第11讲 抛物线（7大题型）（讲义）-2026-2027学年新高二数学苏教版暑假进阶

第11讲 抛物线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、抛物线的定义 3 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：抛物线定义与标准方程 4 题型二：焦半径问题 5 题型三：距离和差最值 6 题型四：抛物线轨迹问题 7 题型五：抛物线几何性质 7 题型六：抛物线实际应用 8 题型七：抛物线综合应用 10 04 过关测试 12 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线定义与标准方程 例1．（2026·高二·天津河东·阶段检测）抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，上一点到直线的距离为2027，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2026·高三·北京顺义·期中）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2026·高二·黑龙江双鸭山·期末）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高二·河南洛阳·阶段检测）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 变式4．（2026·高二·江西吉安·期末）已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 题型二：焦半径问题 例4．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 例5．（2026·高二·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 例6．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 变式5．（2026·高三·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 变式6．（多选题）（2026·高二·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 变式7．（多选题）（2026·高二·吉林延边·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 变式8．（多选题）（2026·高二·湖南·阶段检测）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式9．（多选题）（2026·高二·甘肃白银·期末）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 变式10．（多选题）（2026·高二·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C．当直线斜率为时， D． 题型三：距离和差最值 例7．（2026·高二·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 例8．（2026·高二·上海·期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 例9．（2026·高二·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 变式11．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________． 变式12．（2026·高二·山西太原·阶段检测）已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________. 变式13．（2026·湖北·三模）已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________. 题型四：抛物线轨迹问题 例10．（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 例11．（2026·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 例12．（2026·高二·辽宁沈阳·期中）已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则______，点的轨迹点的方程为______． 变式14．（2026·高三·福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为______. 变式15．（2026·高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 变式16．（2026·高二·北京海淀·期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______． 变式17．已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程_______________； 题型五：抛物线几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 例14．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（    ） A． B． C．（O为坐标原点） D． 例15．（多选题）（2026·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 变式18．（多选题）（2026·高一·江西宜春·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 变式19．（多选题）（2026·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（    ）. A． B． C． D． 变式20．（多选题）（2026·高二·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 变式21．（多选题）（2026·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（   ） A．若直线的倾斜角为，则 B．的最小值为8 C．以线段为直径的圆恒与轴相切 D．若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 变式22．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 题型六：抛物线实际应用 例16．（2026·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 例17．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 例18．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为___________________． 变式23．（2026·高二·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥． 变式24．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为__________. 变式25．（2026·高二·上海·阶段检测）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为______m．（精确到0.01） 题型七：抛物线综合应用 例19．（2026·高二·广东揭阳·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 例20．（2026·高二·河北保定·开学考试）已知抛物线经过的三个顶点，，且直线的倾斜角互补． (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率． 例21．（2026·高二·北京·开学考试）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过的直线与交于两点． (1)当轴时，求； (2)当直线的斜率为时，求的面积． 变式26．（2026·高二·浙江·开学考试）已知点为抛物线的焦点，过点F且斜率不为0的直线l交抛物线于A，B两点，过点A与l垂直的直线与抛物线的另一交点为M，过点B与l垂直的直线与抛物线的另一交点为N． (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)证明：M和N位于直线l的同侧； (3)设直线l与直线MN的交点为T，试问点T是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 变式27．（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 1．（2026·高二·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（2026·高二·湖北荆州·期中）已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A． B． C．60 D．80 4．（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·河南濮阳·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．3 C． D． 6．（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 7．（多选题）（2026·高二·四川德阳·期末）已知，（）是平面内两定点，动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（     ） A．若为定值，则曲线是椭圆，且其离心率为 B．若为定值，则曲线是双曲线，且其离心率为 C．若到点的距离比到轴距离多，则曲线是抛物线，且其准线方程为 D．若直线与斜率之和为定值，则直线与为曲线的渐近线 8．（2026·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为_______． 9．（2026·高二·贵州毕节·期中）抛物线上到焦点的距离是的点的坐标为：______． 10．（2026·高二·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 11．（2026·浙江金华·三模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 12．（2026·高二·山东日照·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 13．（2026·高二·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 14．（2026·高二·山东烟台·期末）平面直角坐标系xOy中，点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)若E，F为直线上两点，且，过点E，F依次作轴的平行线分别交于M，N两点，判断：M，A，N三点是否共线？并说明理由． 15．（2026·高二·山东滨州·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 16．（2026·高二·河南开封·期末）已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 抛物线 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、抛物线的定义 3 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：抛物线定义与标准方程 4 题型二：焦半径问题 6 题型三：距离和差最值 12 题型四：抛物线轨迹问题 15 题型五：抛物线几何性质 17 题型六：抛物线实际应用 23 题型七：抛物线综合应用 27 04 过关测试 33 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线定义与标准方程 例1．（2026·高二·天津河东·阶段检测）抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线（）的焦点为，准线方程为. 因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为. 由抛物线的定义可知，，解得， 所以，抛物线的方程为. 故选：C. 例2．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，上一点到直线的距离为2027，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】抛物线的焦点，准线方程为直线， 若抛物线上一点到直线的距离为2027，则它到直线的距离为3， 由抛物线定义可得. 故选：C. 例3．（2026·高三·北京顺义·期中）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C 变式1．（2026·高二·黑龙江双鸭山·期末）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为． 因为焦点到准线的距离为4， 所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 变式2．（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 变式3．（2026·高二·河南洛阳·阶段检测）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 变式4．（2026·高二·江西吉安·期末）已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得，所以抛物线的方程是或. 故选：C. 题型二：焦半径问题 例4．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【解析】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则. 所以. 例5．（2026·高二·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】设， 焦点，故，故， 则，故， 因此或. 例6．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】C 【解析】方法一：由题意知，抛物线的焦点为， 设直线的方程为，， 联立方程得，故， 由焦半径公式得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 方法二：设直线AB的倾斜角为， 由抛物线的定义可知， ， 所以， 所以的最小值为. 变式5．（2026·高三·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】设过焦点 的直线为 ，联立抛物线 得 ， 设，由韦达定理得： ， 所以中点纵坐标为 ，即 ； 、两点代入直线可得，， 则两式相加可得， 所以弦长， 所以； 又因为，即，代入可得， 化简为 ，解得 . 变式6．（多选题）（2026·高二·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故A错误； 对于BC：由抛物线定义可得 ， 所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 变式7．（多选题）（2026·高二·吉林延边·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 变式8．（多选题）（2026·高二·湖南·阶段检测）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意，所以直线的方程为， 联立抛物线方程消去得，解得， 又，根据抛物线的定义可知，所以，故A正确； 又，所以，故B正确； 过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义，又直线的斜率为， 所以， 所以， 故，即，所以，故C不正确；D正确. 故选：ABD 变式9．（多选题）（2026·高二·甘肃白银·期末）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，设，则，解得， 故，解得，故直线的斜率为或， 直线倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为或． 故选：AC 变式10．（多选题）（2026·高二·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C．当直线斜率为时， D． 【答案】ABC 【解析】由题意可得 设直线方程为， ,则，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得，所以 所以，故C正确， 对于D，， 将代入可得， 所以，故D错误， 故选：ABC 题型三：距离和差最值 例7．（2026·高二·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【解析】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 例8．（2026·高二·上海·期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 【答案】2 【解析】设抛物线的焦点为，由易得，准线方程为， 如图： 设为点到准线的距离，则, 则， 当，，共线时取等号，的最小值是. ，则 的最小值是. 故答案为：2 例9．（2026·高二·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】设点P到抛物线C的准线的距离为d， 则（当AP与准线垂直时取最小值）， 故的最小值为5. 故答案为：. 变式11．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】过点作垂直于抛物线准线，垂足为点，如下图所示： 抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 所以. 当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故答案为：. 变式12．（2026·高二·山西太原·阶段检测）已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 如图，由题意知是抛物线的焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为： 变式13．（2026·湖北·三模）已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________. 【答案】 【解析】①如图，若点在抛物线的张口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因，则，解得或， 均不符合题意； ②如图，若点在抛物线的张口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，符合题意， 故的值等于. 故答案为： 题型四：抛物线轨迹问题 例10．（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 例11．（2026·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 【答案】或 【解析】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 例12．（2026·高二·辽宁沈阳·期中）已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则______，点的轨迹点的方程为______． 【答案】 或 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 变式14．（2026·高三·福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为______. 【答案】 【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 故曲线的方程为. 故答案为： 变式15．（2026·高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 【答案】 【解析】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 变式16．（2026·高二·北京海淀·期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为. 故答案为： 变式17．已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程_______________； 【答案】 【解析】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 题型五：抛物线几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 例14．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（    ） A． B． C．（O为坐标原点） D． 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点，准线， 对于AB，由，得，，AB正确； 对于CD，直线方程为，即， 由消去得，则， ，不垂直，，C错误，D正确. 故选：ABD 例15．（多选题）（2026·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【解析】 对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 变式18．（多选题）（2026·高一·江西宜春·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 【答案】AD 【解析】由题意，取的中点，作图如下： 由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 变式19．（多选题）（2026·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因抛物线的焦点坐标为， 由题可设经过抛物线焦点的弦所在直线方程为， 代入消去，可得：，显然， 设弦的两端点坐标分别为：，则（*）， 抛物线的准线方程为：，则， 即得，即， 将（*）代入解得：，则 于是该弦所在直线的斜率为：， 故该弦所在直线的倾斜角是或. 故选：BC. 变式20．（多选题）（2026·高二·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【解析】由焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则，， 若是线段AB的中点，则， 所以，即， 又直线经过焦点，所以直线的方程为，故C正确； 由，得，则， 所以，故D正确． 变式21．（多选题）（2026·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（   ） A．若直线的倾斜角为，则 B．的最小值为8 C．以线段为直径的圆恒与轴相切 D．若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 【答案】ABC 【解析】对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为， 与抛物线的方程联立得，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则， 因为，当时，等号成立，所以，最小值为8，故B正确； 对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为， 因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确； 对于D，易知，若，则，，， 所以， 结合选项B的解析，可知，，， 代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误． 变式22．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 题型六：抛物线实际应用 例16．（2026·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 【答案】 【解析】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 例17．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 【答案】60.5 【解析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 例18．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为___________________． 【答案】/0.9 【解析】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上， 设抛物线方程为，代入， 所以，解得，所以抛物线方程为， 则该抛物线的焦点到顶点的距离为． 故答案为 ：0.9 变式23．（2026·高二·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【解析】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥. 故答案为：. 变式24．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为__________. 【答案】1 【解析】如图所示，以拱顶为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 为暴雨前的水面宽度，为暴雨后的水面宽度， 设，则， 故，解得， 故，即暴雨后的水面离拱顶的距离为1m. 故答案为：1 变式25．（2026·高二·上海·阶段检测）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为______m．（精确到0.01） 【答案】 【解析】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系． 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为. 故答案为：. 题型七：抛物线综合应用 例19．（2026·高二·广东揭阳·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， 所以，故，， 抛物线方程为 （2）以为直径的圆与直线是相切的位置关系. 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以 ， 因为，所以中点坐标为， 该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切. 例20．（2026·高二·河北保定·开学考试）已知抛物线经过的三个顶点，，且直线的倾斜角互补． (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率． 【解析】（1）因为抛物线过，所以， 所以，即抛物线C的方程为． （2）易知直线BC的斜率存在，设，则， 两式相减得，所以， 因为直线的倾斜角互补，所以的斜率存在， 且， 所以，故． 例21．（2026·高二·北京·开学考试）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过的直线与交于两点． (1)当轴时，求； (2)当直线的斜率为时，求的面积． 【解析】（1）拋物线的焦点， 当时，直线的方程为， 由，得， 则； （2）设直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． 此时直线，点到直线的距离， 因为， 所以. 变式26．（2026·高二·浙江·开学考试）已知点为抛物线的焦点，过点F且斜率不为0的直线l交抛物线于A，B两点，过点A与l垂直的直线与抛物线的另一交点为M，过点B与l垂直的直线与抛物线的另一交点为N． (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)证明：M和N位于直线l的同侧； (3)设直线l与直线MN的交点为T，试问点T是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 【解析】（1）抛物线的焦点为，故， 所以抛物线标准方程为，抛物线的准线方程为． （2） 设A，B坐标分别为，直线l的方程为， 联立l与抛物线方程，可得， 设， 直线的方程为与抛物线方程联立得， 同理，设，可得，              要证M，N位于l的同侧，即证， 而， 故M，N位于l的同侧． （3）直线MN的方程为，即， 代入与得， 再代入韦达定理知该直线方程为，          与l的方程联立， 解得， ， 即点在定直线上． 变式27．（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【解析】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， 所以，所以. 1．（2026·高二·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 2．（2026·高二·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【解析】由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 3．（2026·高二·湖北荆州·期中）已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【解析】 抛物线方程，则， 焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点， 到焦点的距离， 设，则向量， 已知， 由向量加法的坐标运算得 则，解得， 由焦半径公式， ． 4．（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 5．（2026·高二·河南濮阳·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知焦点，准线方程， 因为，所以，解得， 所以，得，又. 6．（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为， 即，故两条渐近线分别为和， 设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为， 代入，得，因此直线的方程为， 在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确. 7．（多选题）（2026·高二·四川德阳·期末）已知，（）是平面内两定点，动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（     ） A．若为定值，则曲线是椭圆，且其离心率为 B．若为定值，则曲线是双曲线，且其离心率为 C．若到点的距离比到轴距离多，则曲线是抛物线，且其准线方程为 D．若直线与斜率之和为定值，则直线与为曲线的渐近线 【答案】AD 【解析】若为定值，由可知曲线是椭圆，且其离心率为，故A正确； 若为定值，由可知曲线是双曲线的右支，双曲线离心率为，故B错误； 由题知，，解得和， 曲线为抛物线和射线的组合，不是抛物线，故C错误； 若直线与斜率之和为定值，则，则， 由于该飘带函数的渐近线为与，故D正确. 8．（2026·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为_______． 【答案】4 【解析】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 9．（2026·高二·贵州毕节·期中）抛物线上到焦点的距离是的点的坐标为：______． 【答案】和 【解析】∵ 抛物线的标准形式，其焦点坐标为，准线方程为. 设所求点坐标为，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， ∴ 点到准线的距离为，即，解得. 将代入抛物线方程，得， 可得，即所求点的坐标为和. 10．（2026·高二·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【解析】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 11．（2026·浙江金华·三模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B， 过N作于P，显然四边形是矩形， 因直线过抛物线的焦点，交抛物线于，由抛物线定义知，， 而，则， ， 设直线的倾斜角为，在，，则，． 12．（2026·高二·山东日照·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 【解析】（1）已知动点到点的距离比它到直线的距离小1， 则动点到点的距离等于它到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，， 由得，， ， ， 点到直线的距离， 所以， 解得， 当时，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 因此，直线的方程为或． 13．（2026·高二·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得， 如图，在中，， 则，即，解得（负值已舍去）， 所以抛物线的方程为． （2）设，故， ， ， 所以， 当时，； 当时，，设， 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以，则或， 则或，即； 综上所述的取值范围为. 14．（2026·高二·山东烟台·期末）平面直角坐标系xOy中，点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)若E，F为直线上两点，且，过点E，F依次作轴的平行线分别交于M，N两点，判断：M，A，N三点是否共线？并说明理由． 【解析】（1）由题意可知，点到点的距离与它到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为顶点、以为焦点的抛物线． 设该抛物线的方程为，则，即， 所以，抛物线的方程为． （2）M，A，N三点共线．理由如下： 设点，因为，所以， 即，所以． 由题意， 所以，显然， 因为      所以， 因为，有相同起点，所以三点共线． 15．（2026·高二·山东滨州·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 【解析】（1）点的横坐标为， 由抛物线焦半径公式可得，解得， 故抛物线方程为； （2）联立与可得， 所以，解得， 设，则， 所以， ，故， 即，解得或0， 当时，经过原点，不合要求； 当时，不经过原点，满足要求，故. 16．（2026·高二·河南开封·期末）已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 【解析】（1）由点到点的距离比它到直线：的距离大1， 则点到点的距离等于它到直线：的距离， 由抛物线定义知， 点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为． （2）直线过点，由已知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，，所以，． 因为，可得，所以， 因为点在第一象限，所以，， 则，解得， 所以直线的方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $