点，则该直线斜率的取值范围为 【答案】AD 【解析】对于A，由于直线的一个方向向量为，则A正确； 对于B，把圆的一般式化成标准方程为圆心为，半径为，则B错误； 对于C，若两直线平行，则有，解得或，经检验均满足要求， 故充分性成立而必要性不成立，则C错误； 对于D，如图，直线过，斜率，所以，则D正确． 故选：AD 10．（多选题）（2026·高二·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【解析】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 11．（2026·高二·湖北荆州·阶段检测）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形内切圆半径为__________，内切圆标准方程为__________. 【答案】 【解析】由题知，，. 所以三角形的周长为，， 设内切圆半径为 则 ，解得：， 由题知， 所以方程为：，即， 方程为：，即， 设内切圆圆心， 则 解得 .所以内切圆的标准方程为， 故答案为：， 12．（2026·高二·北京·期中）已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】直线化为， 令，解得. 所以直线过定点. 所以垂足在以为直径的圆上，圆心为的中点. 该圆的方程为，， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 【答案】 【解析】由的圆心，半径为， 而表示圆上点到点距离的平方， 圆心到点的距离为， 所以点、的最大距离为， 所以的最大值为. 故答案为： 14．（2026·高二·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 【解析】（1）已知，则， 所在直线方程为，即． （2） 设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 圆的一般方程为，标准方程为． 15．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【解析】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 16．（2026·高二·江苏南通·期中）如图，已知的边所在直线的方程为，为中点，点在边所在直线上且满足． (1)求边所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 【解析】（1）由，在上，所以，所以为， 因为边所在直线的方程为，所以斜率为， 所以直线的斜率为， 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为，即． （2）由（1）知边所在直线的方程为， 联立方程组，可得， 因为为斜边上的中点，即为外接圆的圆心， 又由， 所以外接圆的方程为． 17．（2026·高二·北京通州·期中）已知点，，直线. (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程； (3)若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程. 【解析】（1）因为，所以设直线的方程为， 又直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为 （2）因为点，的中点为， , 所以直线的方程为，即. （3）设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 18．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； （2）设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 19．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【解析】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $