抽象函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数核心考点，涵盖单调性判断（和型、积型变形）及幂函数、指数函数、对数函数等常见模型，按“定义-方法-模型”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法归纳、真题演练（含2023新课标Ⅰ卷等高考题）及分层训练，帮助学生构建抽象函数问题的分析框架，突破单调性判断、奇偶性证明等难点，体现复习的系统性与高考针对性。 讲义创新采用“方法归类+模型识别”教学策略，如针对和型抽象函数单调性判断，引导学生通过f(x1)-f(x2)变形分析符号，培养数学思维中的推理能力。设置从高考真题（如2022新高考Ⅰ卷多选题）到综合解答题的分层训练，配合奇偶性证明、周期性应用等专题突破，帮助学生在有限时间内提升抽象函数问题的解决效率。既强化学生用数学语言表达函数性质的能力，也为教师把控复习节奏提供清晰的教学路径。

抽象函数 抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数. （1）判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数 ，则判断符号时要变形为或； ②若给出的是“积型”抽象函数 ，则判断符号时要变形为或. （2）常见的抽象函数模型 ①幂函数 ，对应或. ②指数函数，且，对应或. ③对数函数，且，对应或或. 跟踪训练 1. [（2023· 新课标Ⅰ卷·11，5分）]多选题 已知函数的定义域为,，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 2. [（2022·新高考Ⅰ卷·12,5分）]多选题 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 3．[（2024·湖北黄冈模拟）]多选题 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 有最大值 C. D. 函数是奇函数 4．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. 函数的周期为2 D. 5．[（2024·黑龙江大庆高三质检）]多选题 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集是 6．多选题 已知定义在上的连续函数满足，，，且，则（ ） A. B. 当，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 7.（2025·山西模拟）多选题 已知定义域为的函数满足：对任意的，，，且当时，.则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 8.（2026·广东肇庆调研）多选题 已知定义在上的函数的图象为一条连续的曲线，且满足：在上单调递增；，，，则（ ） A. 当时， B. 函数为奇函数 C. D. 当，时， 9.（2025·广东佛山质检）多选题 已知函数的定义域为，且对任意的非零实数，，都有，若，则（ ） A. B. 数列中不存在大于的项 C. 数列为递减数列 D. 10.多选题 已知函数的定义域为，的图象是一条连续不断的曲线，满足，当时，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 11．（1） 已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2） 已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3） 设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数. 12．函数的定义域为，且满足对于任意，，都有. （1） 求的值； （2） 判断的奇偶性，并证明你的结论； （3） 若，，且在上单调递增，求的取值范围. 13（2026·河北保定联考）（14分）已知函数在上满足，且当时，；当时，. （1） 求的值； （2） 判断并证明的单调性； （3） 若，求不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. [（2023· 新课标Ⅰ卷·11，5分）]多选题 已知函数的定义域为,，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 （1） 由题知.对于，令，则，故正确.对于，令，则，则，故正确.对于，令，则，则，令，则，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确.对于，解法一：不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.解法二：当时，的两边同时除以，得，故可设 ，则当时，，则，令，得,令，得,故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，作出的大致图象如图所示，显然，是的极大值点，故错误.故选. 2. [（2022·新高考Ⅰ卷·12,5分）]多选题 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 BC （2） 解法一：若设，则，易知所设符合题意，此时，故选项错误.若设，则，由于，，所以,均为偶函数，所以所设符合题意，于是 ,故选项错误.因为是偶函数，所以是奇函数，即是奇函数，则，又因为是偶函数，所以 ，故选项正确.由，取，则，故选项正确.故选.解法二：由题意知，取，知,故选项正确.对①两边求导知，即,取，知.由题意知，所以,由②③知,即,所以.从而,故选项正确.同解法一可判断出选项，错误.故选. 3.[（2024·湖北黄冈模拟）]多选题 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 有最大值 C. D. 函数是奇函数 【答案】AD 【解析】解法一：对于，令，可得，令,，则，可得，所以正确. 对于，令,，且，则， 可得，当，时，，此时函数单调递增；当，时，，此时函数单调递减，所以函数不一定有最大值，所以错误. 对于，令，可得，即， 所以，所以错误. 对于，令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以正确.故选. 解法二：因为，且，所以可构造函数，，正确；在上单调递增，无最值，错误;，错误；，易知为奇函数.故选. 4.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. 函数的周期为2 D. 【答案】D 【解析】为奇函数，，又为偶函数，,，故错误. 由知,, 函数的周期为4，故错误. 由，可令，得，即,，故错误. 令，得,又,,，故正确.故选. 5．[（2024·黑龙江大庆高三质检）]多选题 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集是 【答案】AD 【解析】解法一：令，得，即，故正确； 由题意可知，的定义域是，则既不是奇函数也不是偶函数，故错误； 当时，因为，所以，因为，所以，则在上单调递增，故错误； 令，得，因为，所以，因为，所以，所以，所以等价于，因为在上单调递增，所以解得，故正确.故选. 解法二：因为，且，当时，，所以可构造函数，此函数既不是奇函数也不是偶函数，排除；在上单调递增，排除；又是多选题，所以选. 6.多选题 已知定义在上的连续函数满足，，，且，则（ ） A. B. 当，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 【答案】BC 【解析】对于，令，则满足题中所给条件，但此时有，错误； 对于，当，时，取，则，所以，所以，正确； 对于，由题意得，的定义域关于原点对称，若，则，所以为偶函数，正确； 对于，令，则满足题中所给条件，但当时，（当且仅当时等号成立），故不成立，错误.故选. 7.（2025·山西模拟）多选 已知定义域为的函数满足：对任意的，，，且当时，.则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】对于，令，则，所以，正确； 对于，令，则，所以，令，则，所以是偶函数，正确； 对于，，任取，,且，则， 因为，所以，因此，即， 所以在区间上单调递减，错误，正确.故选. 8.（2026·广东肇庆调研）多选 已知定义在上的函数的图象为一条连续的曲线，且满足：在上单调递增；，，，则（ ） A. 当时， B. 函数为奇函数 C. D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】令，则，解得，因为在上单调递增，所以当时，，故正确. 令，则，即，由，得，由，得，即，所以为奇函数，故正确. 令，则，即，因为在上单调递增，的图象为一条连续的曲线，且为奇函数，所以在上单调递增，又，所以，即，解得，故错误. 因为，，所以，， 且（当且仅当，即时取等号）， 因为在上单调递增，所以，即，故正确.故选. 9.（2025·广东佛山质检）多选 已知函数的定义域为，且对任意的非零实数，，都有，若，则（ ） A. B. 数列中不存在大于的项 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ABD 【解析】因为，所以. 对于，令，得，得，令，，得，故正确； 对于，，令，，得，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，令，则，当时，，所以， 当时，，此时是递减数列，所以的最大值为， 所以数列中不存在大于的项，也不是递减数列，故正确，不正确； 对于，因为,所以，故是以为首项，为公比的等比数列，得，故正确.故选. 10.多选 已知函数的定义域为，的图象是一条连续不断的曲线，满足，当时，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】由，可知的图象关于直线对称，所以为偶函数， 当时，，令，可得，则， 令，可得，所以为奇函数，即的图象关于点中心对称，错误，正确； 因为当时，，所以，所以在上单调递增，则在上单调递增，又的图象是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增，正确； 由，，得，则，所以，所以4是的一个周期，所以，，易知在上单调递减，且，所以，正确.故选. 11.（1） 已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2） 已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3） 设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数. 【答案】 （1） 证明令，得，. 令，，得， .又的定义域为 ，关于原点对称，是奇函数. （2） 令，，得①， 令，，得， 由①②得，即， 又的定义域为，关于原点对称， 是偶函数. （3） ，，则的定义域也是. 设，， 则与的定义域都是，关于原点对称.，，为偶函数，为奇函数，即是偶函数，是奇函数 12.函数的定义域为，且满足对于任意，，都有. （1） 求的值； （2） 判断的奇偶性，并证明你的结论； （3） 若，，且在上单调递增，求的取值范围. 【解析】 （1） 因为对于任意，，都有，所以令，得，所以. （2） 为偶函数.证明如下： 易知的定义域关于原点对称，令，得，所以.令，，得，所以，所以为偶函数. （3） 依题意有， 由（2）知是偶函数，所以等价于.又在上单调递增，且的定义域为,所以，解得且，所以的取值范围是. 13.（2026·河北保定联考）（14分）已知函数在上满足，且当时，；当时，. （1） 求的值； （2） 判断并证明的单调性； （3） 若，求不等式的解集. 【解析】 （1） 令，则，故，可得， 令，则， 当时，，即，与题设不符，所以. （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）知，任取,，且,则，，，， 所以，即在上单调递减，得证. （3） 令，则，故， 所以， 则， 由（2）知在上单调递减，所以，即，可得或， 所以原不等式的解集为 学科网（北京）股份有限公司 $