第02讲 集合间的基本关系【从0到1的暑假自学手册】-2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 第02讲 集合间的基本关系 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 子集、真子集 考向1：子集、真子集的确定；考向2：子集与真子集的个数 考点2 集合相等 考向1：判断两个集合是否相等；考向2：根据集合相等求参数 考点3 空集的概念及性质应用 考向1：空集的概念与判断；考向2：空集的性质与运用 考点4 判断两个集合的包含关系 考点5 集合关系的Venn图表示 考点6 根据集合的关系求参数 04 过关检测 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 ，称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B⊆A)，读作“A 于B”(或“B A”) 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即；（2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的 记法 记作 图示 结论 （1）且，则； （2），且，则 【注】（1）“A是B的子集”的含义：集合A中的 都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． （2）不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． （4）对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集． （5）若，且，则． （6）若有限集A中有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个． 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的 素是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B ，记作A＝B．也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做 ，记为∅． （2）规定：空集是任何集合的 ． 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． 3．0，{0}，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面 3．Venn图的优点及其表示 （1）优点：形象直观；缺点：集合元素的共同特征不明显． （2）表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．如图所示.    知识点3 集合间关系的性质 1．任何一个集合都是它本身的 ，即AA． 2．对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC． 3．若AB，A≠B，则A⫋B． 考点1：子集、真子集 考向1：子集、真子集的确定 【例1】（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 考向2：子集与真子集的个数 【例2】满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式1】（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【变式3】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 考点2：集合相等 考向1：判断两个集合是否相等 【例3】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 考向2：根据集合相等求参数 【例4】（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【变式1】下列四组中，表示相等集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·吉林长春·阶段检测），，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 考点3 空集的概念及性质应用 考向1：空集的概念与判断 【例5】（24-25高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 考向2：空集的性质与运用 【例6】（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【变式2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 考点4 判断两个集合的包含关系 【例7】（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 考点5 集合关系的Venn图表示 【例8】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．  C．   D．   【变式1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】请用文氏图表示下列集合关系：，． 【变式3】举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 考点6 根据集合的关系求参数 【例9】设集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若 ，求实数a的取值范围 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知，若，求的值 【变式3】已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合； （3）若中有3个整数，求实数的取值集合； （4）若，求实数的取值集合； （5）若，求实数的取值取值集合； 考点1 子集、真子集 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 5．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 考点2 集合相等 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 9．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 11．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 13．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 14．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 考点3 空集的概念及性质应用 15．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点4 判断两个集合的包含关系 17．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 19．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 考点5 根据集合的关系求参数 20．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 21．设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 22．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 24．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 （1）求的真子集 （2）若，求的值． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 2．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知集合，，且． （1）用列举法表示集合； （2）求实数的值组成的集合． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 4．已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 第02讲 集合间的基本关系 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 子集、真子集 考向1：子集、真子集的确定；考向2：子集与真子集的个数 考点2 集合相等 考向1：判断两个集合是否相等；考向2：根据集合相等求参数 考点3 空集的概念及性质应用 考向1：空集的概念与判断；考向2：空集的性质与运用 考点4 判断两个集合的包含关系 考点5 集合关系的Venn图表示 考点6 根据集合的关系求参数 04 过关检测 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或B⊆A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即；（2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作 图示 结论 （1）且，则； （2），且，则 【注】（1）“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． （2）不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． （4）对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集． （5）若，且，则． （6）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个． 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B．也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． （2）规定：空集是任何集合的子集． 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． 3．0，{0}，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面 3．Venn图的优点及其表示 （1）优点：形象直观；缺点：集合元素的共同特征不明显． （2）表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．如图所示.    知识点3 集合间关系的性质 1．任何一个集合都是它本身的子集，即AA． 2．对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC． 3．若AB，A≠B，则A⫋B． 考点1：子集、真子集 考向1：子集、真子集的确定 【例1】（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 考向2：子集与真子集的个数 【例2】满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 【变式1】（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 【变式2】（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 【变式3】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 【变式4】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 考点2：集合相等 考向1：判断两个集合是否相等 【例3】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 考向2：根据集合相等求参数 【例4】（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 【变式1】下列四组中，表示相等集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【变式2】（25-26高三下·吉林长春·阶段检测），，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因，则. 【变式3】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 考点3：空集的概念及性质应用 考向1：空集的概念与判断 【例5】（24-25高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 考向2：空集的性质与运用 【例6】（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 【变式1】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 考点4：判断两个集合的包含关系 【例7】（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 【变式1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 【变式2】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 【变式3】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 考点5：集合关系的Venn图表示 【例8】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【详解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B. 故选：B 【变式2】请用文氏图表示下列集合关系：，． 【答案】答案见解析 【分析】根据为的真子集，得到文氏图. 【详解】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    【变式3】举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【答案】答案见解析 【分析】根据集合间的包含关系与相等的定义，给合Venn图直观表示即可. 【详解】集合之间的包含关系： 例如，，显然，Venn图表示如下图：      集合之间的相等关系： 例如：是两条边相等的三角形，是等腰三角形， Venn图表示如下图：    考点6 根据集合的关系求参数 【例9】设集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 【变式2】已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 【变式3】已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合； （3）若中有3个整数，求实数的取值集合； （4）若，求实数的取值集合； （5）若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 考点1 子集、真子集 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 4．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 5．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 7．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 考点2 集合相等 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 9．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 10．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 11．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 13．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 考点3 空集的概念及性质应用 15．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 16．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 考点4 判断两个集合的包含关系 17．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合与集合的包含、相等关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 18．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系和元素与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 19．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 考点5 根据集合的关系求参数 20．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 21．设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 22．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 23．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【分析】按照和这两种情况讨论求解. 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 24．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 （1）求的真子集 （2）若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 2．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知集合，，且． （1）用列举法表示集合； （2）求实数的值组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程，再用列举法表示即可 （2）先判断集合间的关系，分情况讨论是否符合题意 【详解】（1）由，解得或，所以， （2）（2）由得， ①当时，，满足条件. ②当时，，因为， 所以或，解得或.                      综上，实数的值组成集合为. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 4．已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $