第04讲 充分条件与必要条件（3个知识点+5个考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 充分条件与必要条件 1、 命题 （1） 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。 （2） 中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。 2、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点2 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q ⇒ p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 知识点3 从集合角度看充分、必要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A=B，则p，q互为充要条件 若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 教材习题01 用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 【答案】充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 教材习题02 用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）当时，一定有成立，但反之不一定成立，如，但，故填充分条件； （2）当时，，反之当时，或，故填充分条件； （3）当时，不一定成立，如，但，反之时，一定成立，故填必要条件； （4）当时，说明x，y同号，即成立，反之当时，一定成立，故填充要条件. 【答案】充分条件 充分条件 必要条件 充要条件 教材习题03 判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( ) 解题方法 （1）当时，则，∴“”是“”的充分条件，∴正确； （2）当时，满足，但不成立， ∴“”不是“”的充要条件，∴错误； （3）当两个三角形全等时，则两个三角形相似， ∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件，∴正确； （4）当两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等， ∴“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”不是“两个三角形全等”的充要条件，∴错误． 【答案】正确 错误 正确 错误 考点一 判断命题的真假 1．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 2．下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 （多选题）3．下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 考点二 充分条件的判定及性质 1．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 2．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 3．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 考点三 必要条件的判定及性质 （多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 2．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 3．设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 考点四 充要条件的证明 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 探究命题为真的充要条件 1．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 知识导图记忆 知识目标复核 1．充分条件与必要条件 2．充要条件 3．从集合角度看充分、必要条件 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． （多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 12．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 13．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 充分条件与必要条件 1、 命题 （1） 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。 （2） 中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。 2、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点2 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q ⇒ p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 知识点3 从集合角度看充分、必要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A=B，则p，q互为充要条件 若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 教材习题01 用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 【答案】充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 教材习题02 用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）当时，一定有成立，但反之不一定成立，如，但，故填充分条件； （2）当时，，反之当时，或，故填充分条件； （3）当时，不一定成立，如，但，反之时，一定成立，故填必要条件； （4）当时，说明x，y同号，即成立，反之当时，一定成立，故填充要条件. 【答案】充分条件 充分条件 必要条件 充要条件 教材习题03 判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( ) 解题方法 （1）当时，则，∴“”是“”的充分条件，∴正确； （2）当时，满足，但不成立， ∴“”不是“”的充要条件，∴错误； （3）当两个三角形全等时，则两个三角形相似， ∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件，∴正确； （4）当两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等， ∴“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”不是“两个三角形全等”的充要条件，∴错误． 【答案】正确 错误 正确 错误 考点一 判断命题的真假 1．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 2．下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． （多选题）3．下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 考点二 充分条件的判定及性质 1．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 2．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 3．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或. 考点三 必要条件的判定及性质 （多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 2．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 3．设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 考点四 充要条件的证明 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 考点五 探究命题为真的充要条件 1．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 2．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 3．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 知识导图记忆 知识目标复核 1．充分条件与必要条件 2．充要条件 3．从集合角度看充分、必要条件 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】举反例和可得出. 【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数 【详解】由题意得，解得，所以． 4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【详解】因为，所以，即． 5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件 【详解】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 6．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 8．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． （多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 12．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算、充要条件的证明 【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出. 【详解】（1）若，则，则且， 则且，则， 故； 若，则且，则且， 则，则， 故； 综上所述，. （2）若，则，则或， 则或，则， 故； 若，则或，则或， 则，则， 故； 综上所述，. 故答案为：； 13．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 14．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 15．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、并集的概念及运算 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 16．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$