第8讲 圆与圆的位置关系（1大知识点+6大题型）讲义-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

第8讲 圆与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆与圆的位置关系 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：圆与圆位置关系判定 5 题型二：两圆交点求解 5 题型三：公共弦问题 6 题型四：由位置关系求参数 6 题型五：由位置关系求圆方程 7 题型六：公切线问题 7 04 过关测试 9 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：圆与圆位置关系判定 例1．（2026·高二·江西九江·阶段检测）圆和圆的位置关系为（     ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 例2．（2026·高二·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 例3．（2026·高二·广东揭阳·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 变式1．（2026·高二·青海西宁·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 变式2．（2026·高二·河南·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 题型二：两圆交点求解 例4．（2026·高二·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例5．（2026·高三·广东佛山·阶段检测）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 变式3．（2026·高二·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 题型三：公共弦问题 例7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 例8．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 例9．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 变式5．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 题型四：由位置关系求参数 例10．（2026·高二·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 例11．（2026·高二·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 例12．（2026·高二·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 变式8．（2026·高二·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 变式9．（2026·高二·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 变式10．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 题型五：由位置关系求圆方程 例13．经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 例14．（2026·高二·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 例15．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 变式11．已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为______．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分） 变式12．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为__________________ 变式13．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为______． 题型六：公切线问题 例16．（2026·高二·全国·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 例17．（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 例18．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为______（写出其中一条公切线方程即可）. 变式14．（2026·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为______. 变式15．（2026·高二·广东·期末）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 变式16．（2026·高二·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 1．（2026·山东聊城·一模）“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高二·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 6．（2026·高二·河北石家庄·期末）若，分别是圆与圆上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2026·高二·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 8．（2026·高二·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·期中）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 10．（多选题）（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 11．（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 12．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 13．（2026·高二·河南郑州·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，直线：，直线：，若Q为与的交点，则的最大值为__________． 14．已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是______. 15．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 16．（2026·高二·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 17．（2026·高二·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 18．（2026·高二·广东清远·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 19．（2026·高二·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，已知，，．记的外接圆为． (1)求的方程； (2)若，点满足，试判断点的轨迹与的位置关系． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 圆与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：圆与圆的位置关系 3 03 题型精讲举一反三 5 题型一：圆与圆位置关系判定 5 题型二：两圆交点求解 6 题型三：公共弦问题 8 题型四：由位置关系求参数 10 题型五：由位置关系求圆方程 12 题型六：公切线问题 16 04 过关测试 20 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：圆与圆位置关系判定 例1．（2026·高二·江西九江·阶段检测）圆和圆的位置关系为（     ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】由于圆，即， 表示以为圆心，半径等于1的圆， 圆，表示以为圆心，半径等于2的圆， 由于两圆的圆心距等于，故，所以两个圆相交． 故选：B． 例2．（2026·高二·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离. 故选：D. 例3．（2026·高二·广东揭阳·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 【答案】B 【解析】圆可化简为：， 因为圆与圆 所以两个圆的圆心距 两个圆的半径分别为 因为，所以两个圆外离. 故选：B 变式1．（2026·高二·青海西宁·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为， 所以圆与圆外切． 故选：D． 变式2．（2026·高二·河南·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【解析】由题意知，两圆的半径分别为， 所以，故两圆外离. 故选:A. 题型二：两圆交点求解 例4．（2026·高二·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 例5．（2026·高三·广东佛山·阶段检测）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 例6．（2026·高二·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【解析】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 变式3．（2026·高二·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 变式4．（2026·高二·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B 题型三：公共弦问题 例7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 例8．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 例9．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 变式5．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 变式6．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B 变式7．（2026·高二·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B 题型四：由位置关系求参数 例10．（2026·高二·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 例11．（2026·高二·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 又点与点的距离， 因为两圆相切， 若两圆相外切，则，即，解得； 若两圆相内切，则，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或. 例12．（2026·高二·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 变式8．（2026·高二·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 又点与的距离， 因为圆与圆相交， 所以，即，即，解得； 所以的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 变式9．（2026·高二·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 变式10．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】9，（满足即可，答案不唯一） 【解析】因为，， 所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆， 则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且， 所以，解得. 题型五：由位置关系求圆方程 例13．经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【解析】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 例14．（2026·高二·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 例15．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 则圆心，半径，圆C过原点. 因为圆与圆相切于坐标原点，且过点， 所以圆与圆相外切，圆心是线段的垂直平分线与直线的交点. 直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，所以， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 故答案为： 变式11．已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为______．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意得，，圆的半径为1， ∴，即两圆圆心距为5. 设圆的半径为， 当两圆外切时，，，圆方程为， 当两圆内切时，，，圆方程为， ∴圆心在原点且与圆相切的圆的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 变式12．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为__________________ 【答案】 【解析】圆：的圆心，半径， 由点，点，直线的斜率， 线段的中垂线过点，且斜率为，方程为，即， 直线的方程为，即， 由，得， 则所求圆的圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 变式13．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为______． 【答案】 【解析】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 题型六：公切线问题 例16．（2026·高二·全国·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 【答案】3 【解析】两圆的一条公切线的方程为 过点，斜率为， 和x轴的夹角，则不妨设两圆心为，则， 可得， 又两圆外切， 则， 则，故. 故答案为：3 例17．（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【解析】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 例18．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为______（写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【解析】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 变式14．（2026·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 变式15．（2026·高二·广东·期末）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】圆可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， 因为两圆有且仅有两条公切线，所以两圆的位置关系是相交， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式16．（2026·高二·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 【答案】2 【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 1．（2026·山东聊城·一模）“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作出符合题意的图形， 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以， 即，所以. 解得，且. 故选：C. 3．（2026·高二·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 4．（2026·高二·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 若与有且仅有2条公切线，则两圆相交， 又，，解得. 故选：D. 5．（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C. 6．（2026·高二·河北石家庄·期末）若，分别是圆与圆上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】圆，可化为， 圆， 所以，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以. 故选：B 7．（2026·高二·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .， 故两圆内切.故两圆有一个公共点. 故选：D 8．（2026·高二·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【解析】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·期中）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】BD 【解析】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交， 所以圆与圆的相交弦方程为， 化简得，故D正确. 10．（多选题）（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【解析】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 11．（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 12．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 13．（2026·高二·河南郑州·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，直线：，直线：，若Q为与的交点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】设，由得到，， 化简得到，因此，点P的轨迹是以为圆心、半径的圆， 直线：，变形为，则直线恒过定点， 直线：，变形为，则直线恒过定点， 又因为，所以， 则点Q的轨迹是以和为直径端点的圆，圆心坐标为 ，半径为, 两圆的圆心距为，两圆内含. 根据点与圆的位置关系，的最大值等于两圆的圆心距加上两圆的半径之和， 即. 故答案为：. 14．已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由，得， 设，，则， 即，，又，在圆上， 所以， 即 所以圆与圆有公共点， 因此，解得. 又由且，不同，知点在圆外，故，故. 故答案为：. 15．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【解析】（1）圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内， ，即的取值范围为； （2）∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系. 16．（2026·高二·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 【解析】（1）由题可设圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，解得或， 所以圆的方程为或． （2）当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则，可得，所以圆和圆相交，符合题意， 设两圆交于，两点， 由圆，可化为 联立方程组，两式相减，可得， 即的直线方程为，所以点到直线的距离， 根据圆的弦长公式，可得； 当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 可得，此时，两圆相离，不符合题意． 综上可得，圆与圆的公共弦长为． 17．（2026·高二·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 【解析】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② 联立①②，解得，， 圆的方程为． （2）圆的圆心，半径． 则，，， ，圆与圆相交． 将圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 18．（2026·高二·广东清远·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，设，则， 所以，则， 所以圆心，半径为，故圆的标准方程为； （2）由，，则， 又圆、圆相交且半径分别为、，则， 所以. 19．（2026·高二·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，已知，，．记的外接圆为． (1)求的方程； (2)若，点满足，试判断点的轨迹与的位置关系． 【解析】（1）设的方程为，代入，，的坐标，得 ，   解得，，．   所以的方程为． （2）设，由，得，    化简得，也即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆．     又的方程可化为，以为圆心，半径． 因为，且，   所以点的轨迹与相离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $