1.1 正数和负数（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“正数和负数”，通过温度、盈利亏损等现实情境引入，结合小学整数、分数知识回顾，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生理解正负数概念及0的意义。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过归纳表格和辨析题发展数学思维，用海拔、手机账单等跨学科例子强化数学语言表达。课堂小结系统梳理知识并易错提醒，助力学生夯实基础，教师可直接用于分层教学。

正数和负数 第 1 节 第1章 有理数 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 经历从现实生活中的实例引入负数的过程,体会引入负数的必要性与合理性;掌握正、负数的概念和表示方法,会判断一个数是正数还是负数;理解数0表示的量的意义. 经历从现实生活中的实例引入负数的过程,体会引入负数的必要性与合理性;掌握正、负数的概念和表示方法,会判断一个数是正数还是负数;理解数0表示的量的意义. 通过用正负数表示相反意义的量的教学,培养学生观察、比较和概括的能力. 灵活掌握正负数的概念,理解正数、负数及0的意义. 重点 正确了解负数,能准确地举出具有相反意义的量的典型例子; 难点1 会用正数、负数表示具有相反意义的量. 难点2 重 难 点 知识回顾 我们知道,数的产生和发展离不开生活和生产的需要,人们对于数的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展的.现在让我们一起追寻古人的足迹,回顾一下数诞生的历史. 分数 0 正整数 整 数 像 0, 1, 2, 3, ... 这样的数就是整数。 它们是数学中最基础的数，帮助我们数物体的个数，记录数量的多少。 分数 像 ，， ... 这样的数是分数。 当我们需要表示整体中的一部分，或者测量结果不是整数时，分数就会来帮忙。 小数 像 0.5， 3.14，100.01 这样的数是小数。 小数是分数的另一种表现形式，在商品价格、长度测量中非常常见。 知识回顾 数在我们的生活中无处不在，帮助我们计数、测量和计算，构成了丰富多彩的数学世界。 创设情境 夏天来了，高温预报 温度：39 摄氏度 冬天来了，低温预报 温度：零下 30 摄氏度 在小学,我们从日常生活中的实例出发,先后学习了整数、小数、分数及其运算,在日常生活、生产和科研中,还会遇到另外一些数的表示问题,例如: 零上 零下 创设情境 （1）北京冬季某一天的最高气温为零上 3 摄氏度，最低气温为零下 3 摄氏度. （2）某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元. 统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长 7.8%”和“减少 0.7%”？ 如何用数区分“零上 3 摄氏度”和“零下 3 摄氏度”？ 该公司在记账时如何用数分别表示“盈利 50 万元”和“亏损 10 万元”？ （3）某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7% . 下面问题都涉及意义相反的两个量，为了能用数表示像这样具有相反意义的两个量，需要引入负数 零下3℃ 记为：- 3℃ 零上3℃ 记为：+3℃ 零上温度和零下温度是以0°C为分界点的具有相反意义的量. 温度比0°C高，称为零上温度; 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 温度比0°C低，称为零下温度 思考1：零上温度和零下温度如何记录？这两者之间的分界点是什么呢? 北京冬季某一天的温度 成本 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 （2）某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元. 销售额比成本多50万元 盈利 50 万元 销售额比成本少10万元 亏损 10 万元 记为：- 10万元 记为：+50万元 盈利与亏损以成本作为比较基准的两个互为相反意义的量， 上年的产量 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 （3）某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7% . 增长率=÷×100%。 棉花产量比上年产量增加了，增长的比例为7.8% 增长率 7.8% 玉米产量比上年产量减少了，减少的比例为0.7% 降低率0.7% 记为：－0.7% 记为：+7.8% 小知识 增长率与降低率以上年产量作为比较基准的两个互为相反意义的量 具有相反意义的量 其中一个量规定为正的 与这个量意义相反的量规定为负的 分别用“+” “－”来表示 零上 零下 盈利 亏损 增长 减少 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 思考2：负数有什么特点? 思考3：如果一个数不是正数就是负数,对吗? 还有0，0不再简简单单的只表示没有. 它具有丰富的意义,是正负数的分界点. 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 文字描述 数学符号 分界点 零上 3 摄氏度 零下 3 摄氏度 盈利 50 万元 亏损 10 万元 增长 7.8% 减少 0.7% +3 ℃ -3 ℃ +50 万元 -10 万元 +7.8% -0.7% 0 归纳1：正数和负数的定义: 在数学中，像 3，50，7.8% 这样大于 0 的数叫作正数,正数的“+”有时可以省去不写． 像－3，－10，－0.7% 这样在正数前面加上符号“－”的数叫作负数．其中符号“－”是负号,负数的“－”不能省去不写. 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 归纳2：正数与负数的表示法及读法 注意：一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号． 为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符号“+” (1)正数的实质就是大于0的任何数， “＋”读作正，正数可以含 “＋”，也可以不含“＋”； (2)负数就是在正数前面加上“－”的数，“－”读作负，每一个正数都对应一个负数； +1800，+3，+， … , 就是 1800，3，，…． 读作：正1800，正3，正 －1800， －3，－ ， … , 读作：负16.负3.6，负 示 例1 示 例2 (1)数有带符号(＋、－)的数和不带符号的数两种呈现形式； (2)数包括正数、0、负数三种情况． 注意：符号“＋” “－”的含义： (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质是正负号． 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 归纳3：数的特征及种类： 示 例3 2000－1800 “－”运算符号减号，2000减去1800 －1800 ＋1800 “－”数的性质符号负号， 表示负数，负1800 “＋”数的性质符号正号， 表示正数，正1800 新知讲授 探究点1 正、负数的认识 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负. 魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负. 我国古代用算筹来记数和计算 新知讲授 探究点2 用正负数表示具有相反意义的量 在日常生活中,你会遇到: (1)你向东走了5米和向西走了3米; (2)你的爸爸给(收入)你20元和你用了(支出)8元; (3)下雨池塘里的水位升高了0.01米和干旱池塘里的水位降低了0.03米; 思考3:下面出现的每一对量有什么共同特点? 具有相反意义的量 归纳4：一个问题中出现具有相反意义的量可以用正数和负数表示。 把某种量的一种意义规定为正的,用正数表示， 把与它相反的一种意义的量用负数表示 向东走了5米表示为－5,向西走了3米可以表示为 . +3 你的爸爸给你20元表示：+20，你用了8元表示： . －8 下雨池塘里的水位升高了0.01米用 表示， 干旱池塘里的水位降低了0.03米用－0.03表示 +0.01 判断具有相反意义的量的方法： (1)成对出现： 具有相反意义的量是成对出现的，且必须是同类量． (2)单位一致： 两个具有相反意义的量在数量上可以不相等，但单位必须一致． 注意： 用正数、负数表示相反意义的量时，哪种意义为正没有硬性规定，并不是一成不变的． 归纳5:具有相反意义的量包含两层含义: 新知讲授 探究点2 用正负数表示具有相反意义的量 一是意义相反 是指两个量所描述的属性或方向完全对立。 例如：“上升”与“下降”、“向东”与“向西”、“盈利”与“亏损”等。 二是必须含有具体的量. 仅有相反的意义不够，还必须有明确的数值。 例如：不能只说“上升”，而要说“上升5米”；不能只说“盈利”，而要说“盈利50元”。 新知讲授 探究点2 用正负数表示具有相反意义的量 1.如果顺时针旋转3圈记为+3，那么-6圈表示_____________ 2.向右移动5m记为+5m，那么-2m表示_____________ 3.超过90分的部分用正数表示，如98分记为+8分，那么87分应记为__________ 4.不是正数也不是负数的数是_______，不是正数的数是_____________,不是负数的数是________________ 5.收入-60元表示的意思是__________ 逆时针旋转6圈 向左移动2米 -3分 0 负数和0 正数和0 支出60元 示 例4 6.公元221年记为+221年，那么-119年表示_____________ 公元前119年 新知讲授 探究点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 在古印度，由表示“没有” “空位”，产生数 0 0既不是正数,也不是负数. 思考3:0 是正数还是负数？你认为0应该放在什么地方? 0是正数与负数的分界 “中华人民共和国水准零点”标志 展示 “海拔 0 米基准” 全国高程测量原始计算起算点，海拔高度比较的基准 新知讲授 探究点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 思考4：下图是吐鲁番盆地的示意图,你能用语言表述它与海平面的高度关系吗?它的含义是什么? 归纳5: “0”可以表示一种基准，高于基准的量用正数来表示，低于基准的量用负数表示. 珠穆朗玛峰 8844.86 m 吐鲁番盆地 ﹣154.31 m 海平面 高度看作0 0 是正数与负数的分界. 0 ℃ 是一个确定的温度， 海拔 0 m 是一个确定的海拔. 0 已不只是表示“没有”. 新知讲授 探究点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 地理中的分层设色地形图 思考5：下图中的正数和负数分别表示什么？ 海平面记作0 米，以此为基准： 正数（如 A 点 4600）： 表示高出海平面 4600 米， 海拔为正，代表陆地高地； 2.负数（如 B 点 - 100）： 表示低于海平面 100 米， 海拔为负，代表洼地、地下盆地。 新知讲授 探究点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 手机中的部分收支款账单 思考5：下图中的正数和负数分别表示什么？ 以收支平衡 0 元为基准： 正数（如 + 15.00）： 代表收入、进账，钱款增加； 2.负数（如 - 10.00、-30.00）： 代表支出、消费，钱款减少。 新知讲授 探究点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 （1）防洪大堤所标的警戒水位是37m表示 . （2）若夏季的某一天，水位为39m，应记为______________. （3）若冬季的某一天，水位记录为-7m，则实际水位是________ +2m 30m 示 例5 水位变化的基准 一防洪大堤所标的警戒水位是37m，规定在记录每天水位时，高于警戒水位的部分记为正数。 水位记录为-7m表示比警戒水位37米低7米，实际水位： 37-7=30（米） ，+38，2.7，+9 典例评析 例1:读出下列各数,并把它们填在相应的圈里: -11+38，-0.36，2.7,0,+9 -11,-0.36 正数 负数 例2.某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装.一箱橘子的标准质量为 2.5 kg. 如果用正数表示超过标准质量的克数，那么 （1）比标准质量多 65 g 和比标准质量少 30 g各怎么表示？ （2）50 g，-27 g 各表示什么意思？ 典例评析 （2） 50 g 表示这箱橘子的质量比标准质量多 50 g， -27 g 表示这箱橘子的质量比标准质量少 27 g. 解：（1）比标准质量多 65 g用 + 65 g 表示， 比标准质量少 30 g用 -30 g表示， 典例评析 例3.（1）一个月内，李明体重增加 1.2 kg，张华体重减少 0.5 kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值. 解：李明体重增长 1.2 kg 张华体重增长 -0.5 kg 刘伟体重增长 0 kg 张华体重减少0.5 kg 变化率表示规则：减少记为负，增长记为正 A 品牌：减少 2%，增长率为 −2% B 品牌：增长 4%，增长率为 +4%（或4%） C 品牌：增长 1%，增长率为 +1%（或1%） D 品牌：减少 3%，增长率为 −3% 典例评析 例3. （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率下： A 品牌减少 2%， B 品牌增长 4%， C 品牌增长 1%， D 品牌减少 3% 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 解： 分析：变化率=×100% 典例评析 例3. （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率下： A 品牌减少 2%， B 品牌增长 4%， C 品牌增长 1%， D 品牌减少 3% 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 解： 增加 -2%，是什么意思？什么情况下增长率是 0？ 用正数、负数用来表示一组具有相反意义的量，先规定其中一种意义为正，变化率用正数表示 增长，与之相反的意义降低率就用负数表示，0 是分界基准。 增长率＞0：增长、增加 增长率＝0：持平、不变 增长率＜0：下降、减少（也可以描述为 “增加负百分之几”） 例4.某学校地面上的旗杆高28米，甲楼高26米，乙楼高35米。若以旗杆的高为基准，记作“0”米，如何表示甲、乙两大楼的高度？ 解：基准为28米，比基准高记为正，比基准低记为负 ∵甲楼高26米 ， ∴28 - 26 = 2米。 ∵26＜28 ∴甲楼比基准低2米， 甲楼的高度记作-2 米。 ∵乙楼高35米。 ∴35 - 28 = 7米。 ∵35＞28 ∴乙楼比基准高7米， 乙楼的高度记作+7 米（或7米）。 典例评析 新知巩固 教材P3练习 1. 指出下面各数中的正数、负数： ，-1，2.5，+ ，0，-3.14，120，- 正数 负数 + - 2.5 120 -1 -3.14 新知巩固 教材P3练习 2. 如果 80 m 表示向右走 80 m，那么_____表示向左走 60 m. 3. 某天，月球表面白天的最高温度为零上 126 ℃，如果把它记作 126 ℃，那么夜间的最低温度零下 150 ℃ 记作_____℃. 4. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 _____个. -60 -150 -2 新知巩固 1. 如果水库的水位升高 3 m 时，水位变化记作 +3，那么 水位下降 3 m 时，水位变化记作____m，水位不升不降时，水位变化记作_____m. -3 0 教材P5练习 新知巩固 2. 一袋面粉的标准质量是 10 kg，如果比标准质量多 0.1 kg 记作 +0.1 kg，那么 -0.1 kg，0 kg， +0.5 kg 分别表示什么？ 解：-0.1 kg 表示比标准质量少 0.1 kg 0 kg 表示等于标准质量 +0.5 kg 表示比标准质量多 0.5 kg 教材P5练习 新知巩固 3. 若规定商品涨价为正，则甲商品涨价 10% 可以记作______， 乙商品降价 5% 可以记作_______. +10% -5% 10% -5% 教材P5练习 涨价 10% 降价 5% +10% 检测反馈 1.下列语句正确的是 (　　) A.零上与零下是具有相反意义的量 B.快和慢是具有相反意义的量 C.向东走10米与向西走8米是具有相反意义的量 D.+15米表示向南走15米 2.飞机上升-50米实际上就是 (　　) A.上升50米　　　 B.下降50米 C.下降-50米 D.先上升50米,再下降50米 C B 检测反馈 3.下列判断正确的个数是 ( ) ①加正号的数是正数,加负号的数是负数; ②任意一个正数,前面加上“-”,就是一个负数; ③0是最小的正数; ④大于0的数是正数; ⑤字母a既是正数,又是负数. A.0 B.1 C.2 D.3 解：加正号的数不一定是正数,加负号的数不一定是负数, 如+0=-0=0,故①不正确; ②正确,符合负数的定义; 0既不是正数也不是负数,故③不正确; ④正确,符合正数的定义; 字母a可以表示正数,也可以表示负数,但不能既是正数,又是负数, 故⑤不正确. C 4.下列关于“0”的说法中,正确的个数是 (　　) ①0是正数和负数的分界; ②0只能表示“什么也没有”; ③0可以表示特定的意义,如0 ℃等; ④0是正数; ⑤0是自然数. A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 解：0除了可以表示“无”的意义外,还有其他意义,故②不正确; 0既不是正数,也不是负数,故④不正确.①③⑤正确. B 检测反馈 5.【规律探究题】观察下面一列数,探索其规律: 2-34-56,-7,…. (1)写出第7个数,第8个数; (2)写出第2 026个数. 解：(1)观察发现:第奇数个数为正数,第偶数个数为负数,且这一列数的整数部分是从2开始的连续自然数,分数部分分子都是1,分母比相应数的整数部分大1, ∴第7个数是：8,第8个数是：-9. (2)第2 026个数是：－2 027. 检测反馈 1.（24-25七年级上·河北邢台·期中）周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行300m 到达小明家，继续向西骑行200m 到达琪琪家，然后向东骑行 800m到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（ ） A．500m B．800m C． 600m D． 1300m 解：规定向东为正方向，那么向西就为负方向． 嘉嘉从家出发到小明家的行程可表示为－300m ， 从小明家到琪琪家的行程为：-200m ， 从琪琪家到图书馆的行程为 ：+800， 嘉嘉从家到图书馆的总行程： -300+(-200)+800300m， 这表明图书馆在嘉嘉家东边300m处， 已知小明家在嘉嘉家西边300m处， 图书馆在嘉嘉家东边300m处， 所以图书馆到小明家的距离：300-(-300)=600， C 拓展提升 2.（24-25七年级下·云南昆明·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之” 如：粮库把运进 吨粮食记为“﹢30 ”，则“-30 ”表示（ ） A．盈利30 吨粮食 B．运出 30吨粮食 C．亏损 30吨粮食 D．运出 30吨粮食 解：题目中明确将运进30吨粮食记为“+30”， 根据“正负以名之”的原则，相反意义的运出应用负数表示． 因此，“−30”表示运出30吨粮食． B 拓展提升 拓展提升 3.如图1,一只甲虫在5×5的网格(每个小方格的边长均为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫,规定:向上、向右为正,向下、向左为负,例如,从A到B记为A→B(+1,+4),从C到D记为C→D(+1,-2)(其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向). (1)填空:A→D(　　　　,　　　　),C→B(　　　　,　　　　);  (2)若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A,甲虫每秒行走的路程为2,请计算甲虫行走的时间; (3)若这只甲虫去P处的行走路线为A→E(+2,0)，E→F(+2,+1)，F→M(-1,+2)，M→P(-2,+1).请依次在图2上标出点E、F、M、P的位置. 解：(1) A→D 项右移4格，记+4，向上移1格：记+1; ∴ A→D 记（-2，+1）.同理： C→B记（-2，+1） (2)A→B→C→D→A,共行走了： 5+3+3+5=16，16÷2=8(秒), ∴甲虫行走的时间是8秒. (3)点E、F、M、P的位置如图所示: +4 +1 -2 +1 课堂小结 概念 正数和负数表示实际问题中的具有相反意义的量. 在具体的问题情境中明确正数和负数代表的实际意义. 正数的定义 0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分，是基准点，代表“没有”或“基准”的状态。 正数 0 负数 知 识 梳 理 比0大的数叫做正数。在实际生活中，常用来表示具有“增加”“上升”“盈利”等意义的量。 在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数。常用来表示具有“减少”“下降”“亏损”等意义的量。 负数的定义 0的意义 正数负数应用 易 错 提 醒 课堂小结 01. 忽略0的特殊性 容易误认为0是正数或负数。记住：0很特殊，两边都不靠！它既不是正数，也不是负数。 02. 混淆相反意义的量 判断具有相反意义的量时，必须同时包含“意义相反”和“具体数量”这两个核心要素，缺一不可。 03. 错误理解“-”号的意义 “-”号不仅是减号，还可表示性质符号。如“上升-5米”，应理解为“下降5米”，避免字面误解。 习题 1.1 教材p5页 课后练习 2.某年，我国全年平均降水量比上年增加53.5mm，接下来的第二年比上年减少81.5mm，第三年比上年增加108.7mm. 用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量. 解： 第一年我国全年平均降水量比上年的增长量为+53.5 mm； 第二年我国全年平均降水量比上年的增长量为-81.5 mm； 第三年我国全年平均降水量比上年的增长量为+108.7 mm. 课后练习 4. 科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷，物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷. 氢原子中的原子核与核外电子各带1个电荷，把它们所带电荷用正数和负数表示出来. 解：氢原子中，原子核带+1个电荷，电子带-1个电荷. 5. 如果把一个物体向正后方移动 5 m记作移动 -5 m，那么这个物体又移动 +5 m 是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？ 解：这个物体又移动 +5 m 表示物体又向前移动了 5 m，这时物体回到两次移动前的位置. 习题 1.1 教材p5页 课后练习 6.在测量某些量(如长度、质量、时间)时会产生误差，又是采用多次测量求平均值的方法可以减小误差. 某班七组同学分别测量同一座楼的高度，测得的数据(单位：m)分别是：79.4，80.6，80.8，79.1，80，79.6，80.5. 这些数据的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，它们对应的数分别是什么？ 解：这七组数据的平均值为： (79.4+80.6+80.8+79.1+80+79.6+80.5)÷7≈80(m) 七组数据对应的数分别是： 单位 m 79.4 80.6 80.8 79.1 80 79.6 80.5 -0.6 +0.6 +0.8 -0.9 0 -0.4 +0.5 习题 1.1 教材p5页 课后练习 7.某地一天中午12时的气温是7℃，过5h气温下降了4 ℃ ，再过7h气温又下降了4℃ ，第二天0时的气温是多少？ 解： 7℃下降了4 ℃是3℃， 再下降4℃是零下1摄氏度， ∴第二天0时的气温是－1℃. 习题 1.1 教材p5页 课后练习 习题 1.1 教材p5页 8.如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次. 例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“-15，+10，-5”， 要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线 对准的刻度线表示哪个数？ 解：此时标记线对准的刻度线表示数字6. 开锁密码为“-15，+10，-5”时， 应先按顺时针方向旋转15个小格， 再逆时针旋转10个小格， 再顺时针旋转5个小格. 锁打开时标记线对准的刻度线表示数字30. 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $