2.5 抽象函数题型汇总讲义-2027届高三数学一轮复习

2.5 抽象函数题型汇总 一、周期函数的定义 1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 三、函数对称性与周期性的关系 1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； 3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1、①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 2、①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 3、①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 4、①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 五、类周期函数 1、类周期函数的定义 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，． 考点一　抽象函数定义域与值域 考点二　抽象函数单调性与奇偶性 考点三　抽象函数求值 考点四　抽象函数周期性 考点五　抽象函数对称性 考点六　类周期函数 考点七　抽象函数综合 考点一　抽象函数定义域与值域 1．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 3．（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点二　抽象函数单调性与奇偶性 5．（25-26高三上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 6．（25-26高三上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 7．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 8．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 考点三　抽象函数求值 9．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 10．（25-26高三下·浙江宁波·月考）（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 11．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 12．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 13．（25-26高三上·云南·月考）若的定义域为，且，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 14．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 考点四　抽象函数周期性 15．（25-26高三上·云南·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 16．（25-26高三下·河北衡水·月考）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 17．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 19．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数满足，且，，则（   ） A． B．1 C． D．3 考点五　抽象函数对称性 20．（25-26高三上·安徽·期末）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的一个周期为4 D．为奇函数 21．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 22．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 23．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 24．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 25．（25-26高二下·山西长治·期中）（多选）已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 考点六　类周期函数 26．（25-26高三上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·湖南·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．存在负数，使得 C．当时， D．当时， 28．（25-26高三上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·湖北荆州·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 30．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________． 考点七　抽象函数综合 31．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减. (1)求证：； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 32．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________. 33．（25-26高三上·湖北武汉·期末）（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（    ） A． B．为奇函数 C． D． 34．（25-26高三上·重庆·期末）（多选）已知函数、的定义域均为，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D． 35．（25-26高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数是定义在上的非常值函数，的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 36．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 1．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 4．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 7．（25-26高三上·四川绵阳·月考）（多选）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 8．（24-25高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 10．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 11．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则______. 12．（25-26高三上·河南洛阳·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，若，则_________. 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）定义在上的奇函数满足，且，则________． 14．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 16．（25-26高三上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 抽象函数题型汇总 一、周期函数的定义 1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 三、函数对称性与周期性的关系 1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； 3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1、①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 2、①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 3、①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 4、①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 五、类周期函数 1、类周期函数的定义 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，． 考点一　抽象函数定义域与值域 考点二　抽象函数单调性与奇偶性 考点三　抽象函数求值 考点四　抽象函数周期性 考点五　抽象函数对称性 考点六　类周期函数 考点七　抽象函数综合 考点一　抽象函数定义域与值域 1．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 2．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 3．（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 4．（25-26高三上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 考点二　抽象函数单调性与奇偶性 5．（25-26高三上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）证明：根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. （2）证明：任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 6．（25-26高三上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 7．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 8．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，是奇函数，证明见解析 (2)在上是单调递减的函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. （2）在上是单调递减的函数，理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 考点三　抽象函数求值 9．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】利用完全平方公式可计算出，即可得A；结合与可计算出，结合函数性质判断可得B；利用解析式可得C；结合单调性定义举出反例可得D. 【详解】对A：令，，则，， 则，故， 即，故A正确； 对B：， 则，令，定义域为， 且有，故为偶函数， 即为偶函数，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由，则有，， 即，故在上不单调递减，故D错误. 10．（25-26高三下·浙江宁波·月考）（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 11．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 12．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 13．（25-26高三上·云南·月考）若的定义域为，且，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据条件，赋值化简，可得的周期为6，则所求变为求的值，通过赋值法，代数计算，即可求得答案. 【详解】令，则， 则，与上式相加可得， 即，所以， 则， 所以是以周期为6的函数， 所以， 因为，， 所以令，可得，解得或4， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 令，可得，所以. 故选：A 14．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即. 因为函数为偶函数，所以. 所以，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 故 故选：C. 考点四　抽象函数周期性 15．（25-26高三上·云南·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；由，根据奇函数的性质，可判定B不正确；分别求得的值，得到的周期，可判定C正确；由，可判定D不正确. 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以， ， 由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确； 对于D，由，，可得， 所以，所以D不正确. 故选：AC. 16．（25-26高三下·河北衡水·月考）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由得出函数关于直线轴对称，再由为奇函数还原的对称性，可令，得函数关于点中心对称，结合同时满足轴对称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值 【详解】因为，将代入得， 所以，故关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 令，则，代入得，即， 将代入得，即， 所以关于点中心对称， 将代入得， 又，故， 令，则，再将代入得，即， 将代入得， 又，所以，的周期为8，故A错， 设，依题意为奇函数，所以 又对称轴为，所以，无法推出，故B错，C对， 因为，所以，同理，一直到， 所以一个周期内和为，，故总和为， 举反例如下，令满足题意，但，故D错. 17．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 18．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 【答案】2 【分析】利用赋值法令结合题意可得，令，可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得或， 若，令，，则， 可得，即，为常值函数，不合题意，所以， 又因为，令，，则， 可得，即，则， 可知函数的一个周期为4， 在中令，则，可得， 所以. 19．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数满足，且，，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据所给关系式可判断函数的周期性即可求解. 【详解】在中，将替换为， 可得，故， 因此， 因此是以6为周期的周期函数，故， 在中令，则， 在中令， 则，故，可得. 故选：C 考点五　抽象函数对称性 20．（25-26高三上·安徽·期末）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的一个周期为4 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据函数对称性、奇偶性、周期性的定义逐项判断即可. 【详解】为奇函数，，所以. ，，即. ，是周期为的函数.所以C正确. 为奇函数，， 所以，所以关于对称，所以A错误. ， 关于对称.所以B错误. 函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 关于轴对称，即为偶函数.所以D错误. 故选：C. 21．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】先根据为偶函数，可得到的图象关于直线对称，再根据可得到的图象关于直线对称，进而可得到的周期，再判断各个选项的正确性. 【详解】为偶函数，， 即，的图象关于直线对称， 即函数的图象关于直线对称，故A错误； 又，， 故函数关于中心对称，故C正确； 而函数有对称轴，有对称中心点，由对称性可得函数关于直线对称，故B正确； 又，， 所以函数为周期函数，周期是，故D正确． 22．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 23．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可. 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 24．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可； 【详解】由③得函数图象关于点对称， ，则可取，符合①②③. .（答案不唯一） 25．（25-26高二下·山西长治·期中）（多选）已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：令代入已知等式：，得，故，故A正确. 选项B：令代入已知等式：， 已知，对任意：若，可得； 若，在原函数关系式中令， 得， 再令，得. 因为，所以，即， 此时也有. 等式仍成立. 因此是奇函数，不是偶函数，故B错误. 选项C：由为偶函数，得，令，即， 说明关于直线对称. 推导得：， ， 因此，故C正确. 选项D：由，得，故周期. 计算一个周期内的函数值： ，，，， 即一个周期和为. 已知，因此，故D正确. 考点六　类周期函数 26．（25-26高三上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】已知递推关系，分区间推导函数表达式，再通过解方程找到的对应点，最后结合图象确定的取值范围即可得解. 【详解】根据已知条件，，， 当时，有， 当时，有. 令，解得或， 结合图象，的最大值为. 故选：ABC.    27．（25-26高三上·湖南·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．存在负数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据函数在时的图象，结合类周期函数的性质，作图，结合图象可逐项分析可得. 【详解】 当时，,此时,当时，函数取得这段区间内的最小值. 由,可知以此类推， 所以有最大值0,无最小值，且当时，. 故A正确，B错误； 当时，，则，故C正确； 当时，，，故D正确. 故选：ACD. 28．（25-26高三上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 29．（25-26高三上·湖北荆州·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出当时，函数， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由可解得，从而得出的范围. 【详解】当时，，而时，所以 又， 所以当时，， 当时，， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由解得，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题. 30．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【详解】因，又当时，， 当时，，， 当时，由，解得或， 当时，，， 显然，当时，， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，必有， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 考点七　抽象函数综合 31．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减. (1)求证：； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）借助赋值法可得为周期为6的周期函数，并可计算出、，结合周期性即可得. （3）借助赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得. 【详解】（1）令，则有， 由，故； （2）令，结合，则有， 则，即， 故，即， 则，即， 故，即， 故函数为周期为6的周期函数， 令、，则有，即， 令、，则有，即， 由，故， ，，， 故 . （3）令，则有， 即，则， 即可化为， 即解，即，即， 由、，又函数为周期为6的周期函数， 故的解为或，即 故原不等式的解集为. 32．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先由已知条件证明即恒成立，接着赋值求出，再由题意结合单调性的定义证明函数为R上的增函数，再接着赋值得和，从而替代题设不等式，将其转化成求得或，再利用单调性即可求解. 【详解】因为， 所以对任意实数x，，则， 假设存在使得， 则对任意实数x有， 此时为常数函数，与矛盾，故不存在使得， 所以即恒成立. 令，则， 因为，所以即. 又由可得， 任取，则，所以由题意， 所以 ， 所以，所以为R上的增函数， 因为，所以， 所以， 所以等价于， 令，则有即， 所以，解得或，即或， 又为R上的增函数，，， 所以或. 所以关于x的不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是由已知条件证明得即恒成立关键点2是通过赋值法求出，，以及利用单调性定义证明函数为R上的增函数，从而将原题设中的不等式变形为求得或，进而再利用单调性即可得解. 33．（25-26高三上·湖北武汉·期末）（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得到函数图象关于直线对称，关于中心对称，可判断B；得到周期为，可判断C；根据周期性和对称性可判断A；求出，结合周期性可判断D. 【详解】因为为偶函数，则，即， 所以函数图象关于直线对称， 又因为，由可化为， 所以函数图象关于中心对称，故B错误； 易知，又，所以， 故函数的周期为，故，故C正确； 又，故A正确； 易知，，故， ，故D正确. 故选：ACD. 34．（25-26高三上·重庆·期末）（多选）已知函数、的定义域均为，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知得，将转化为，给、取值推导奇偶性和周期性解决问题. 【详解】对于A选项，，A对； 对于C选项，因为，所以， 所以， 令，则①， 所以②， ①②可得， 所以，则， 所以，因此的周期为，故C正确； 对于B选项，令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故的图象关于直线对称， 且，， 令，，则，令，，， 则，，， 所以，且， 则，故D正确. 故选：ACD. 35．（25-26高三上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数是定义在上的非常值函数，的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】得到可以判断AB，算出，结合周期性可判断C，D. 【详解】对于AB，， 即，又因为 ，故A错，B正确； 的图象关于原点对称，所以， 由C正确； 因为，所以， . 故选：BCD. 36．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【详解】因为为偶函数，所以， 将替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将替换为，则有， 再将替换为，则有②， 将替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 1．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 2．（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 4．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 5．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·月考）偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据条件判断函数的周期，再求函数值. 【详解】因为函数是偶函数，所以，， 又因为是奇函数，所以，即 将替换为，代入上式得，则，故函数的周期为， 已知，将代入，得，将代入，得， 因此，故A正确. 6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 7．（25-26高三上·四川绵阳·月考）（多选）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，求得为奇函数，且，得到是周期为4的周期函数，由，求得，结合，可判定A正确；由，求得，可判定B错误；求得，令，求得，再由，结合，可判定C正确；由，得到，得到，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，设，可得函数的定义域为， 则，所以函数为奇函数， 又由，可得，即， 又由，则有，即， 可得，所以是周期为4的周期函数， 对于A中，由，可得， 又由，即，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 令，可得，解得， 又由，可得，所以是周期为4的周期函数， 可得，所以C正确； 对于D中，由，则由，， 则有，即， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD 10．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 【答案】1 【分析】根据给定条件，推理确定函数的周期，再由此求出目标值. 【详解】由， 得， 两式相减得， 若，则， 当时可得，与矛盾，等式不成立， 因此，即，函数是周期为3的周期函数， 所以. 故答案为：1 11．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则______. 【答案】 【分析】根据条件先判断出的周期性，然后化简可得，由此可计算出结果. 【详解】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 12．（25-26高三上·河南洛阳·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，若，则_________. 【答案】1 【分析】由题意可得函数的周期为8，根据题意结合周期性可得答案. 【详解】由可得：， 所以函数周期为8，则， 由，则，解得. 故答案为：1. 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）定义在上的奇函数满足，且，则________． 【答案】1 【分析】由已知得出周期为4，，再由即可求解． 【详解】因为，所以周期为4， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：1． 14．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 16．（25-26高三上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $